U današnjem svijetu sve više koristimo razne automobile i uređaje. I to ne samo kada je potrebno primeniti bukvalno neljudsku snagu: pomeriti teret, podići ga u visinu, kopati dug i dubok rov, itd. Automobile danas sklapaju roboti, hranu pripremaju multivarke, a elementarna aritmetička izračunavanja izvode kalkulatori. Sve češće čujemo izraz "Boolean algebra". Možda je vrijeme da shvatimo ulogu čovjeka u stvaranju robota i sposobnost mašina da rješavaju ne samo matematičke, već i logičke probleme.
Logic
Prevedeno sa grčkog, logika je uređeni sistem mišljenja koji stvara odnose između datih uslova i omogućava vam da donosite zaključke na osnovu premisa i pretpostavki. Često se pitamo jedni druge: "Da li je logično?" Dobijeni odgovor potvrđuje naše pretpostavke ili kritikuje tok misli. Ali proces se ne zaustavlja: nastavljamo s rasuđivanjem.
Ponekad je broj uslova (uvodnih) tako velik, a odnosi između njih su toliko zamršeni i složeni da ljudski mozak nije u stanju da "svari" sve odjednom. Može potrajati više od mjesec dana (sedmica, godina) da se shvati šta se dešava. Alisavremeni život nam ne daje takve vremenske intervale za donošenje odluka. I pribjegavamo pomoći kompjutera. I tu se pojavljuje algebra logike, sa svojim vlastitim zakonima i svojstvima. Preuzimanjem svih početnih podataka omogućavamo kompjuteru da prepozna sve odnose, otkloni kontradikcije i pronađe zadovoljavajuće rješenje.
Matematika i logika
Čuveni Gottfried Wilhelm Leibniz formulisao je koncept "matematičke logike", čiji su problemi bili razumljivi samo uskom krugu naučnika. Ovaj pravac nije izazvao posebno interesovanje, a sve do sredine 19. veka malo ljudi je znalo za matematičku logiku.
Veliko interesovanje u naučnoj zajednici izazvalo je spor u kojem je Englez George Boole najavio svoju namjeru da stvori granu matematike koja nema apsolutno nikakvu praktičnu primjenu. Kao što se sjećamo iz istorije, tada se aktivno razvijala industrijska proizvodnja, razvijale su se sve vrste pomoćnih mašina i alatnih mašina, odnosno sva naučna otkrića su imala praktičan fokus.
Gledajući unaprijed, recimo da je Bulova algebra najčešće korišteni dio matematike u modernom svijetu. Tako je Bull izgubio argument.
George Buhl
Sama ličnost autora zaslužuje posebnu pažnju. Čak i s obzirom na to da su u prošlosti ljudi odrastali prije nas, ipak je nemoguće ne primijetiti da je J. Buhl sa 16 godina predavao u seoskoj školi, a sa 20 je otvorio svoju školu u Linkolnu. Matematičar je tečno govorio pet stranih jezika, a u slobodno vreme je čitao delaNewton i Lagrange. A sve je ovo o sinu prostog radnika!
Godine 1839. Boole je prvi put poslao svoje naučne radove Cambridge Mathematical Journalu. Naučnik ima 24 godine. Booleov rad je toliko zainteresovao članove Kraljevskog društva da je 1844. godine dobio medalju za doprinos razvoju matematičke analize. Još nekoliko objavljenih radova, koji su opisivali elemente matematičke logike, omogućili su mladom matematičaru da preuzme mjesto profesora na koledžu u Corku. Podsjetimo da sam Buhl nije imao obrazovanje.
Ideja
U principu, Bulova algebra je vrlo jednostavna. Postoje iskazi (logički izrazi) koji se, sa stanovišta matematike, mogu definisati samo sa dvije riječi: “tačno” ili “netačno”. Na primjer, u proljeće drveće cvjeta - istina, ljeti pada snijeg - laž. Ljepota ove matematike je u tome što nema striktne potrebe da se koriste samo brojevi. Bilo koji iskaz sa nedvosmislenim značenjem sasvim je prikladan za algebru sudova.
Dakle, algebra logike se može koristiti bukvalno svuda: u planiranju i pisanju instrukcija, analiziranju konfliktnih informacija o događajima i određivanju redosleda akcija. Najvažnije je shvatiti da je potpuno nevažno kako utvrđujemo istinitost ili neistinitost iskaza. Ove "kako" i "zašto" treba apstrahovati. Važna je samo izjava o činjenicama: tačno-netačno.
Naravno, za programiranje su važne funkcije algebre logike, koje pišu odgovarajućiznakovi i simboli. A naučiti ih znači savladati novi strani jezik. Ništa nije nemoguće.
Osnovni koncepti i definicije
Ne ulazeći u dubinu, pozabavimo se terminologijom. Dakle, Booleova algebra pretpostavlja:
- izjave;
- logičke operacije;
- funkcije i zakoni.
Izjave su bilo koji afirmativni izrazi koji se ne mogu dvosmisleno tumačiti. Napisani su brojevima (5 > 3) ili formulisani poznatim rečima (slon je najveći sisar). U isto vrijeme, fraza "žirafa nema vrat" također ima pravo na postojanje, samo će je Booleova algebra definirati kao "netačno".
Sve izjave moraju biti nedvosmislene, ali mogu biti elementarne i složene. Potonji koriste logičke veznike. To jest, u algebri sudova, složeni iskazi se formiraju dodavanjem elementarnih iskaza pomoću logičkih operacija.
Boolean algebra operacije
Već se sjećamo da su operacije u algebri sudova logične. Baš kao što algebra brojeva koristi aritmetiku za sabiranje, oduzimanje ili upoređivanje brojeva, elementi matematičke logike vam omogućavaju da napravite složene izjave, negirate ili izračunate konačni rezultat.
Logičke operacije za formalizaciju i jednostavnost pišu se formulama koje su nam poznate u aritmetici. Svojstva Bulove algebre omogućavaju pisanje jednačina i izračunavanje nepoznanica. Logičke operacije se obično pišu pomoću tablice istinitosti. Njegove kolonedefiniraju elemente proračuna i operaciju koja se na njima izvodi, a linije pokazuju rezultat proračuna.
Osnovne logičke radnje
Najčešće operacije u Booleovoj algebri su negacija (NE) i logičko I i ILI. Gotovo sve radnje u algebri sudova mogu se opisati na ovaj način. Proučimo svaku od tri operacije detaljnije.
Negacija (ne) se odnosi samo na jedan element (operand). Stoga se operacija negacije naziva unarnom. Za pisanje koncepta "ne A" koristite sljedeće simbole: ¬A, A¯¯¯ ili !A. U tabelarnom obliku to izgleda ovako:
Funkciju negacije karakterizira sljedeća izjava: ako je A istinito, onda je B lažno. Na primjer, Mjesec se okreće oko Zemlje – istina; Zemlja se okreće oko mjeseca - lažno.
Logičko množenje i sabiranje
Logički AND se naziva konjunkcijska operacija. Šta to znači? Prvo, da se može primijeniti na dva operanda, odnosno da je binarna operacija. Drugo, da je samo u slučaju istinitosti oba operanda (i A i B) sam izraz istinit. Izreka "Strpljenje i rad će sve samljeti" sugerira da će samo oba faktora pomoći čovjeku da se nosi sa poteškoćama.
Simboli koji se koriste za pisanje: A∧B, A⋅B ili A&&B.
Konjunkcija je slična množenju u aritmetici. Ponekad kažu da - logičko množenje. Ako pomnožimo elemente tabele red po red, dobićemo rezultat sličan logičkom rasuđivanju.
Disjunction je logička operacija ILI. Uzima vrijednost istinekada je barem jedna od tvrdnji tačna (bilo A ili B). Piše se ovako: A∨B, A+B ili A||B. Tablice istinitosti za ove operacije su:
Disjunkcija je poput aritmetičkog sabiranja. Operacija logičkog sabiranja ima samo jedno ograničenje: 1+1=1. Ali sjećamo se da je u digitalnom formatu matematička logika ograničena na 0 i 1 (gdje je 1 istina, 0 netačno). Na primjer, izjava “u muzeju možete vidjeti remek-djelo ili upoznati zanimljivog sagovornika” znači da možete vidjeti umjetnička djela ili možete upoznati zanimljivu osobu. Istovremeno, nije isključena mogućnost da se oba događaja dogode istovremeno.
Funkcije i zakoni
Dakle, već znamo koje logičke operacije koristi Bulova algebra. Funkcije opisuju sva svojstva elemenata matematičke logike i omogućavaju vam da pojednostavite složene složene uslove problema. Čini se da je najrazumljivije i najjednostavnije svojstvo odbacivanje izvedenih operacija. Derivati su isključivo OR, implikacija i ekvivalencija. Pošto smo proučavali samo osnovne operacije, razmotrićemo i svojstva samo njih.
Asocijativnost znači da u izjavama kao što su "i A, i B, i C" redoslijed operanada nije bitan. Formula je napisana ovako:
(A∧B)∧V=A∧(B∧V)=A∧B∧V, (A∨B)∨C=A∨(B∨C)=A∨B∨C.
Kao što vidite, ovo je karakteristika ne samo konjunkcije, već i disjunkcije.
Komutativnost navodi da je rezultatkonjunkcija ili disjunkcija ne zavise od toga koji je element prvi razmatran:
A∧B=B∧A; A∨B=B∨A.
Distributivnost omogućava proširenje zagrada u složenim logičkim izrazima. Pravila su slična otvaranju zagrada u množenju i sabiranju u algebri:
A∧(B∨C)=A∧B∨A∧B; A∨B∧B=(A∨B)∧(A∨B).
Svojstva jedan i nula, koji mogu biti jedan od operanada, također su slična algebarskom množenju sa nulom ili jedinicom i sabiranju sa jedan:
A∧0=0, A∧1=A; A∨0=A, A∨1=1.
Idempotencija nam govori da ako se, s obzirom na dva jednaka operanda, ispostavi da je rezultat operacije sličan, onda možemo "odbaciti" dodatne operande koji komplikuju tok zaključivanja. I konjunkcija i disjunkcija su idempotentne operacije.
B∧B=B; B∨B=B.
Apsorpcija nam takođe omogućava da pojednostavimo jednačine. Apsorpcija navodi da kada se druga operacija sa istim elementom primeni na izraz sa jednim operandom, rezultat je operand iz operacije apsorpcije.
A∧B∨B=B; (A∨B)∧B=B.
Slijed operacija
Slijed operacija nije od male važnosti. Zapravo, što se tiče algebre, postoji prioritet funkcija koje koristi Boolean algebra. Formule se mogu pojednostaviti samo ako se posmatra značaj operacija. Rangirajući od najznačajnijeg do najmanjeg, dobijamo sledeći niz:
1. Odbijanje.
2. Konjunkcija.
3. Disjunkcija, ekskluzivnoOR.
4. Implikacija, ekvivalencija.
Kao što vidite, samo negacija i konjunkcija nemaju jednak prioritet. I prioritet disjunkcije i XOR su jednaki, kao i prioriteti implikacije i ekvivalencije.
Funkcije implikacije i ekvivalencije
Kao što smo već rekli, osim osnovnih logičkih operacija, matematička logika i teorija algoritama koriste derivate. Najčešće korišteni su implikacija i ekvivalencija.
Implikacija, ili logička posljedica, je izjava u kojoj je jedna radnja uvjet, a druga posljedica njene implementacije. Drugim riječima, ovo je rečenica s prijedlozima "ako… onda". "Ako volite da se vozite, volite da nosite sanke." Odnosno, za skijanje morate zategnuti sanke uz brdo. Ako nema želje da se krećete niz planinu, onda ne morate nositi sanke. Piše se ovako: A→B ili A⇒B.
Ekvivalentnost pretpostavlja da se rezultujuća akcija dešava samo kada su oba operanda tačna. Na primjer, noć se pretvara u dan kada (i samo kada) sunce izađe iznad horizonta. Jezikom matematičke logike ova izjava je napisana na sljedeći način: A≡B, A⇔B, A==B.
Drugi zakoni Booleove algebre
Algebra sudova se razvija, a mnogi zainteresovani naučnici su formulisali nove zakone. Postulati škotskog matematičara O. de Morgana smatraju se najpoznatijim. On je uočio i definisao takva svojstva kao što su bliska negacija, dopuna i dvostruka negacija.
Zatvorska negacija znači da nema negacije prije zagrade:ne (A ili B)=nije A ili NE B.
Kada je operand negiran, bez obzira na njegovu vrijednost, govori se o komplementu:
B∧¬B=0; B∨¬B=1.
I konačno, dvostruka negacija kompenzuje samu sebe. One. ili negacija nestaje prije operanda, ili ostaje samo jedna.
Kako riješiti testove
Matematička logika podrazumijeva pojednostavljenje datih jednačina. Baš kao i u algebri, prvo morate učiniti uslov što je moguće lakšim (osloboditi se složenih ulaza i operacija s njima), a zatim početi tražiti pravi odgovor.
Šta se može učiniti da se pojednostavi? Pretvorite sve izvedene operacije u jednostavne. Zatim otvorite sve zagrade (ili obrnuto, izvadite ga iz zagrada da skratite ovaj element). Sljedeći korak bi trebao biti primjena svojstava Bulove algebre u praksi (apsorpcija, svojstva nule i jedan, itd.).
Na kraju, jednačina bi se trebala sastojati od minimalnog broja nepoznanica kombinovanih jednostavnim operacijama. Najlakši način za pronalaženje rješenja je postizanje velikog broja bliskih negativa. Tada će se odgovor pojaviti kao da sam od sebe.
