Prizma je poliedar ili poliedar, koji se izučava u školskom kursu geometrije čvrstog tijela. Jedno od važnih svojstava ovog poliedra je njegova zapremina. Razmotrimo u članku kako se ova vrijednost može izračunati, a također dajemo formule za zapreminu prizmi - pravilnih četverokutnih i šesterokutnih.
Prizma u stereometriji
Ova figura se podrazumijeva kao poliedar, koji se sastoji od dva identična poligona smještena u paralelnim ravnima, i od nekoliko paralelograma. Za određene vrste prizmi, paralelogrami mogu predstavljati pravougaone četvorouglove ili kvadrate. Ispod je primjer takozvane peterokutne prizme.
Da biste napravili figuru kao na gornjoj slici, trebate uzeti petougao i izvršiti njegov paralelni prijenos na određenu udaljenost u prostoru. Spajanjem stranica dva petougla pomoću paralelograma, dobijamo željenu prizmu.
Svaka prizma se sastoji od lica, vrhova i ivica. Vrhovi prizmeza razliku od piramide, jednake su, svaka od njih se odnosi na jednu od dvije baze. Lica i ivice su dvije vrste: one koje pripadaju osnovama i one koje pripadaju stranicama.
Prizme su nekoliko tipova (ispravne, kose, konveksne, ravne, konkavne). Razmotrimo kasnije u članku po kojoj se formuli izračunava zapremina prizme, uzimajući u obzir oblik figure.
Opšti izraz za određivanje zapremine prizme
Bez obzira kojoj vrsti pripada figura koja se proučava, da li je ravna ili kosa, pravilna ili nepravilna, postoji univerzalni izraz koji vam omogućava da odredite njen volumen. Volumen prostorne figure je površina prostora koja je zatvorena između njenih lica. Opšta formula za zapreminu prizme je:
V=So × h.
Ovdje So predstavlja površinu baze. Treba imati na umu da govorimo o jednoj osnovi, a ne o dvije. Vrijednost h je visina. Visina figure koja se proučava podrazumijeva se kao udaljenost između njenih identičnih osnova. Ako se ovo rastojanje poklapa sa dužinama bočnih rebara, onda se govori o pravoj prizmi. U pravoj figuri, sve strane su pravokutnici.
Dakle, ako je prizma ukošena i ima nepravilan osnovni poligon, tada izračunavanje njene zapremine postaje komplikovanije. Ako je cifra ravna, tada se izračunavanje zapremine svodi samo na određivanje površine baze So.
Određivanje zapremine obične figure
Regularna je svaka prizma koja je ravna i ima poligonalnu osnovu sa stranicama i uglovima jednakim jedna drugoj. Na primjer, takvi pravilni poligoni su kvadrat i jednakostranični trokut. Istovremeno, romb nije pravilna figura, jer nisu svi njegovi uglovi jednaki.
Formula za zapreminu pravilne prizme nedvosmisleno sledi iz opšteg izraza za V, koji je napisan u prethodnom pasusu članka. Prije nego što nastavite s pisanjem odgovarajuće formule, potrebno je odrediti površinu ispravne baze. Ne ulazeći u matematičke detalje, predstavljamo formulu za određivanje naznačene površine. Univerzalno je za bilo koji regularni n-ugao i ima sljedeći oblik:
S=n / 4 × ctg (pi / n) × a2.
Kao što možete vidjeti iz izraza, površina Sn je funkcija dva parametra. Cijeli broj n može imati vrijednosti od 3 do beskonačnosti. Vrijednost a je dužina stranice n-ugla.
Za izračunavanje zapremine figure potrebno je samo pomnožiti površinu S sa visinom h ili dužinom bočne ivice b (h=b). Kao rezultat, dolazimo do sljedeće radne formule:
V=n / 4 × ctg (pi / n) × a2 × h.
Imajte na umu da za određivanje zapremine prizme proizvoljnog tipa morate znati nekoliko veličina (dužine stranica osnove, visine, diedralne uglove figure), ali da biste izračunali vrijednost V od pravilnu prizmu, moramo znati samo dva linearna parametra, na primjer, a i h.
Zapremina četvorougaone pravilne prizme
Četvorougaona prizma naziva se paralelepiped. Ako su sve njegove strane jednake i kvadratne, onda će takva figura biti kocka. Svaki učenik zna da se zapremina pravougaonog paralelepipeda ili kocke određuje množenjem njegove tri različite strane (dužine, visine i širine). Ova činjenica proizilazi iz pisanog opšteg izraza zapremine za regularnu cifru:
V=n/4 × ctg (pi / n) × a2 × h=4/4 × ctg (pi / 4) × a2× h=a2 × h.
Ovdje je kotangens od 45° jednak 1. Imajte na umu da jednakost visine h i dužine stranice baze a automatski vodi do formule za zapreminu kocke.
Zapremina heksagonalne pravilne prizme
Sada primijenite gornju teoriju da odredite volumen figure sa heksagonalnom bazom. Da biste to učinili, trebate samo zamijeniti vrijednost n=6 u formuli:
V=6/4 × ctg (pi / 6) × a2 × h=3 × √3/2 × a2 × h.
Pisani izraz se može dobiti nezavisno bez upotrebe univerzalne formule za S. Da biste to učinili, trebate podijeliti pravilni šesterokut na šest jednakostraničnih trokuta. Strana svakog od njih će biti jednaka a. Površina jednog trougla odgovara:
S3=√3/4 × a2.
Množenjem ove vrijednosti brojem trouglova (6) i visinom, dobijamo gornju formulu za zapreminu.
