Još u starom Egiptu pojavila se nauka uz pomoć koje je bilo moguće mjeriti zapremine, površine i druge veličine. Podsticaj za to bila je izgradnja piramida. To je uključivalo značajan broj složenih proračuna. I pored izgradnje, bilo je važno pravilno izmjeriti zemljište. Otuda je nauka o "geometriji" nastala od grčkih reči "geos" - zemlja i "metrio" - merim.
Proučavanje geometrijskih oblika olakšano je posmatranjem astronomskih fenomena. I već u 17. veku p.n.e. e. pronađene su početne metode za izračunavanje površine kruga, zapremine lopte, a najvažnije otkriće bila je Pitagorina teorema.
Izjava teoreme o kružnici upisanoj u trokut je sljedeća:
Samo jedan krug može biti upisan u trougao.
Sa ovim rasporedom, krug je upisan, a trougao je opisan u blizini kruga.
Izjava teoreme o centru kružnice upisane u trokut je sljedeća:
Centralna tačka upisane kružnicetrougla, postoji tačka preseka simetrala ovog trougla.
Kružnica upisana u jednakokraki trougao
Kružnica se smatra upisanom u trokut ako dodiruje sve njegove strane barem jednom tačkom.
Fotografija ispod prikazuje krug unutar jednakokračnog trougla. Uslov teoreme o kružnici upisanoj u trokut je ispunjen - dodiruje sve strane trougla AB, BC i CA u tačkama R, S, Q, redom.
Jedno od svojstava jednakokračnog trougla je da upisana kružnica prepolovi osnovu dodirnom tačkom (BS=SC), a poluprečnik upisane kružnice je jedna trećina visine ovog trougla (SP=AS/3).
Svojstva teoreme o trouglu upisanoj kružnici:
- Segmenti koji dolaze od jednog vrha trougla do tačaka dodira sa kružnicom su jednaki. Na slici AR=AQ, BR=BS, CS=CQ.
- Poluprečnik kružnice (upisan) je površina podijeljena sa polovicom perimetra trougla. Kao primjer, trebate nacrtati jednakokraki trokut s istim slovnim oznakama kao na slici, sljedećih dimenzija: dobiju se baza BC=3 cm, visina AS=2 cm, stranice AB=BC po 2,5 cm svaki. Iz svakog ugla povlačimo simetralu i označavamo mjesto njihovog sjecišta kao P. Upisujemo kružnicu polumjera PS čija se dužina mora pronaći. Površinu trokuta možete saznati množenjem 1/2 osnove sa visinom: S=1/2DCAS=1/232=3 cm2 . Poluperimetartrokut je jednak 1/2 zbira svih strana: P=(AB + BC + SA) / 2=(2,5 + 3 + 2,5) / 2=4 cm; PS=S/P=3/4=0,75 cm2, što je potpuno tačno kada se mjeri ravnalom. Prema tome, svojstvo teoreme o kružnici upisanoj u trokut je tačno.
Krug upisan u pravougli trokut
Za trougao sa pravim uglom važe svojstva teoreme o upisanoj kružnici trougla. I, pored toga, dodaje se sposobnost rješavanja problema sa postulatima Pitagorine teoreme.
Poluprečnik upisane kružnice u pravokutnom trokutu može se odrediti na sljedeći način: dodajte dužine kateta, oduzmite vrijednost hipotenuze i rezultujuću vrijednost podijelite sa 2.
Postoji dobra formula koja će vam pomoći da izračunate površinu trougla - pomnožite obim sa radijusom kruga upisanog u ovaj trokut.
Formulacija teoreme upisanog kruga
Teoreme o upisanim i opisanim figurama su važne u planimetriji. Jedan od njih zvuči ovako:
Središte kružnice upisane u trokut je presjek simetrala povučenih iz njegovih uglova.
Slika ispod pokazuje dokaz ove teoreme. Prikazana je jednakost uglova i, shodno tome, jednakost susednih trouglova.
Teorema o centru kružnice upisane u trokut
Poluprečnici kružnice upisane u trokut,povučene na dodirne tačke su okomite na stranice trougla.
Zadatak "formulisati teoremu o kružnici upisanoj u trokut" ne treba iznenaditi, jer je ovo jedno od osnovnih i najjednostavnijih znanja iz geometrije koje morate u potpunosti savladati da biste riješili mnoge praktične probleme u pravi život.
