Matrice i determinante su otkrivene u osamnaestom i devetnaestom veku. U početku se njihov razvoj odnosio na transformaciju geometrijskih objekata i rješavanje sistema linearnih jednačina. Istorijski gledano, rani naglasak je bio na odrednici. U modernim metodama obrade linearne algebre prvo se razmatraju matrice. Vrijedi malo razmisliti o ovom pitanju.
Odgovori iz ove oblasti znanja
Matrice pružaju teoretski i praktično koristan način za rješavanje mnogih problema, kao što su:
- sistemi linearnih jednadžbi;
- ravnoteža čvrstih tijela (u fizici);
- teorija grafova;
- Leontiefov ekonomski model;
- šumarstvo;
- kompjuterska grafika i tomografija;
- genetika;
- kriptografija;
- električne mreže;
- fraktal.
U stvari, matrična algebra za "lutke" ima pojednostavljenu definiciju. Izražava se na sljedeći način: ovo je naučna oblast znanja u kojojdotične vrijednosti se proučavaju, analiziraju i u potpunosti istražuju. U ovom dijelu algebre proučavaju se različite operacije na matricama koje se proučavaju.
Kako raditi sa matricama
Ove vrijednosti se smatraju jednakim ako imaju iste dimenzije i svaki element jednog je jednak odgovarajućem elementu drugog. Moguće je pomnožiti matricu sa bilo kojom konstantom. Ovo dato se zove skalarno množenje. Primjer: 2=[1234]=[2⋅12⋅32⋅22⋅4]=[2468].
Matrice iste veličine se mogu dodavati i oduzimati unosima, a vrijednosti kompatibilnih veličina mogu se množiti. Primjer: dodajte dva A i B: A=[21−10]B=[1423]. Ovo je moguće jer su A i B obje matrice sa dva reda i istim brojem stupaca. Potrebno je svaki element iz A dodati odgovarajućem elementu u B: A+B=[2+11+2−1+40+3]=[3333]. Matrice se oduzimaju na isti način u algebri.
Množenje matrice radi malo drugačije. Štaviše, može biti mnogo slučajeva i opcija, kao i rješenja. Ako pomnožimo matricu Apq i Bmn, onda je proizvod Ap×q+Bm×n=[AB]p×n. Unos u g-tom redu i h-tom stupcu AB je zbir proizvoda odgovarajućih unosa u g A i h B. Moguće je pomnožiti dvije matrice samo ako je broj stupaca u prvom i redova u drugom su jednaki. Primjer: ispuniti uslov za razmatrane A i B: A=[1−130]B=[2−11214]. To je moguće jer prva matrica sadrži 2 stupca, a druga 2 reda. AB=[1⋅2+3⋅−1−1⋅2+0⋅−11⋅1+3⋅2−1⋅1+0⋅21⋅1+3⋅4−1⋅1+0⋅4]=[−1−27−113−1].
Osnovne informacije o matricama
Dotične vrijednosti organiziraju informacije kao što su varijable i konstante i pohranjuju ih u redove i stupce, koji se obično nazivaju C. Svaka pozicija u matrici naziva se element. Primjer: C=[1234]. Sastoji se od dva reda i dvije kolone. Element 4 je u redu 2 i koloni 2. Obično možete imenovati matricu prema njenim dimenzijama, ona koja se zove Cmk ima m redova i k kolona.
Proširene matrice
Razmatranja su nevjerovatno korisne stvari koje se pojavljuju u mnogim različitim područjima primjene. Matrice su prvobitno bile zasnovane na sistemima linearnih jednačina. S obzirom na sljedeću strukturu nejednakosti, potrebno je uzeti u obzir sljedeću dopunjenu matricu:
2x + 3y – z=6
–x – y – z=9
x + y + 6z=0.
Zapišite koeficijente i vrijednosti odgovora, uključujući sve znake minus. Ako je element s negativnim brojem, tada će biti jednak "1". Odnosno, s obzirom na sistem (linearnih) jednačina, moguće je pridružiti mu matricu (mrežu brojeva unutar zagrada). To je onaj koji sadrži samo koeficijente linearnog sistema. Ovo se zove "proširena matrica". Mreža koja sadrži koeficijente s lijeve strane svake jednačine je "ispunjena" odgovorima s desne strane svake jednačine.
Zapisi, tjB vrijednosti matrice odgovaraju x-, y- i z vrijednostima u originalnom sistemu. Ako je pravilno raspoređen, prvo ga provjerite. Ponekad morate preurediti termine ili umetnuti nule kao čuvare mjesta u matrici koja se proučava ili proučava.
S obzirom na sljedeći sistem jednačina, možemo odmah napisati pridruženu proširenu matricu:
x + y=0
y + z=3
z – x=2.
Prvo, obavezno preuredite sistem kao:
x + y=0
y + z=3
–x + z=2.
Tada je moguće zapisati pridruženu matricu kao: [11000113-1012]. Prilikom formiranja proširenog, vrijedi koristiti nulu za bilo koji zapis gdje je odgovarajuće mjesto u sistemu linearnih jednačina prazno.
Matrična algebra: Svojstva operacija
Ako je potrebno formirati elemente samo od vrijednosti koeficijenata, tada će razmatrana vrijednost izgledati ovako: [110011-101]. Ovo se zove "matrica koeficijenata".
Uzimajući u obzir sljedeću proširenu matričnu algebru, potrebno ju je poboljšati i dodati pripadajući linearni sistem. S obzirom na to, važno je zapamtiti da one zahtijevaju da varijable budu dobro raspoređene i uredne. I obično kada postoje tri varijable, koristite x, y i z tim redoslijedom. Prema tome, pridruženi linearni sistem bi trebao biti:
x + 3y=4
2y - z=5
3x + z=-2.
Veličina matrice
Dotične stavke se često pominju po njihovoj izvedbi. Veličina matrice u algebri je data kaomjerenja, jer se prostorija može drugačije nazvati. Mjerene mjere vrijednosti su redovi i kolone, a ne širina i dužina. Na primjer, matrica A:
[1234]
[2345]
[3456].
Pošto A ima tri reda i četiri kolone, veličina A je 3 × 4.
→
↓
Linije idu bočno. Kolone idu gore-dole. "Red" i "kolona" su specifikacije i nisu međusobno zamjenjive. Veličine matrice su uvijek specificirane s brojem redova, a zatim brojem stupaca. Slijedeći ovu konvenciju, sljedeće B:
[123]
[234] je 2 × 3. Ako matrica ima isti broj redova kao i kolone, onda se zove "kvadrat". Na primjer, vrijednosti koeficijenta odozgo:
[110]
[011]
[-101] je kvadratna matrica 3×3.
Matrična notacija i formatiranje
Napomena o formatiranju: Na primjer, kada trebate napisati matricu, važno je koristiti zagrade . Trake apsolutne vrijednosti || se ne koriste jer imaju drugačiji smjer u ovom kontekstu. Nikada se ne koriste zagrade ili vitičaste zagrade {}. Ili neki drugi simbol za grupisanje, ili nikakav, jer ove prezentacije nemaju nikakvo značenje. U algebri, matrica je uvijek unutar uglastih zagrada. Mora se koristiti samo tačna notacija, inače se odgovori mogu smatrati pogrešnim.
Kao što je ranije spomenuto, vrijednosti sadržane u matrici nazivaju se zapisi. Iz bilo kojeg razloga, dotični elementi su obično napisanivelika slova, kao što su A ili B, a unosi su specificirani pomoću odgovarajućih malih slova, ali sa indeksima. U matrici A, vrijednosti se obično nazivaju "ai, j", gdje je i red A, a j stupac A. Na primjer, a3, 2=8. Unos za a1, 3 je 3.
Za manje matrice, one sa manje od deset redova i kolona, zarez se ponekad izostavlja. Na primjer, "a1, 3=3" se može napisati kao "a13=3". Očigledno ovo neće raditi za velike matrice jer će a213 biti nejasan.
Tipovi matrica
Ponekad klasifikovani prema konfiguraciji zapisa. Na primjer, takva matrica koja ima sve nulte unose ispod dijagonale gornje-lijevo-dolje-desno "dijagonale" naziva se gornji trokut. Između ostalog, mogu postojati i druge vrste i vrste, ali nisu baš korisne. Općenito, uglavnom se percipira kao gornji trokut. Vrijednosti s eksponentima koji nisu nula samo horizontalno se nazivaju dijagonalnim vrijednostima. Slični tipovi imaju unose različite od nule u kojima su svi 1, takvi se odgovori nazivaju identičnimi (iz razloga koji će postati jasni kada se nauči i shvati kako pomnožiti dotične vrijednosti). Postoji mnogo sličnih indikatora istraživanja. Identitet 3 × 3 je označen sa I3. Slično, 4 × 4 identitet je I4.
Matrična algebra i linearni prostori
Primjetite da su trokutaste matrice kvadratne. Ali dijagonale su trouglaste. S obzirom na to, jesukvadrat. I identiteti se smatraju dijagonalama i, prema tome, trokutastim i kvadratnim. Kada je potrebno opisati matricu, obično se jednostavno specificira sopstvena najspecifičnija klasifikacija, jer to implicira sve ostale. Klasificirajte sljedeće opcije istraživanja:kao 3 × 4. U ovom slučaju, one nisu kvadratne. Dakle, vrijednosti ne mogu biti ništa drugo. Sljedeća klasifikacija:je moguća kao 3 × 3. Ali smatra se kvadratom i nema ništa posebno u vezi s tim. Klasifikacija sljedećih podataka:kao 3 × 3 gornji trokut, ali nije dijagonalni. Istina, u vrijednostima koje se razmatraju mogu postojati dodatne nule na ili iznad lociranog i naznačenog prostora. Klasifikacija koja se proučava je dalje: [0 0 1] [1 0 0] [0 1 0], gdje je predstavljena kao dijagonala i, štaviše, svi unosi su 1. Onda je ovo 3 × 3 identitet, I3.
Pošto su analogne matrice po definiciji kvadratne, trebate koristiti samo jedan indeks da biste pronašli njihove dimenzije. Da bi dvije matrice bile jednake, moraju imati isti parametar i iste unose na istim mjestima. Na primjer, pretpostavimo da se razmatraju dva elementa: A=[1 3 0] [-2 0 0] i B=[1 3] [-2 0]. Ove vrijednosti ne mogu biti iste jer se razlikuju po veličini.
Čak i ako su A i B: A=[3 6] [2 5] [1 4] i B=[1 2 3] [4 5 6] - i dalje nisu isti ista stvar. A i B imaju svakišest unosa i također imaju iste brojeve, ali to nije dovoljno za matrice. A je 3×2. A B je matrica 2×3. A za 3×2 nije 2×3. Nije bitno da li A i B imaju istu količinu podataka ili čak iste brojeve kao zapisi. Ako A i B nisu iste veličine i oblika, ali imaju identične vrijednosti na sličnim mjestima, nisu jednaki.
Slične operacije u području koje se razmatra
Ovo svojstvo matrične jednakosti može se pretvoriti u zadatke za nezavisno istraživanje. Na primjer, date su dvije matrice i naznačeno je da su jednake. U ovom slučaju, morat ćete koristiti ovu jednakost da istražite i dobijete odgovore za vrijednosti varijabli.
Primjeri i rješenja matrica u algebri mogu biti raznoliki, posebno kada su u pitanju jednakosti. S obzirom da se razmatraju sljedeće matrice, potrebno je pronaći vrijednosti x i y. Da bi A i B bili jednaki, moraju biti iste veličine i oblika. U stvari, takve su, jer je svaka od njih 2 × 2 matrice. I treba da imaju iste vrijednosti na istim mjestima. Tada a1, 1 mora biti jednako b1, 1, a1, 2 mora biti jednako b1, 2, itd. njih). Ali, a1, 1=1 očigledno nije jednako b1, 1=x. Da bi A bio identičan B, unos mora imati a1, 1=b1, 1, tako da može biti 1=x. Slično, indeksi a2, 2=b2, 2, pa je 4=y. Tada je rješenje: x=1, y=4. S obzirom da je sljedećematrice su jednake, potrebno je pronaći vrijednosti x, y i z. Da bi imali A=B, koeficijenti moraju imati sve unose jednake. To jest, a1, 1=b1, 1, a1, 2=b1, 2, a2, 1=b2, 1 i tako dalje. Posebno morate:
4=x
-2=y + 4
3=z / 3.
Kao što možete vidjeti iz odabranih matrica: sa 1, 1-, 2, 2- i 3, 1-elementima. Rješavajući ove tri jednačine, dobijamo odgovor: x=4, y=-6 i z=9. Matrična algebra i matrične operacije se razlikuju od onoga na što su svi navikli, ali se ne mogu reproducirati.
Dodatne informacije u ovoj oblasti
Linearna matrična algebra je proučavanje sličnih skupova jednačina i njihovih transformacijskih svojstava. Ova oblast znanja vam omogućava da analizirate rotacije u prostoru, aproksimirate najmanje kvadrate, rešite povezane diferencijalne jednadžbe, odredite kružnicu koja prolazi kroz tri date tačke i reši mnoge druge probleme iz matematike, fizike i tehnologije. Linearna algebra matrice zapravo nije tehnički smisao riječi koja se koristi, to jest vektorski prostor v iznad polja f, itd.
Matrica i determinanta su izuzetno korisni alati linearne algebre. Jedan od centralnih zadataka je rješenje matrične jednačine Ax=b, za x. Iako bi se ovo teoretski moglo riješiti korištenjem inverznog x=A-1 b. Druge metode, kao što je Gaussova eliminacija, su brojčano pouzdanije.
Pored toga što se koristi za opisivanje proučavanja linearnih skupova jednačina, specificiranigornji termin se također koristi za opisivanje određene vrste algebre. Konkretno, L nad poljem F ima strukturu prstena sa svim uobičajenim aksiomima za unutrašnje sabiranje i množenje, zajedno sa distributivnim zakonima. Stoga mu daje više strukture od prstena. Linearna matrična algebra također dopušta vanjsku operaciju množenja skalarima koji su elementi osnovnog polja F. Na primjer, skup svih razmatranih transformacija iz vektorskog prostora V u sebe nad poljem F formira se nad F. Drugi primjer linearne algebra je skup svih realnih kvadratnih matrica nad poljem R realnih brojeva.
