Cilindar je jedna od jednostavnih trodimenzionalnih figura koja se izučava u školskom kursu geometrije (odjeljak geometrija tijela). U ovom slučaju često se javljaju problemi u izračunavanju zapremine i mase cilindra, kao i pri određivanju njegove površine. Odgovori na označena pitanja dati su u ovom članku.
Šta je cilindar?
Pre nego što pređemo na odgovor na pitanje kolika je masa cilindra i njegova zapremina, vredi razmisliti koja je to prostorna figura. Odmah treba napomenuti da je cilindar trodimenzionalni objekt. To jest, u prostoru možete izmjeriti tri njegova parametra duž svake od osi u kartezijanskom pravokutnom koordinatnom sistemu. Zapravo, da bi se nedvosmisleno odredile dimenzije cilindra, dovoljno je znati samo dva njegova parametra.
Cilindar je trodimenzionalna figura formirana od dva kruga i cilindrične površine. Da biste jasnije predstavili ovaj objekt, dovoljno je uzeti pravougaonik i početi ga rotirati oko bilo koje njegove strane, što će biti os rotacije. U ovom slučaju, rotirajući pravougaonik će opisati oblikrotacija - cilindar.
Dve okrugle površine nazivaju se bazama cilindra, karakteriše ih određeni radijus. Udaljenost između baza naziva se visina. Dvije baze su međusobno povezane cilindričnom površinom. Prava koja prolazi kroz centre oba kruga naziva se osa cilindra.
Zapremina i površina
Kao što vidite iz gore navedenog, cilindar je definisan sa dva parametra: visinom h i poluprečnikom njegove osnove r. Poznavajući ove parametre, moguće je izračunati sve ostale karakteristike razmatranog tijela. Ispod su glavni:
- Površina baza. Ova vrijednost se izračunava po formuli: S1=2pir2, gdje je pi jednako pi jednako 3, 14. Cifra 2 u formuli se pojavljuje jer cilindar ima dvije identične baze.
- Cilindrična površina. Može se izračunati ovako: S2=2pirh. Lako je razumjeti ovu formulu: ako se cilindrična površina izreže okomito od jedne baze do druge i proširi, tada će se dobiti pravokutnik čija će visina biti jednaka visini cilindra, a širina će odgovarati obim osnove trodimenzionalne figure. Budući da je površina rezultirajućeg pravokutnika proizvod njegovih stranica, koje su jednake h i 2pir, dobija se gornja formula.
- Površina cilindra. Jednako je zbiru površina S1 i S2, dobijamo: S3=S 1 + S2=2pir2 + 2pir h=2pi r(r+h).
- Volume. Ovu vrijednost je lako pronaći, samo trebate pomnožiti površinu jedne baze sa visinom figure: V=(S1/2)h=pir 2 h.
Određivanje mase cilindra
Konačno, vrijedi prijeći direktno na temu članka. Kako odrediti masu cilindra? Da biste to učinili, morate znati njegovu zapreminu, formulu za izračunavanje koja je prikazana gore. I gustina supstance od koje se sastoji. Masa se određuje jednostavnom formulom: m=ρV, gdje je ρ gustina materijala koji formira predmetni predmet.
Koncept gustine karakteriše masu supstance koja se nalazi u jediničnoj zapremini prostora. Na primjer. Poznato je da gvožđe ima veću gustinu od drveta. To znači da će u slučaju jednakih količina gvožđa i drvne materije, prvi imati mnogo veću masu od drugog (otprilike 16 puta).
Izračunavanje mase bakarnog cilindra
Razmotrite jednostavan problem. Potrebno je pronaći masu cilindra napravljenog od bakra. Za sigurno, neka cilindar ima prečnik od 20 cm i visinu od 10 cm.
Pre nego što počnete da rešavate problem, trebalo bi da se pozabavite izvornim podacima. Poluprečnik cilindra je jednak polovini njegovog prečnika, što znači r=20/2=10 cm, dok je visina h=10 cm. Pošto je cilindar koji se razmatra u zadatku napravljen od bakra, onda, pozivajući se na referentne podatke ispisujemo vrijednost gustine ovog materijala: ρ=8, 96 g/cm3 (za temperaturu 20 °C).
Sada možete početi rješavati problem. Prvo, izračunajmo volumen: V=pir2h=3, 14(10)210=3140 cm3. Tada će masa cilindra biti: m=ρV=8,963140=28134 grama ili približno 28 kilograma.
Treba obratiti pažnju na dimenzije jedinica prilikom njihove upotrebe u odgovarajućim formulama. Dakle, u zadatku su svi parametri prikazani u centimetrima i gramima.
Homogeni i šuplji cilindri
Iz rezultata dobijenog gore, može se vidjeti da bakarni cilindar relativno malih dimenzija (10 cm) ima veliku masu (28 kg). To nije samo zbog činjenice da je napravljen od teškog materijala, već i zbog činjenice da je homogen. Ovu činjenicu je važno razumjeti, jer se gornja formula za izračunavanje mase može koristiti samo ako je cilindar u potpunosti (spolja i iznutra) napravljen od istog materijala, odnosno homogen.
U praksi se često koriste šuplji cilindri (na primjer, cilindrične bačve za vodu). Odnosno, napravljeni su od tankih listova nekog materijala, ali iznutra su prazni. Za šuplji cilindar, naznačena formula za izračunavanje mase se ne može koristiti.
Izračunavanje mase šupljeg cilindra
Zanimljivo je izračunati koliku će masu imati bakarni cilindar ako je unutra prazan. Na primjer, neka bude napravljen od tankog bakrenog lima debljine samo d=2 mm.
Da biste riješili ovaj problem, potrebno je pronaći zapreminu samog bakra od kojeg je predmet napravljen. Ne zapremina cilindra. Zbog debljinelim je mali u odnosu na dimenzije cilindra (d=2 mm i r=10 cm), tada se zapremina bakra od kojeg je predmet napravljen može dobiti množenjem ukupne površine cilindra sa debljine bakarnog lima, dobijamo: V=dS 3=d2pir(r+h). Zamjenom podataka iz prethodnog zadatka dobijamo: V=0,223, 1410(10+10)=251,2 cm3. Masa šupljeg cilindra može se dobiti množenjem dobivenog volumena bakra, koji je bio potreban za njegovu proizvodnju, s gustinom bakra: m=251,28,96=2251 g ili 2,3 kg. Odnosno, razmatrani šuplji cilindar teži 12 (28, 1/2, 3) puta manje od homogenog.
