Heksagonalna prizma i njene glavne karakteristike

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Zadnja izmjena: 2024-01-02 17:42

Prostorna geometrija je proučavanje prizmi. Njihove važne karakteristike su zapremina sadržana u njima, površina i broj sastavnih elemenata. U članku ćemo razmotriti sva ova svojstva za heksagonalnu prizmu.

O kojoj prizmi govorimo?

Šestougaona prizma je lik formiran od dva poligona sa šest strana i šest uglova i šest paralelograma koji povezuju označene šesterokute u jednu geometrijsku formaciju.

Slika pokazuje primjer ove prizme.

Šestougao označen crvenom bojom naziva se osnova figure. Očigledno, broj njegovih baza je jednak dva, a obje su identične. Žuto-zelenkasta lica prizme nazivaju se njenim stranicama. Na slici su predstavljeni kvadratima, ali općenito su paralelogrami.

Šesterokutna prizma može biti nagnuta i ravna. U prvom slučaju, uglovi između baze i stranica nisu ravni, u drugom su jednaki 90o. Takođe, ova prizma može biti ispravna i neispravna. Pravilni heksagonalniprizma mora biti ravna i imati pravilan šestougao u osnovi. Gornja prizma na slici zadovoljava ove zahtjeve, pa se naziva ispravnom. Dalje u članku ćemo proučavati samo njegova svojstva, kao opći slučaj.

Elementi

Za bilo koju prizmu njeni glavni elementi su ivice, lica i vrhovi. Heksagonalna prizma nije izuzetak. Gornja slika vam omogućava da prebrojite broj ovih elemenata. Dakle, dobijamo 8 lica ili stranica (dve baze i šest bočnih paralelograma), broj vrhova je 12 (6 vrhova za svaku bazu), broj ivica heksagonalne prizme je 18 (šest bočnih i 12 za baze).

U 1750-im, Leonhard Euler (švajcarski matematičar) uspostavio je za sve poliedre, koji uključuju prizmu, matematički odnos između brojeva naznačenih elemenata. Ova veza izgleda ovako:

broj ivica=broj lica + broj vrhova - 2.

Gore brojke zadovoljavaju ovu formulu.

Dijagonale prizma

Sve dijagonale heksagonalne prizme mogu se podijeliti u dva tipa:

• oni koji leže u ravnima njegovih lica;
• oni koji pripadaju cijelom volumenu figure.

Slika ispod prikazuje sve ove dijagonale.

Može se vidjeti da je D₁ bočna dijagonala, D₂ i D₃ su dijagonale cijele prizme, D₄ i D_{5 - dijagonale baze.}

Dužine dijagonala stranica su jednake jedna drugoj. Lako ih je izračunati koristeći dobro poznatu Pitagorinu teoremu. Neka je a dužina stranice šestougla, b dužina bočne ivice. Tada dijagonala ima dužinu:

D₁=√(a² + b^2).

Diagonal D₄ je takođe lako odrediti. Ako se prisjetimo da se pravilan šesterokut uklapa u krug poluprečnika a, tada je D_{4 prečnik ovog kruga, odnosno dobijamo sljedeću formulu:}

D_4=2a.

Diagonal D₅baze je nešto teže pronaći. Da biste to učinili, razmotrite jednakostranični trokut ABC (vidi sliku). Za njega AB=BC=a, ugao ABC je 120^{o. Ako spustimo visinu iz ovog ugla (to će također biti simetrala i medijana), tada će polovina AC baze biti jednaka:}

AC/2=ABsin(60o)=a√3/2.

AC strana je dijagonala D_{5, pa dobijamo:}

D_5=AC=√3a.

Sada ostaje pronaći dijagonale D₂i D_{3 pravilne heksagonalne prizme. Da biste to učinili, morate vidjeti da su to hipotenuze odgovarajućih pravokutnih trokuta. Koristeći Pitagorinu teoremu, dobijamo:}

D₂=√(D₄²+ b^2)=√(4a2^{+ b}2^);

D₃=√(D₅²+ b^2)=√(3a2^{+ b}2^).

Dakle, najveća dijagonala za bilo koju vrijednost a i b jeD_2.

Površina

Da biste razumjeli o čemu je riječ, najlakši način je razmotriti razvoj ove prizme. To je prikazano na slici.

Može se vidjeti da je za određivanje površine svih strana figure koja se razmatra potrebno posebno izračunati površinu četverokuta i površinu šesterokuta, a zatim ih pomnožiti odgovarajućim cijelim brojevima jednakim broju svakog n-ugla u prizmi i dodaj rezultate. Šestougaonici 2, pravokutnici 6.

Za površinu pravougaonika dobijamo:

S_1=ab.

Tada je bočna površina:

S_2=6ab.

Da biste odredili površinu šesterokuta, najlakši način je da koristite odgovarajuću formulu, koja izgleda ovako:

S=n/4a2ctg(pi/n).

Zamjenom broja n jednak 6 u ovaj izraz, dobijamo površinu jednog šesterokuta:

S₆=6/4a²ctg(pi/6)=3√3/2a 2^.

Ovaj izraz treba pomnožiti sa dva da se dobije površina osnove prizme:

S_os=3√3a^2.

Ostaje dodati S_os i S_{2 da dobijete ukupnu površinu figure:}

S=S_os+ S₂=3√3a^{2+ 6ab=3a(√3a + 2b).}

Zapremina prizme

Nakon formule zapovršine heksagonalne baze, izračunavanje zapremine sadržane u dotičnoj prizmi je lako kao i ljuštenje krušaka. Da biste to učinili, samo trebate pomnožiti površinu jedne baze (šestougao) s visinom figure, čija je dužina jednaka dužini bočne ivice. Dobijamo formulu:

V=S₆b=3√3/2a^2b.

Imajte na umu da proizvod baze i visine daje vrijednost zapremine apsolutno bilo koje prizme, uključujući i kosu. Međutim, u potonjem slučaju, izračunavanje visine je komplicirano, jer više neće biti jednaka dužini bočnog rebra. Što se tiče pravilne heksagonalne prizme, vrijednost njenog volumena je funkcija dvije varijable: stranica a i b.