Mogućnost određivanja volumena prostornih figura važna je za rješavanje geometrijskih i praktičnih problema. Jedna od ovih figura je prizma. U članku ćemo razmotriti šta je to i pokazati kako izračunati volumen nagnute prizme.
Šta znači prizma u geometriji?
Ovo je pravilan poliedar (poliedar), koji je formiran od dvije identične baze smještene u paralelnim ravnima, i nekoliko paralelograma koji povezuju označene baze.
Baze prizme mogu biti proizvoljni poligoni, kao što su trougao, četvorougao, sedmougao i tako dalje. Štaviše, broj uglova (strana) poligona određuje naziv figure.
Svaka prizma sa n-ugaonom osnovom (n je broj stranica) sastoji se od n+2 lica, 2 × n vrhova i 3 × n ivica. Iz datih brojeva se vidi da broj elemenata prizme odgovara Ojlerovoj teoremi:
3 × n=2 × n + n + 2 - 2
Slika ispod pokazuje kako izgledaju trouglaste i četverouglaste prizme od stakla.
Vrste figure. Nagnuta prizma
Već je gore rečeno da je naziv prizme određen brojem strana poligona u osnovi. Međutim, postoje i druge karakteristike u njegovoj strukturi koje određuju svojstva figure. Dakle, ako su svi paralelogrami koji tvore bočnu površinu prizme predstavljeni pravokutnicima ili kvadratima, onda se takva figura naziva ravna linija. Za ravnu prizmu, razmak između osnova je jednak dužini bočne ivice bilo kojeg pravougaonika.
Ako su neke ili sve stranice paralelogrami, onda govorimo o kosoj prizmi. Njegova visina će već biti manja od dužine bočnog rebra.
Još jedan kriterij po kojem su figure koje se razmatraju klasifikovane su dužine stranica i uglovi poligona u osnovi. Ako su međusobno jednaki, tada će poligon biti ispravan. Prava figura sa pravilnim mnogouglom u osnovima naziva se pravilna. Pogodno je raditi s njim pri određivanju površine i volumena. Kosa prizma u ovom pogledu predstavlja određene poteškoće.
Slika ispod prikazuje dvije prizme s kvadratnom bazom. Ugao od 90° pokazuje osnovnu razliku između ravne i kose prizme.
Formula za određivanje zapremine figure
Dio prostora omeđen plohama prizme naziva se njen volumen. Za razmatrane figure bilo koje vrste, ova vrijednost se može odrediti sljedećom formulom:
V=h × So
Ovdje simbol h označava visinu prizme,što je mjera udaljenosti između dvije baze. Simbol So- jedan osnovni kvadrat.
Osnovnu površinu je lako pronaći. S obzirom na činjenicu da li je poligon pravilan ili ne, i znajući broj njegovih strana, treba primijeniti odgovarajuću formulu i dobiti So. Na primjer, za regularni n-ugao sa dužinom stranice a, površina će biti:
S=n / 4 × a2 × ctg (pi / n)
Sada idemo na visinu h. Za ravnu prizmu određivanje visine nije teško, ali za kosu prizmu to nije lak zadatak. Može se riješiti raznim geometrijskim metodama, počevši od specifičnih početnih uslova. Međutim, postoji univerzalni način za određivanje visine figure. Hajde da to ukratko opišemo.
Ideja je pronaći udaljenost od tačke u prostoru do ravni. Pretpostavimo da je ravan data jednačinom:
A × x+ B × y + C × z + D=0
Tada će avion biti na udaljenosti:
h=|A × x1 + B × y1+ C × z1 +D| / √ (A2 + B2+ C2)
Ako su koordinatne ose raspoređene tako da tačka (0; 0; 0) leži u ravni donje osnove prizme, tada se jednačina za osnovnu ravninu može napisati na sledeći način:
z=0
To znači da će formula za visinu biti napisanadakle:
h=z1
Za određivanje visine figure dovoljno je pronaći z-koordinatu bilo koje tačke gornje baze.
Primjer rješavanja problema
Slika ispod prikazuje četvorougaonu prizmu. Osnova nagnute prizme je kvadrat sa stranicom 10 cm. Potrebno je izračunati njegovu zapreminu ako je poznato da je dužina bočne ivice 15 cm, a oštar ugao čeonog paralelograma 70°.
Pošto je visina h figure ujedno i visina paralelograma, koristimo formule da odredimo njegovu površinu da bismo pronašli h. Označimo stranice paralelograma na sljedeći način:
a=10cm;
b=15cm
Onda možete napisati sljedeće formule za to da odredite površinu Sp:
Sp=a × b × sin (α);
Sp=a × h
Odakle dobijamo:
h=b × sin (α)
Ovdje α je oštar ugao paralelograma. Budući da je osnova kvadrat, formula za zapreminu kosih prizme imat će oblik:
V=a2 × b × sin (α)
Podatke iz uslova zamjenjujemo u formulu i dobijamo odgovor: V ≈ 1410 cm3.
