Funkcije diferencijalnog računa jedne i više varijabli

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Zadnja izmjena: 2024-01-02 17:42

Račun je grana računa koja proučava derivaciju, diferencijale i njihovu upotrebu u proučavanju funkcije.

Povijest izgleda

Diferencijalni račun se kao samostalna disciplina pojavio u drugoj polovini 17. veka, zahvaljujući radu Newtona i Leibniza, koji su formulisali osnovne odredbe u računu diferencijala i uočili vezu između integracije i diferencijacije. Od tog trenutka, disciplina se razvija zajedno sa računom integrala, čineći tako osnovu matematičke analize. Pojava ovih računa otvorila je novo moderno razdoblje u matematičkom svijetu i izazvala pojavu novih disciplina u nauci. Takođe je proširena mogućnost primene matematičke nauke u prirodnim naukama i tehnologiji.

Osnovni koncepti

Diferencijalni račun je zasnovan na osnovnim konceptima matematike. To su: realni broj, kontinuitet, funkcija i granica. Vremenom su poprimili moderan izgled, zahvaljujući integralnom i diferencijalnom računu.

Proces kreiranja

Formiranje diferencijalnog računa u obliku primijenjene, a potom i naučne metode dogodilo se prije pojave filozofske teorije, koju je stvorio Nikola Kuzanski. Njegovi radovi se smatraju evolutivnim razvojem na osnovu sudova drevne nauke. Uprkos činjenici da sam filozof nije bio matematičar, njegov doprinos razvoju matematičke nauke je neosporan. Kuzansky je bio jedan od prvih koji je odstupio od razmatranja aritmetike kao najtačnije oblasti nauke, dovodeći matematiku tog vremena u sumnju.

Drevni matematičari su jedinicu koristili kao univerzalni kriterijum, dok je filozof predložio beskonačnost kao novu meru umesto tačnog broja. U tom smislu, reprezentacija preciznosti u matematičkoj nauci je obrnuta. Naučno znanje se, po njemu, deli na racionalno i intelektualno. Drugi je tačniji, prema naučniku, jer prvi daje samo približan rezultat.

Ideja

Glavna ideja i koncept u diferencijalnom računu se odnosi na funkciju u malim četvrtima određenih tačaka. Da bi se to postiglo, potrebno je kreirati matematički aparat za proučavanje funkcije čije je ponašanje u maloj okolini utvrđenih tačaka blisko ponašanju polinoma ili linearne funkcije. Ovo se zasniva na definiciji derivacije i diferencijala.

Pojavu pojma derivata izazvao je veliki broj problema iz prirodnih nauka i matematike,što je dovelo do pronalaženja vrijednosti granica istog tipa.

Jedan od glavnih problema koji se daju kao primjer počevši od srednje škole je odrediti brzinu tačke koja se kreće duž prave i konstruirati tangentu na ovu krivu. Diferencijal je povezan s tim, jer je moguće aproksimirati funkciju u maloj okolini razmatrane tačke linearne funkcije.

U poređenju sa konceptom derivacije funkcije realne varijable, definicija diferencijala jednostavno prelazi na funkciju opšte prirode, posebno na sliku jednog euklidskog prostora na drugom.

Derivat

Neka se tačka kreće u smjeru ose Oy, za vrijeme koje uzimamo x, koje se računa od određenog početka trenutka. Takvo kretanje se može opisati funkcijom y=f(x), koja je dodijeljena svakom vremenskom trenutku x koordinate tačke koja se pomiče. U mehanici se ova funkcija naziva zakon kretanja. Glavna karakteristika kretanja, posebno neravnomjernog, je trenutna brzina. Kada se tačka kreće duž ose Oy prema zakonu mehanike, tada u slučajnom trenutku x dobija koordinatu f (x). U trenutku x + Δx, gdje Δx označava prirast vremena, njegova koordinata će biti f(x + Δx). Tako se formira formula Δy \u003d f (x + Δx) - f (x), koja se naziva inkrement funkcije. Predstavlja putanju koju pređe tačka u vremenu od x do x + Δx.

Zbog pojave ovogabrzina u vremenu, uvodi se izvod. U proizvoljnoj funkciji, izvod u fiksnoj tački naziva se granica (pod pretpostavkom da postoji). Može se označiti određenim simbolima:

f’(x), y’, ý, df/dx, dy/dx, Df(x).

Proces izračunavanja derivata naziva se diferencijacija.

Diferencijalni račun funkcije nekoliko varijabli

Ova metoda računanja se koristi kada se ispituje funkcija sa nekoliko varijabli. U prisustvu dvije varijable x i y, parcijalni izvod u odnosu na x u tački A naziva se izvod ove funkcije u odnosu na x s fiksnim y.

Može biti predstavljen sljedećim znakovima:

f’(x)(x, y), u’(x), ∂u/∂x ili ∂f(x, y)’/∂x.

Potrebne vještine

Vještine integracije i diferencijacije potrebne su za uspješno učenje i sposobnost rješavanja difuzije. Da biste lakše razumjeli diferencijalne jednačine, trebali biste dobro razumjeti temu derivacije i neodređenog integrala. Također ne škodi naučiti kako pronaći derivaciju implicitno zadane funkcije. To je zbog činjenice da će se u procesu proučavanja integrala i diferencijacije često morati koristiti.

Vrste diferencijalnih jednačina

U skoro svim testnim radovima koji se odnose na diferencijalne jednadžbe prvog reda, postoje 3 vrste jednačina: homogene, sa odvojivim varijablama, linearne nehomogene.

Postoje i rjeđe varijante jednačina: sa totalnim diferencijalima, Bernoullijeve jednadžbe i druge.

Osnove odlučivanja

Prvo, treba da zapamtite algebarske jednadžbe iz školskog kursa. Sadrže varijable i brojeve. Da biste riješili običnu jednačinu, potrebno je pronaći skup brojeva koji zadovoljavaju dati uvjet. Takve jednadžbe su po pravilu imale jedan korijen, a da bi se provjerila ispravnost, trebalo je samo zamijeniti ovu vrijednost nepoznatom.

Diferencijalna jednačina je slična ovoj. Općenito, takva jednačina prvog reda uključuje:

• Nezavisna varijabla.
• Izvod prve funkcije.
• Funkcija ili zavisna varijabla.

U nekim slučajevima može nedostajati jedna od nepoznanica, x ili y, ali to nije toliko važno, jer je prisustvo prvog izvoda, bez izvoda višeg reda, neophodno za rješenje i diferencijal računica da bude tačna.

Rješiti diferencijalnu jednačinu znači pronaći skup svih funkcija koje odgovaraju datom izrazu. Takav skup funkcija se često naziva općim rješenjem DE.

Integralni račun

Integralni račun je jedan od odjeljaka matematičke analize koji proučava koncept integrala, svojstva i metode njegovog izračunavanja.

Često se izračunavanje integrala dešava prilikom izračunavanja površine krivolinijske figure. Ovo područje označava granicu kojoj teži površina poligona upisanog u datu figuru s postepenim povećanjem njegove stranice, dok se ove stranice mogu učiniti manje od bilo koje prethodno određene proizvoljnemala vrijednost.

Glavna ideja u izračunavanju površine proizvoljne geometrijske figure je izračunati površinu pravokutnika, odnosno dokazati da je njegova površina jednaka proizvodu dužine i širine. Kada je u pitanju geometrija, sve konstrukcije se prave pomoću ravnala i šestara, a onda je odnos dužine i širine racionalna vrednost. Prilikom izračunavanja površine pravokutnog trokuta, možete odrediti da ako stavite isti trokut pored njega, tada se formira pravokutnik. U paralelogramu se površina izračunava sličnom, ali malo složenijom metodom, kroz pravougaonik i trokut. U poligonima, površina se izračunava kroz trouglove uključene u njega.

Pri određivanju poštede proizvoljne krive, ova metoda neće raditi. Ako ga razbijete na pojedinačne kvadrate, tada će biti nepopunjenih mjesta. U ovom slučaju, pokušava se koristiti dvije korice, sa pravokutnicima na vrhu i dnu, kao rezultat, one uključuju graf funkcije, a ne. Metoda podjele na ove pravokutnike ostaje ovdje važna. Također, ako uzmemo sve manje particije, tada bi područje iznad i ispod trebale konvergirati na određenoj vrijednosti.

Trebalo bi se vratiti na metodu podjele na pravokutnike. Postoje dvije popularne metode.

Riemann je formalizirao definiciju integrala koju su kreirali Leibniz i Newton kao površinu podgrafa. U ovom slučaju su razmatrane figure koje se sastoje od određenog broja okomitih pravokutnika i dobivene dijeljenjemsegment. Kada, kako se particija smanjuje, postoji granica na koju se smanjuje površina slične figure, ova granica se naziva Riemannov integral funkcije na datom intervalu.

Druga metoda je konstrukcija Lebesgueovog integrala, koja se sastoji u tome da se za mjesto dijeljenja definirane površine na dijelove integrala, a zatim sastavlja integralni zbroj od vrijednosti dobijenih u ovim dijelovima, njegov raspon vrijednosti se dijeli na intervale, a zatim se sumira sa odgovarajućim mjerama predslika ovih integrala.

Moderne pogodnosti

Jedan od glavnih priručnika za proučavanje diferencijalnog i integralnog računa napisao je Fikhtengolts - "Kurs diferencijalnog i integralnog računa". Njegov udžbenik je temeljni vodič za proučavanje matematičke analize, koji je doživio mnoga izdanja i prevode na druge jezike. Napravljen za studente i dugo se koristi u mnogim obrazovnim institucijama kao jedno od glavnih pomagala za učenje. Daje teorijske podatke i praktične vještine. Prvi put objavljeno 1948.

Algoritam za istraživanje funkcija

Da biste istražili funkciju koristeći metode diferencijalnog računa, morate slijediti već dati algoritam:

1. Pronađi opseg funkcije.
2. Pronađi korijene date jednadžbe.
3. Izračunajte ekstreme. Da biste to uradili, izračunajte izvod i tačke u kojima je jednaka nuli.
4. Zamijenite rezultirajuću vrijednost u jednadžbu.

Varieti diferencijalnih jednadžbi

kontrola prvog reda (inače, diferencijalračun jedne varijable) i njihove vrste:

• Odvojiva jednadžba: f(y)dy=g(x)dx.
• Najjednostavnije jednadžbe, ili diferencijalni račun funkcije jedne varijable, koja ima formulu: y'=f(x).
• Linearni nehomogeni DE prvog reda: y'+P(x)y=Q(x).
• Bernoullijeva diferencijalna jednadžba: y'+P(x)y=Q(x)ya.
• Jednačina sa ukupnim diferencijalima: P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0.

Diferencijalne jednadžbe drugog reda i njihovi tipovi:

• Linearna homogena diferencijalna jednadžba drugog reda sa konstantnim vrijednostima koeficijenata: y +py'+qy=0 p, q pripada R.
• Linearna nehomogena diferencijalna jednadžba drugog reda sa konstantnim koeficijentima: y +py'+qy=f(x).
• Linearna homogena diferencijalna jednadžba: y +p(x)y'+q(x)y=0, i nehomogena jednačina drugog reda: y+p(x)y'+q(x)y=f(x).

Diferencijalne jednadžbe višeg reda i njihovi tipovi:

• Diferencijalna jednačina koja se može reducirati po redu: F(x, y^(k), y^(k+1),.., y^(n)=0.
• Linearna homogena jednačina višeg reda: y⁽ⁿ⁾+f_(n-1)y^{(n- 1)}+…+f₁y'+f₀y=0, i nehomogeno: y⁽ⁿ⁾+f_(n-1)y^(n-1)+…+f_{1 y'+f}0_y=f(x).

Koraci u rješavanju problema s diferencijalnom jednadžbom

Uz pomoć daljinskog upravljača rješavaju se ne samo matematička ili fizička pitanja, već i različiti problemi izbiologija, ekonomija, sociologija itd. Unatoč velikoj raznolikosti tema, pri rješavanju ovakvih problema treba se pridržavati jednog logičkog slijeda:

1. Kompilacija daljinskog upravljača. Jedan od najtežih koraka koji zahtijeva maksimalnu preciznost, jer će svaka greška dovesti do potpuno pogrešnih rezultata. Treba uzeti u obzir sve faktore koji utiču na proces i odrediti početne uslove. Također bi trebalo biti zasnovano na činjenicama i logičkim zaključcima.
2. Rješenje formulisane jednačine. Ovaj proces je jednostavniji od prvog koraka, jer zahtijeva samo stroge matematičke proračune.
3. Analiza i evaluacija rezultata. Izvedeno rješenje treba procijeniti kako bi se utvrdila praktična i teorijska vrijednost rezultata.

Primjer korištenja diferencijalnih jednadžbi u medicini

Upotreba daljinskog upravljanja u oblasti medicine javlja se prilikom izgradnje epidemiološkog matematičkog modela. Istovremeno, ne treba zaboraviti da se ove jednadžbe nalaze i u biologiji i hemiji, koje su bliske medicini, jer proučavanje različitih bioloških populacija i hemijskih procesa u ljudskom tijelu igra važnu ulogu u tome.

U gornjem primjeru epidemije, možemo razmotriti širenje infekcije u izolovanom društvu. Stanovnici su podijeljeni u tri tipa:

• Zaraženi, broj x(t), koji se sastoje od pojedinaca, nosilaca infekcije, od kojih je svaki zarazan (period inkubacije je kratak).
• Drugi tip uključujeosjetljive osobe y(t) sposobne da se zaraze kontaktom sa zaraženim osobama.
• Treća vrsta uključuje imune jedinke z(t) koje su imune ili su umrle zbog bolesti.

Broj pojedinaca je konstantan, računajući rođenje, prirodne smrti i migracije se ne uzimaju u obzir. U osnovi će biti dvije hipoteze.

Procenat incidencije u određenom vremenskom trenutku je x(t)y(t) (zasnovan na teoriji da je broj slučajeva proporcionalan broju raskrsnica između oboljelih i osjetljivih predstavnika, koji u prvom aproksimacija će biti proporcionalna x(t)y(t)), s tim u vezi, broj slučajeva raste, a broj podložnih opada brzinom koja se izračunava po formuli ax(t)y(t) (a > 0).

Broj imunih pojedinaca koji su postali imuni ili umrli raste brzinom koja je proporcionalna broju slučajeva, bx(t) (b > 0).

Kao rezultat, možete napraviti sistem jednačina uzimajući u obzir sva tri indikatora i na osnovu toga izvući zaključke.

Primjer ekonomije

Diferencijalni račun se često koristi u ekonomskoj analizi. Glavni zadatak ekonomske analize je proučavanje veličina iz ekonomije, koje se zapisuju u obliku funkcije. Ovo se koristi kada se rješavaju problemi kao što su promjena prihoda odmah nakon povećanja poreza, uvođenje dažbina, promjena prihoda preduzeća kada se promijeni trošak proizvodnje, u kojoj mjeri se penzionisani radnici mogu zamijeniti novom opremom. Za rješavanje takvih problema neophodno jeizgraditi funkciju veze od ulaznih varijabli, koje se zatim proučavaju korištenjem diferencijalnog računa.

U ekonomskoj sferi često je potrebno pronaći najoptimalnije indikatore: maksimalnu produktivnost rada, najveći prihod, najniže troškove itd. Svaki takav indikator je funkcija jednog ili više argumenata. Na primjer, proizvodnja se može posmatrati kao funkcija rada i inputa kapitala. U tom smislu, pronalaženje odgovarajuće vrijednosti može se svesti na pronalaženje maksimuma ili minimuma funkcije iz jedne ili više varijabli.

Problemi ove vrste stvaraju klasu ekstremnih problema u ekonomskom polju, za čije rješenje je potreban diferencijalni račun. Kada ekonomski indikator treba minimizirati ili maksimizirati kao funkciju drugog indikatora, tada će u tački maksimuma, omjer prirasta funkcije i argumenata težiti nuli ako prirast argumenta teži nuli. U suprotnom, kada takav omjer teži nekoj pozitivnoj ili negativnoj vrijednosti, navedena tačka nije prikladna, jer povećanjem ili smanjenjem argumenta možete promijeniti zavisnu vrijednost u traženom smjeru. U terminologiji diferencijalnog računa, to će značiti da je traženi uslov za maksimum funkcije nulta vrijednost njenog izvoda.

U ekonomiji često postoje problemi sa pronalaženjem ekstrema funkcije sa nekoliko varijabli, jer su ekonomski indikatori sastavljeni od mnogo faktora. Ovakva pitanja su dobra.proučavao teoriju funkcija više varijabli, primjenjujući metode diferencijalnog proračuna. Takvi problemi uključuju ne samo maksimizirane i minimizirane funkcije, već i ograničenja. Ovakva pitanja se odnose na matematičko programiranje, a rješavaju se uz pomoć posebno razvijenih metoda, također zasnovanih na ovoj grani nauke.

Među metodama diferencijalnog računa koje se koriste u ekonomiji, važan dio je marginalna analiza. U ekonomskoj sferi, ovaj termin se odnosi na skup metoda za proučavanje varijabilnih indikatora i rezultata pri promeni obima stvaranja, potrošnje, na osnovu analize njihovih marginalnih indikatora. Ograničavajući indikator je derivat ili parcijalni derivat sa nekoliko varijabli.

Diferencijalni račun nekoliko varijabli je važna tema u polju matematičke analize. Za detaljnu studiju možete koristiti razne udžbenike za visoko obrazovanje. Jedan od najpoznatijih kreirao je Fikhtengolts - "Kurs diferencijalnog i integralnog računa". Kao što naziv govori, vještine rada sa integralima su od velike važnosti za rješavanje diferencijalnih jednačina. Kada se izvrši diferencijalni račun funkcije jedne varijable, rješenje postaje jednostavnije. Iako, treba napomenuti, podliježe istim osnovnim pravilima. Da bi se neka funkcija u praksi proučavala diferencijalnim računom, dovoljno je slijediti već postojeći algoritam koji je dat u srednjoj školi i tek se malo komplikuje kada se uvedu novi.varijable.