Trouglasta piramida i formule za određivanje njene površine

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Zadnja izmjena: 2023-12-17 05:19

Piramida je geometrijska prostorna figura čije se karakteristike izučavaju u srednjoj školi na kursu geometrije čvrstog tijela. U ovom članku ćemo razmotriti trouglastu piramidu, njene vrste, kao i formule za izračunavanje njene površine.

O kojoj piramidi govorimo?

Trouglasta piramida je figura koja se može dobiti spajanjem svih vrhova proizvoljnog trougla sa jednom tačkom koja ne leži u ravni ovog trougla. Prema ovoj definiciji, piramida koja se razmatra trebala bi se sastojati od početnog trokuta, koji se zove osnova figure, i tri bočna trokuta koji imaju jednu zajedničku stranu sa bazom i međusobno su povezani u tački. Potonji se zove vrh piramide.

Slika iznad prikazuje proizvoljnu trouglastu piramidu.

Rasmatrana cifra može biti koso ili ravna. U potonjem slučaju, okomica spuštena s vrha piramide na njenu osnovu mora je presjeći u geometrijskom centru. geometrijski centar bilo kojegtrougao je tačka preseka njegovih medijana. Geometrijski centar se poklapa sa centrom mase figure u fizici.

Ako pravilan (jednakostranični) trougao leži u osnovi ravne piramide, onda se naziva pravilnim trouglastim. U pravilnoj piramidi sve su stranice jednake jedna drugoj i jednakostranični su trouglovi.

Ako je visina pravilne piramide takva da njeni bočni trouglovi postaju jednakostranični, onda se naziva tetraedar. U tetraedru su sve četiri strane jednake jedna drugoj, tako da se svaka od njih može smatrati bazom.

Elementi piramide

Ovi elementi uključuju lica ili strane figure, njene ivice, vrhove, visinu i apoteme.

Kao što je prikazano, sve strane trouglaste piramide su trouglovi. Njihov broj je 4 (3 bočne i jedna u osnovi).

Vrhovi su tačke preseka tri trouglaste stranice. Nije teško pretpostaviti da ih za piramidu koja se razmatra ima 4 (3 pripadaju bazi i 1 vrhu piramide).

Ivice se mogu definisati kao linije koje seku dve trouglaste strane, ili kao linije koje spajaju svaka dva vrha. Broj ivica odgovara dvostrukom broju vrhova osnove, odnosno za trouglastu piramidu je 6 (3 ivice pripadaju bazi, a 3 ivice formiraju bočne strane).

Visina, kao što je gore navedeno, je dužina okomice povučene od vrha piramide do njene osnove. Ako povučemo visine iz ovog vrha na svaku stranu trouglaste osnove,tada će se zvati apotemi (ili apoteme). Dakle, trouglasta piramida ima jednu visinu i tri apoteme. Ove druge su jednake jedna drugoj za pravilnu piramidu.

Osnova piramide i njena površina

Pošto je osnova za figuru koja se razmatra uglavnom trokut, za izračunavanje njegove površine dovoljno je pronaći njegovu visinu h_o i dužinu stranice baze a, na koji se spušta. Formula za površinu S_o baze je:

S_o=1/2h_oa

Ako je trokut osnove jednakostraničan, tada se površina osnove trokutaste piramide izračunava pomoću sljedeće formule:

S_o=√3/4a²

To jest, površina S_oje jedinstveno određena dužinom strane a trouglaste osnove.

Strana i ukupna površina figure

Prije razmatranja površine trokutaste piramide, korisno je pokazati njen razvoj. Ona je na slici ispod.

Površina ovog poteza formiranog od četiri trokuta je ukupna površina piramide. Jedan od trokuta odgovara bazi, čiju je formulu za razmatranu vrijednost napisana gore. Tri bočna trokutasta lica zajedno čine bočnu površinu figure. Stoga, da biste odredili ovu vrijednost, dovoljno je primijeniti gornju formulu za proizvoljan trokut na svaki od njih, a zatim dodati tri rezultata.

Ako je piramida ispravna, onda kalkulacijaBočna površina je olakšana, jer su sve bočne površine identični jednakostrani trouglovi. Označite h_bdužinu apoteme, tada se površina bočne površine S_b može odrediti na sljedeći način:

S_b=3/2ah_b

Ova formula sledi iz opšteg izraza za površinu trougla. Broj 3 se pojavio u brojiocima zbog činjenice da piramida ima tri bočne strane.

Apotema h_b u pravilnoj piramidi može se izračunati ako je poznata visina figure h. Primjenom Pitagorine teoreme dobijamo:

h_b=√(h²+ a²/12)

Očigledno, ukupna površina S površine figure jednaka je zbiru bočnih i baznih površina:

S=S_o+ S_b

Za redovnu piramidu, zamjenom svih poznatih vrijednosti, dobijamo formulu:

S=√3/4a²+ 3/2a√(h²+ a ²/12)

Površina trouglaste piramide zavisi samo od dužine stranice njene osnove i od visine.

Primjer problema

Poznato je da je bočna ivica trokutaste piramide 7 cm, a stranica osnove 5 cm. Morate pronaći površinu figure ako znate da je piramida je redovno.

Koristite opštu jednakost:

S=S_o+ S_b

Oblast S_o je jednako:

S_o=√3/4a² =√3/45^{2 ≈10, 825cm}2.

Da biste odredili bočnu površinu, morate pronaći apotemu. Nije teško pokazati da je kroz dužinu bočne ivice a_b određena formulom:

h_b=√(a_b²- a^{2 /4)=√(7} 2^{- 5}2^{/4) ≈ 6.538 cm.}

Tada je površina S_b:

S_b=3/2ah_b=3/256, 538=49.035 cm2.

Ukupna površina piramide je:

S=S_o+ S_b=10.825 + 49.035=59.86cm².

Imajte na umu da prilikom rješavanja problema nismo koristili vrijednost visine piramide u proračunima.