Jedan od osnovnih sekcija matematičke analize je integralni račun. Pokriva najšire polje objekata, pri čemu je prvi neodređeni integral. Vrijedi ga pozicionirati kao ključ, koji čak iu srednjoj školi otkriva sve veći broj perspektiva i mogućnosti koje opisuje viša matematika.
Izgled
Na prvi pogled integral izgleda krajnje moderan, relevantan, ali se u praksi ispostavi da se pojavio već 1800. godine prije Krista. Egipat se službeno smatra domovinom, jer raniji dokazi o njegovom postojanju nisu stigli do nas. On je, zbog neinformisanosti, sve ovo vrijeme pozicioniran jednostavno kao fenomen. Još jednom je potvrdio stepen razvoja nauke među narodima tog vremena. Konačno, pronađeni su radovi starogrčkih matematičara koji datiraju iz 4. vijeka prije nove ere. Oni su opisali metodu u kojoj je korišten neodređeni integral, čija je suština bila pronaći volumen ili površinu krivolinijske figure (trodimenzionalnei dvodimenzionalne ravni, respektivno). Princip proračuna zasnivao se na podjeli originalne figure na infinitezimalne komponente, pod uslovom da je njihov volumen (površina) već poznat. Vremenom je metoda rasla, Arhimed ju je koristio da pronađe površinu parabole. Slične proračune su u isto vrijeme izvršili naučnici u staroj Kini, i bili su potpuno nezavisni od svojih grčkih kolega u nauci.
Razvoj
Sljedeći proboj u 11. stoljeću nove ere bio je rad arapskog naučnika-"univerzalca" Abu Ali al-Basrija, koji je pomjerio granice onoga što je već bilo poznato, izvodeći formule zasnovane na integralu za izračunavanje suma redova i zbira potencija od prvog do četvrtog, primjenjujući za to nama poznatu metodu matematičke indukcije.
Umovi modernog doba dive se kako su stari Egipćani stvarali zadivljujuće arhitektonske spomenike bez ikakvih posebnih uređaja, osim možda svojih ruku, ali nije li moć uma tadašnjih naučnika ništa manje čudo? U poređenju sa današnjim, njihov život izgleda gotovo primitivno, ali rješenje neodređenih integrala izvođeno je posvuda i korišćeno u praksi za daljnji razvoj.
Sledeći korak dogodio se u 16. veku, kada je italijanski matematičar Cavalieri razvio metodu nedeljivih, koju je preuzeo Pjer Ferma. Upravo su ove dvije ličnosti postavile temelje modernog integralnog računa, koji je trenutno poznat. Povezali su koncepte diferencijacije i integracije, koji su ranije bilitretiraju kao autonomne jedinice. Uglavnom, matematika tog vremena bila je rascjepkana, čestice zaključaka postojale su same za sebe, ograničenog dometa. Put ujedinjenja i traganja za zajedničkim osnovama bio je jedini pravi u to vrijeme, zahvaljujući čemu je moderna matematička analiza dobila priliku da raste i razvija se.
Sve se promijenilo tokom vremena, uključujući notaciju integrala. Uglavnom, naučnici su to označili svim sredstvima, na primjer, Newton je koristio kvadratnu ikonu u koju je stavio integrabilnu funkciju ili je jednostavno stavio pored nje.
Ova nedosljednost se nastavila sve do 17. stoljeća, kada je naučnik Gottfried Leibniz, orijentir za cjelokupnu teoriju matematičke analize, uveo simbol koji nam je tako poznat. Izduženo "S" je zaista zasnovano na ovom slovu latinice, jer označava zbir antiderivata. Integral je dobio ime zahvaljujući Jacobu Bernoulliju 15 godina kasnije.
Formalna definicija
Neodređeni integral direktno zavisi od definicije antiderivata, pa hajde da ga prvo razmotrimo.
Antiderivat je funkcija koja je inverzna od derivata, u praksi se naziva i primitivna. Inače: antiderivat funkcije d je funkcija D čiji je izvod jednak v V'=v. Potraga za antiderivatom je izračunavanje neodređenog integrala, a sam ovaj proces naziva se integracija.
Primjer:
Funkcija s(y)=y3, a njen antiderivat S(y)=(y4/4).
Skup svih antiderivata funkcije koja se razmatra je neodređeni integral, označava se na sljedeći način: ∫v(x)dx.
Usled činjenice da je V(x) samo neki antiderivat originalne funkcije, dolazi do izraza: ∫v(x)dx=V(x) + C, gde je C konstanta. Proizvoljna konstanta je bilo koja konstanta, pošto je njen izvod jednak nuli.
Properties
Svojstva koja ima neodređeni integral zasnovana su na glavnoj definiciji i svojstvima derivata.
Pogledajmo ključne tačke:
- integral iz izvoda antiderivata je sam antideritiv plus proizvoljna konstanta C ∫V'(x)dx=V(x) + C;
- izvod integrala funkcije je originalna funkcija (∫v(x)dx)'=v(x);
- konstanta je uzeta ispod integralnog znaka ∫kv(x)dx=k∫v(x)dx, gdje je k proizvoljan;
- integral uzet iz zbira je identično jednak zbiru integrala ∫(v(y) + w(y))dy=∫v(y)dy +∫w(y)dy.
Iz posljednja dva svojstva možemo zaključiti da je neodređeni integral linearan. Zahvaljujući tome, imamo: ∫(kv(y)dy +∫ lw(y))dy=k∫v(y)dy + l∫w(y)dy.
Za konsolidaciju razmotrite primjere rješavanja neodređenih integrala.
Potrebno je pronaći integral ∫(3sinx + 4cosx)dx:
∫(3sinx + 4cosx)dx=∫3sinxdx + ∫4cosxdx=3∫sinxdx + 4∫cosxdx=3(-cosx) + 4sinx + C=4sinx - 3cosx + C
Iz primjera možemo zaključiti:ne znate kako riješiti neodređene integrale? Samo pronađite sve primitivce! Ali principi pretrage će biti razmotreni u nastavku.
Metode i primjeri
Da biste riješili integral, možete pribjeći sljedećim metodama:
- koristite pripremljeni sto;
- integriraj po dijelovima;
- integrirajte promjenom varijable;
- dovođenje pod znak diferencijala.
Stolovi
Najlakši i najugodniji način. Trenutno se matematička analiza može pohvaliti prilično opsežnim tabelama u kojima su upisane osnovne formule neodređenih integrala. Drugim riječima, postoje predlošci koji su razvijeni prije vas i za vas, ostaje samo da ih koristite. Evo liste glavnih pozicija tabele iz kojih možete izvesti skoro svaki primer koji ima rešenje:
- ∫0dy=C, gdje je C konstanta;
- ∫dy=y + C, gdje je C konstanta;
- ∫y dy=(yn+1) / (n + 1) + C, gdje je C konstanta i n - nije jedan broj;
- ∫(1/y)dy=ln|y| + C, gdje je C konstanta;
- ∫eydy=ey + C, gdje je C konstanta;
- ∫kydy=(ky/ln k) + C, gdje je C konstanta;
- ∫cosydy=siny + C, gdje je C konstanta;
- ∫sinydy=-cosy + C, gdje je C konstanta;
- ∫dy/cos2y=tgy + C, gdje je C konstanta;
- ∫dy/sin2y=-ctgy + C, gdje je C konstanta;
- ∫dy/(1 + y2)=arctgy + C, gdje je C konstanta;
- ∫chydy=stidljiv + C, gdje je C -konstanta;
- ∫shydy=chy + C, gdje je C konstanta.
Ako je potrebno, napravite nekoliko koraka, dovedite integrand u tabelarni oblik i uživajte u pobjedi. Primjer: ∫cos(5x -2)dx=1/5∫cos(5x - 2)d(5x - 2)=1/5 x sin(5x - 2) + C.
Prema rješenju, jasno je da za tabelarni primjer, integrandu nedostaje faktor 5. Dodajemo ga, množimo ga sa 1/5 paralelno tako da se opći izraz ne mijenja.
Integracija po dijelovima
Razmotrimo dvije funkcije - z(y) i x(y). Moraju se kontinuirano razlikovati u cijelom domenu definicije. Prema jednom od svojstava diferencijacije imamo: d(xz)=xdz + zdx. Integracijom oba dijela jednačine dobijamo: ∫d(xz)=∫(xdz + zdx)=> zx=∫zdx + ∫xdz.
Prepisivanjem rezultirajuće jednakosti dobijamo formulu koja opisuje metodu integracije po dijelovima: ∫zdx=zx - ∫xdz.
Zašto je to potrebno? Poenta je da se neki primjeri mogu pojednostaviti, uslovno rečeno, reducirati ∫zdx na ∫xdz ako je potonji blizu tabelarnog oblika. Također, ova formula se može primijeniti više puta, postižući optimalne rezultate.
Kako riješiti neodređene integrale na ovaj način:
treba izračunati ∫(s + 1)e2sds
∫(x + 1)e2sds={z=s+1, dz=ds, y=1/2e2s, dy=e2xds}=((s+1)e2s) / 2-1/2∫e2s dx=((s+1)e2s) / 2-e2s/4+ C;
potrebno je izračunati ∫lnsds
∫lnsds={z=lns, dz=ds/s, y=s, dy=ds}=slns - ∫s x ds/s=slns - ∫ds=slns -s + C=s(lns -1) + C.
Varijabilna zamjena
Ovaj princip rješavanja neodređenih integrala nije ništa manje tražen od prethodna dva, iako je komplikovaniji. Metoda je sljedeća: neka je V(x) integral neke funkcije v(x). U slučaju da sam integral u primjeru ispadne složen, postoji velika vjerovatnoća da se zbunite i krenete pogrešnim putem rješenja. Da bi se to izbjeglo, praktikuje se prijelaz sa varijable x na z, u kojem se opći izraz vizualno pojednostavljuje uz zadržavanje zavisnosti z od x.
Matematički to izgleda ovako: ∫v(x)dx=∫v(y(z))y'(z)dz=V(z)=V(y-1(x)), gdje je x=y(z) zamjena. I, naravno, inverzna funkcija z=y-1(x) u potpunosti opisuje zavisnost i odnos varijabli. Važna napomena - diferencijal dx je nužno zamijenjen novim diferencijalom dz, jer zamjena varijable u neodređenom integralu podrazumijeva njenu zamjenu svuda, a ne samo u integrandu.
Primjer:
treba pronaći ∫(s + 1) / (s2 + 2s - 5)ds
Primijenite zamjenu z=(s+1)/(s2+2s-5). Tada je dz=2sds=2+2(s+1)ds (s+1)ds=dz/2. Kao rezultat, dobijamo sljedeći izraz, koji je vrlo lako izračunati:
∫(s+1)/(s2+2s-5)ds=∫(dz/2)/z=1/2ln|z|+C=1/2ln|s2+2s-5|+C;
potrebno je pronaći integral∫2sesdx
Da riješimo, prepisujemo izraz u sljedećem obliku:
∫2sesds=∫(2e)sds.
Označimo sa a=2e (ovaj korak nije zamjena za argument, on je i dalje s), dovodimo naš naizgled složen integral u elementarni tabelarni oblik:
∫(2e)sds=∫asds=as / lna + C=(2e)s / ln(2e) + C=2ses / ln(2 + lne) + C=2ses / (ln2 + 1) + C.
Dovođenje ispod znaka diferencijala
Uglavnom, ova metoda neodređenih integrala je brat blizanac principa promjenljive promjene, ali postoje razlike u procesu dizajna. Pogledajmo izbliza.
Ako je ∫v(x)dx=V(x) + C i y=z(x), onda je ∫v(y)dy=V(y) + C.
U ovom slučaju ne treba zaboraviti trivijalne integralne transformacije, među kojima:
- dx=d(x + a), gdje je a bilo koja konstanta;
- dx=(1 / a)d(ax + b), gdje je a opet konstanta, ali nije jednaka nuli;
- xdx=1/2d(x2 + b);
- sinxdx=-d(cosx);
- cosxdx=d(sinx).
Ako uzmemo u obzir opći slučaj kada izračunavamo neodređeni integral, primjeri se mogu sabrati pod općom formulom w'(x)dx=dw(x).
Primjeri:
treba pronaći ∫(2s + 3)2ds, ds=1/2d(2s + 3)
∫(2s + 3)2ds=1/2∫(2s + 3)2d(2s + 3)=(1/2) x ((2s +3)2) / 3 + C=(1/6) x (2s + 3)2 + C;
∫tgsds=∫sins/cossds=∫d(coss)/coss=-ln|coss| + C.
Pomoć na mreži
U nekim slučajevima, čija je greška ili lijenost ili hitna potreba, možete koristiti online savjete, odnosno koristiti kalkulator neodređenog integrala. Bez obzira na svu prividnu složenost i spornost integrala, njihovo rješavanje podliježe određenom algoritmu, koji se zasniva na principu "ako ne…, onda…".
Naravno, takav kalkulator neće savladati posebno zamršene primjere, jer postoje slučajevi u kojima se rješenje mora pronaći umjetno, "nasilno" uvođenjem određenih elemenata u proces, jer se rezultat ne može postići u očiglednim načine. Uprkos svim kontroverzama ove tvrdnje, ona je tačna, budući da je matematika, u principu, apstraktna nauka, i kao primarni zadatak smatra potrebu za proširenjem granica mogućnosti. Zaista, izuzetno je teško napredovati i razvijati se prema glatkim, uhodanim teorijama, tako da ne biste trebali pretpostaviti da su primjeri rješavanja neodređenih integrala koje smo naveli visina mogućnosti. Ali da se vratimo na tehničku stranu stvari. Bar za provjeru proračuna možete koristiti servise u kojima je sve pisano prije nas. Ako postoji potreba za automatskim proračunom složenog izraza, onda se oni ne mogu izostaviti, morat ćete pribjeći ozbiljnijem softveru. Vrijedi obratiti pažnju prije svega na MatLab okruženje.
Prijava
Rješenje neodređenih integrala na prvi pogled izgleda potpuno van dodira sa stvarnošću, jer je teško uočiti očigledna područja primjene. Zaista, ne mogu se nigdje direktno koristiti, ali se smatraju neophodnim međuelementom u procesu izvođenja rješenja koja se koriste u praksi. Dakle, integracija je inverzna diferencijaciji, zbog čega aktivno učestvuje u procesu rješavanja jednačina.
Zauzvrat, ove jednadžbe imaju direktan uticaj na rješavanje mehaničkih problema, proračun trajektorija i toplinske provodljivosti - ukratko, sve ono što čini sadašnjost i oblikuje budućnost. Neodređeni integral, čije smo primjere prethodno ispitali, trivijalan je samo na prvi pogled, jer je osnova za sve više i više novih otkrića.
