Teorija vjerovatnoće radi sa slučajnim varijablama. Za slučajne varijable postoje takozvani zakoni distribucije. Takav zakon opisuje svoju slučajnu varijablu sa apsolutnom potpunošću. Međutim, kada se radi sa realnim skupovima slučajnih varijabli, često je vrlo teško odmah uspostaviti zakon njihove distribucije i ograničeni su na određeni skup numeričkih karakteristika. Na primjer, izračunavanje srednje vrijednosti i varijanse slučajne varijable je često vrlo korisno.
Zašto je to potrebno
Ako je suština matematičkog očekivanja blizu srednje vrijednosti količine, tada u ovom slučaju disperzija govori kako su vrijednosti naše količine raspršene oko ovog matematičkog očekivanja. Na primjer, ako smo mjerili IQ grupe ljudi i želimo ispitati rezultate mjerenja (uzorak), matematičko očekivanje će pokazati približnu prosječnu vrijednost kvocijenta inteligencije za ovu grupu ljudi, a ako izračunamo varijansu uzorka, saznat ćemo kako su rezultati grupirani oko matematičkog očekivanja: gomila blizu njega (mala varijacija u IQ-u) ili ravnomjernije u cijelom rasponu od minimalnog do maksimalnog rezultata (velike varijacije, a negdje u sredini - matematičko očekivanje).
Da biste izračunali varijansu, potrebna vam je nova karakteristika slučajne varijable - odstupanje vrijednosti od matematičkečekam.
Odstupanje
Da biste razumjeli kako izračunati varijansu, prvo morate razumjeti odstupanje. Njegova definicija je razlika između vrijednosti koju slučajna varijabla uzima i njenog matematičkog očekivanja. Grubo govoreći, da biste razumjeli kako je vrijednost "razbacana", potrebno je pogledati kako je njeno odstupanje raspoređeno. To jest, vrijednost vrijednosti zamjenjujemo vrijednošću njenog odstupanja od mat. očekivanja i istražiti njegov zakon o distribuciji.
Zakon distribucije diskretne, odnosno slučajne varijable koja poprima pojedinačne vrijednosti, ispisuje se u obliku tabele, gdje je vrijednost vrijednosti u korelaciji sa vjerovatnoćom njenog pojavljivanja. Tada će u zakonu raspodjele devijacije slučajna varijabla biti zamijenjena svojom formulom u kojoj se nalazi vrijednost (koja je zadržala svoju vjerovatnoću) i vlastiti mat. čekam.
Svojstva zakona distribucije devijacije slučajne varijable
Zapisali smo zakon raspodjele za devijaciju slučajne varijable. Iz njega možemo do sada izvući samo takvu karakteristiku kao što je matematičko očekivanje. Radi praktičnosti, bolje je uzeti numerički primjer.
Neka postoji zakon raspodjele neke slučajne varijable: X - vrijednost, p - vjerovatnoća.
Izračunavamo matematičko očekivanje koristeći formulu i odmah odstupanje.
Crtanje nove tablice raspodjele odstupanja.
Očekivano izračunavamo i ovdje.
Ispada nula. Postoji samo jedan primjer, ali tako će uvijek biti: nije teško dokazati to u opštem slučaju. Formula za matematičko očekivanje odstupanja može se razložiti na razliku između matematičkih očekivanja slučajne varijable i, ma koliko krivo zvučalo, matematičkog očekivanja mat. očekivanja (rekurzija, međutim), koja su ista, stoga će njihova razlika biti nula.
Ovo je očekivano: uostalom, odstupanja u predznaku mogu biti i pozitivna i negativna, stoga bi u prosjeku trebala dati nulu.
Kako izračunati varijansu diskretnog slučaja. količine
Ako je mat. besmisleno je računati očekivano odstupanje, morate tražiti nešto drugo. Možete jednostavno uzeti apsolutne vrijednosti odstupanja (modulo); ali kod modula nije sve tako jednostavno, pa se devijacije kvadriraju, a zatim se računa njihovo matematičko očekivanje. Zapravo, na to se misli kada govore o tome kako izračunati varijansu.
To jest, uzimamo odstupanja, kvadriramo ih i pravimo tabelu kvadrata odstupanja i vjerovatnoća koje odgovaraju slučajnim varijablama. Ovo je novi zakon o distribuciji. Da biste izračunali matematičko očekivanje, morate sabrati proizvode kvadrata devijacije i vjerovatnoće.
Lakša formula
Međutim, članak je započeo činjenicom da je zakon distribucije početne slučajne varijable često nepoznat. Dakle, potrebno je nešto lakše. Zaista, postoji još jedna formula koja vam omogućava da izračunate varijansu uzorka koristeći samo prostirku.čekanje:
Disperzija - razlika između otirača. očekivanje kvadrata slučajne varijable i, obrnuto, kvadrata njene mat. čekam.
Postoji dokaz za ovo, ali ga nema smisla ovdje predstavljati, jer nema praktičnu vrijednost (a trebamo samo izračunati varijansu).
Kako izračunati varijansu slučajne varijable u varijantnom nizu
U realnoj statistici nemoguće je prikazati sve slučajne varijable (jer ih, grubo govoreći, po pravilu ima beskonačan broj). Dakle, ono što ulazi u studiju je takozvani reprezentativni uzorak neke opšte populacije. A pošto su numeričke karakteristike bilo koje slučajne varijable iz takve opšte populacije izračunate iz uzorka, one se nazivaju uzorak: srednja vrednost uzorka, odnosno varijansa uzorka. Možete ga izračunati na isti način kao i uobičajeni (kroz kvadratne devijacije).
Međutim, takva disperzija se naziva pristrasna. Formula nepristrasne varijance izgleda malo drugačije. Obično je potrebno izračunati.
Mali dodatak
Još jedna numerička karakteristika je povezana sa disperzijom. Takođe služi za procjenu kako se slučajna varijabla raspršuje oko svoje prostirke. očekivanja. Nema velike razlike u tome kako izračunati varijansu i standardnu devijaciju: ovo drugo je kvadratni korijen prvog.
