Bertrandov paradoks je problem u klasičnoj interpretaciji teorije vjerovatnoće. Joseph je to uveo u svom djelu Calcul des probabilités (1889) kao primjer da se vjerovatnoće ne mogu dobro definirati ako mehanizam ili metoda proizvodi slučajnu varijablu.
Izjava o problemu
Bertrandov paradoks je sljedeći.
Prvo, razmotrite jednakostranični trougao upisan u krug. U ovom slučaju, prečnik se bira nasumično. Kolika je vjerovatnoća da je duži od stranice trougla?
Bertrand je iznio tri argumenta, od kojih se svi čini da su tačni, ali daju različite rezultate.
Metoda slučajne krajnje tačke
Morate odabrati dva mjesta na krugu i nacrtati luk koji ih povezuje. Za proračun se uzima u obzir Bertrandov paradoks vjerovatnoće. Potrebno je zamisliti da je trokut rotiran tako da se njegov vrh poklapa s jednom od krajnjih tačaka tetive. Vrijedi platitiimajte na umu da ako je drugi dio na luku između dva mjesta, krug je duži od stranice trougla. Dužina luka je jedna trećina kruga, tako da je vjerovatnoća da je nasumična tetiva duža 1/3.
Način odabira
Potrebno je odabrati poluprečnik kružnice i tačku na njoj. Nakon toga, morate izgraditi tetivu kroz ovo mjesto, okomito na prečnik. Da bismo izračunali razmatrani Bertrandov paradoks teorije vjerovatnoće, moramo zamisliti da je trokut rotiran tako da je stranica okomita na polumjer. Tetiva je duža od kraka ako je odabrana tačka bliža centru kruga. I u ovom slučaju, stranica trougla deli poluprečnik. Stoga je vjerovatnoća da je tetiva duža od stranice upisane figure 1/2.
Nasumični akordi
Metoda srednje tačke. Potrebno je odabrati mjesto na krugu i kreirati akord sa zadatom sredinom. Osa je duža od ruba upisanog trokuta, ako je odabrana lokacija unutar koncentričnog kruga polumjera 1/2. Površina manjeg kruga je jedna četvrtina veće figure. Stoga je vjerovatnoća slučajnog tetiva duža od stranice upisanog trougla i jednaka je 1/4.
Kao što je gore predstavljeno, metode odabira se razlikuju po težini koju daju određenim akordima, a to su prečnici. U metodi 1, svaki akord se može odabrati na tačno jedan način, bez obzira da li je prečnik ili ne.
U metodi 2, svaka ravna linija se može odabrati na dva načina. Dok će se izabrati bilo koji drugi akordsamo jedna od mogućnosti.
U metodi 3, svaki odabir srednje tačke ima jedan parametar. Osim centra kruga, koji je središte svih prečnika. Ovi problemi se mogu izbjeći tako što ćete "naručiti" sva pitanja da isključe parametre bez utjecaja na rezultirajuće vjerovatnoće.
Odaberite metode se također mogu vizualizirati na sljedeći način. Tetiva koja nije dijametar je jedinstveno identificirana po svojoj sredini. Svaka od tri gore predstavljene metode odabira proizvodi različitu distribuciju sredine. I opcije 1 i 2 pružaju dvije različite neujednačene particije, dok metod 3 daje uniformnu distribuciju.
Klasični paradoks rješavanja Bertrandovog problema ovisi o metodi kojom se akord bira "nasumično". Ispada da ako se unaprijed specificira metoda slučajnog odabira, problem ima dobro definirano rješenje. To je zato što svaka pojedinačna metoda ima svoju distribuciju akorda. Tri odluke koje je pokazao Bertrand odgovaraju različitim načinima selekcije i, u nedostatku dodatnih informacija, nema razloga da se daje prednost jednoj drugoj. Shodno tome, navedeni problem nema jedinstveno rješenje.
Primjer kako opći odgovor učiniti jedinstvenim je specificiranje da su krajnje tačke tetive ravnomjerno raspoređene između 0 i c, gdje je c obim kruga. Ova distribucija je ista kao u Bertrandovom prvom argumentu i rezultirajuća jedinstvena vjerovatnoća će biti 1/3.
Ovaj paradoks Bertranda Russela i druge posebnosti klasiketumačenja mogućnosti opravdavaju rigoroznije formulacije. Uključujući učestalost vjerovatnoće i subjektivističku Bayesovu teoriju.
Šta leži u osnovi Bertrandovog paradoksa
U svom članku iz 1973. "Dobro postavljen problem", Edwin Jaynes je ponudio svoje jedinstveno rješenje. Napomenuo je da je Bertrandov paradoks zasnovan na premisi zasnovanoj na principu "maksimalnog neznanja". To znači da ne biste trebali koristiti informacije koje nisu navedene u izjavi o problemu. Jaynes je istakao da Bertrandov problem ne određuje položaj ili veličinu kruga. I tvrdio da stoga svaka konačna i objektivna odluka mora biti "indiferentna" prema veličini i položaju.
U svrhu ilustracije
Pod pretpostavkom da su svi akordi nasumično raspoređeni na krug od 2 cm, sada morate baciti slamke na njega izdaleka.
Onda trebate uzeti još jedan krug manjeg prečnika (na primjer, 1 centimetar), koji se uklapa u veću figuru. Tada bi raspored tetiva na ovom manjem krugu trebao biti isti kao i na maksimalnom. Ako se i druga figura kreće unutar prve, vjerovatnoća se u principu ne bi trebala mijenjati. Vrlo je lako vidjeti da će se za metodu 3 dogoditi sljedeća promjena: raspodjela akorda na malom crvenom krugu će biti kvalitativno različita od raspodjele na velikom krugu.
Isto se dešava i za metodu 1. Iako je to teže vidjeti u grafičkom prikazu.
Metoda 2 je jedinašto se ispostavilo da je i skala i invarijanta prijevoda.
Metoda broj 3 izgleda da je jednostavno proširiva.
Metoda 1 nije ni jedno ni drugo.
Međutim, Janes nije lako koristila invarijante da prihvati ili odbaci ove metode. To bi ostavilo mogućnost da postoji još jedna neopisana metoda koja bi odgovarala svojim aspektima razumnog značenja. Jaynes je primijenio integralne jednačine koje opisuju invarijante. Da direktno odredimo distribuciju vjerovatnoće. U njegovom problemu, integralne jednadžbe zaista imaju jedinstveno rješenje, a to je upravo ono što je gore nazvano drugom metodom slučajnog radijusa.
U radu iz 2015. Alon Drory tvrdi da Jaynesov princip može dovesti do dva druga Bertrandova rješenja. Autor uvjerava da matematička implementacija navedenih svojstava invarijantnosti nije jedinstvena, već ovisi o osnovnoj proceduri slučajnog odabira koju osoba odluči koristiti. On pokazuje da se svako od tri Bertrandova rješenja može dobiti korištenjem rotacijske, skalirajuće i translacijske invarijantnosti. U isto vrijeme, zaključujući da je Jaynesov princip jednako podložan tumačenju kao i sam način ravnodušnosti.
Fizički eksperimenti
Metoda 2 je jedino rješenje koje zadovoljava transformacijske invarijante koje su prisutne u specifičnim fiziološkim konceptima kao što su statistička mehanika i struktura plina. Također u predJanesov eksperiment bacanja slamki iz malog kruga.
Međutim, mogu se osmisliti i drugi praktični eksperimenti koji daju odgovore prema drugim metodama. Na primjer, da biste došli do rješenja za prvu metodu slučajne krajnje točke, možete pričvrstiti brojač na centar područja. I neka rezultati dvije nezavisne rotacije istaknu konačna mjesta akorda. Da bi se došlo do rješenja treće metode, krug se može pokriti melasom, na primjer, i označiti prvu tačku na koju muva sleti kao srednju tetivu. Nekoliko kontemplatora je napravilo studije kako bi izvuklo različite zaključke i empirijski potvrdilo rezultate.
Najnoviji događaji
U svom članku iz 2007. "Bertrandov paradoks i princip ravnodušnosti", Nicholas Shackel tvrdi da više od stoljeća kasnije, problem i dalje ostaje neriješen. Ona dalje opovrgava princip ravnodušnosti. Nadalje, u svom radu iz 2013. godine, „Ponovo pregledan paradoks Bertranda Russela: Zašto sva rješenja nisu praktična“, Darrell R. Robottom pokazuje da sve predložene presude nemaju nikakve veze s njegovim vlastitim pitanjem. Tako se ispostavilo da bi paradoks bilo mnogo teže riješiti nego što se mislilo.
Shackel naglašava da su do sada mnogi naučnici i ljudi daleko od nauke pokušavali da razriješe Bertrandov paradoks. I dalje se prevazilazi uz pomoć dva različita pristupa.
One u kojima se razmatrala razlika između neekvivalentnih problema i onih u kojima se problem uvijek smatrao ispravnim. Shackel citira Louisa u svojim knjigamaMarinoff (kao tipični eksponent strategije diferencijacije) i Edwin Jaynes (kao autor dobro osmišljene teorije).
Međutim, u svom nedavnom radu Rješavanje složenog problema, Diederik Aerts i Massimiliano Sassoli de Bianchi vjeruju da se premise moraju tražiti u mješovitoj strategiji da bi se riješio Bertrandov paradoks. Prema ovim autorima, prvi korak je rješavanje problema jasnim navođenjem prirode entiteta koji se nasumično bira. I tek nakon što se to učini, svaki se problem može smatrati ispravnim. To je ono što Janes misli.
Tako da se princip maksimalnog neznanja može koristiti da se to riješi. U tu svrhu, a pošto problem ne precizira kako treba izabrati akord, princip se ne primjenjuje na nivou različitih mogućnosti, već na mnogo dubljem.
Izbor dijelova
Ovaj dio problema zahtijeva izračunavanje metaprosjeka za sve moguće načine, što autori nazivaju univerzalnom sredinom. Da bi se pozabavili ovim, koriste metodu diskretizacije. Inspirisan onim što se radi u definisanju zakona verovatnoće u Wiener procesima. Njihov rezultat je konzistentan sa numeričkim rezultatom Jaynesa, iako se njihov dobro postavljen problem razlikuje od originalnog autorovog.
U ekonomiji i trgovini, Bertrandov paradoks, nazvan po svom tvorcu Joseph Bertrandu, opisuje situaciju u kojoj dva igrača (firme) postižu Nashovu ravnotežu. Kada obje firme postave cijenu jednaku graničnom trošku(MS).
Bertrandov paradoks se zasniva na premisi. Ona leži u činjenici da je u modelima kao što je Cournot konkurencija, povećanje broja firmi povezano sa konvergencijom cijena sa graničnim troškovima. U ovim alternativnim modelima, Bertrandov paradoks je u oligopolu malog broja firmi koje zarađuju pozitivne profite naplaćujući cijene iznad cijene.
Za početak, vrijedi pretpostaviti da dvije firme A i B prodaju homogeni proizvod, od kojih svaka ima iste troškove proizvodnje i distribucije. Iz toga proizilazi da kupci biraju proizvod isključivo na osnovu cijene. To znači da je potražnja beskonačno cjenovno elastična. Ni A ni B neće postaviti višu cijenu od ostalih, jer bi to izazvalo kolaps cijelog Bertrandovog paradoksa. Jedan od učesnika na tržištu će popustiti svom konkurentu. Ako odrede istu cijenu, kompanije će podijeliti profit.
S druge strane, ako bilo koja firma makar malo snizi cijenu, dobiće cijelo tržište i znatno veći prinos. Pošto A i B to znaju, svaki od njih će pokušati da potkopaju konkurenta sve dok se proizvod ne proda za nultu ekonomsku dobit.
Nedavni rad je pokazao da može postojati dodatna ravnoteža u paradoksu Bertrandove mješovite strategije, sa pozitivnim ekonomskim profitom, pod uvjetom da je suma monopola beskonačna. Za slučaj konačnog profita, pokazalo se da je pozitivan porast u uslovima cjenovne konkurencije nemoguć u mješovitim ravnotežama, pa čak i u širem slučaju.korelirani sistemi.
U stvari, Bertrandov paradoks u ekonomiji rijetko se viđa u praksi, jer se pravi proizvodi gotovo uvijek razlikuju na neki drugi način osim cijene (na primjer, preplaćivanje etikete). Firme imaju ograničenja u svojoj sposobnosti proizvodnje i distribucije. Zbog toga dvije kompanije rijetko imaju iste troškove.
Bertrandov rezultat je paradoksalan jer ako se broj firmi poveća sa jedne na dvije, cijena pada iz monopolske u konkurentsku i ostaje na istom nivou kao i broj firmi koje se nakon toga povećavaju. Ovo nije baš realno, jer u stvarnosti, tržišta sa malo firmi sa tržišnom snagom imaju tendenciju da naplaćuju cijene iznad graničnih troškova. Empirijska analiza pokazuje da većina industrija sa dva konkurenta stvara pozitivne profite.
U modernom svijetu, naučnici pokušavaju pronaći rješenja za paradoks koja su u skladu sa Cournotovim modelom konkurencije. Gdje dvije firme na tržištu ostvaruju pozitivan profit koji je negdje između savršeno konkurentnog i monopolskog nivoa.
Neki razlozi zašto Bertrandov paradoks nije direktno povezan sa ekonomijom:
- Ograničenja kapaciteta. Ponekad firme nemaju dovoljno kapaciteta da zadovolje svu potražnju. Ovu tezu je prvi pokrenuo Francis Edgeworth i doveo do Bertrand-Edgeworth modela.
- Cijene cjelobrojne. Cijene iznad MC su isključene jer jedna firma može nasumično potcijeniti drugu.mala količina. Ako su cijene diskretne (na primjer, moraju imati cjelobrojne vrijednosti), onda jedna firma mora potcijeniti drugu za najmanje jednu rublju. To implicira da je vrijednost sitne valute iznad MC. Ako druga firma postavi cijenu za nju veću, druga firma je može sniziti i zauzeti cijelo tržište, Bertrandov paradoks se sastoji upravo u tome. To joj neće doneti nikakav profit. Ovaj posao će radije dijeliti prodaju 50/50 s drugom firmom i ostvarivati čisto pozitivan prihod.
- Diferencijacija proizvoda. Ako se proizvodi različitih firmi razlikuju jedni od drugih, potrošači se možda neće u potpunosti prebaciti na proizvode sa nižom cijenom.
- Dinamično takmičenje. Ponovljena interakcija ili ponovljena konkurencija cijena mogu dovesti do ravnoteže vrijednosti.
- Više artikala za veći iznos. Ovo proizilazi iz ponovljene interakcije. Ako jedna kompanija postavi svoju cijenu malo višu, i dalje će dobiti otprilike isti broj kupovina, ali više profita po artiklu. Stoga će druga kompanija povećati svoju maržu itd. (Samo u reprizama, inače dinamika ide u drugom smjeru).
Oligopoly
Ako se dvije kompanije mogu dogovoriti oko cijene, u njihovom je dugoročnom interesu da održe dogovor: prihod od smanjenja vrijednosti manji je od dvostrukog prihoda od poštivanja sporazuma i traje samo dok druga firma ne smanji svoj vlastite cijene.
Teorijavjerovatnoće (kao i ostatak matematike) je zapravo nedavni izum. A razvoj nije tekao glatko. Prve pokušaje da se formalizuje račun vjerovatnoće napravio je markiz de Laplace, koji je predložio da se koncept definiše kao omjer broja događaja koji vode do ishoda.
Ovo, naravno, ima smisla samo ako je broj svih mogućih događaja konačan. A osim toga, svi događaji su podjednako vjerovatni.
Tako se u to vrijeme činilo da ovi koncepti nemaju čvrstu osnovu. Pokušaji da se definicija proširi na slučaj beskonačnog broja događaja doveli su do još većih poteškoća. Bertrandov paradoks je jedno takvo otkriće koje je matematičare učinilo opreznim u pogledu cijelog koncepta vjerovatnoće.
