Malo je vjerovatno da mnogi ljudi razmišljaju o tome da li je moguće izračunati događaje koji su manje-više nasumični. Jednostavno rečeno, da li je realno znati koja će strana kockice ispasti sljedeća. To su pitanje postavila dva velika naučnika, koji su postavili temelje za takvu nauku kao što je teorija vjerovatnoće, u kojoj se vjerovatnoća događaja prilično opširno proučava.
Porijeklo
Ako pokušate da definišete takav koncept kao teorija verovatnoće, dobićete sledeće: ovo je jedna od grana matematike koja proučava konstantnost slučajnih događaja. Naravno, ovaj koncept zapravo ne otkriva cijelu suštinu, pa ga je potrebno detaljnije razmotriti.
Želio bih početi sa tvorcima teorije. Kao što je gore spomenuto, bila su dvojica, a to su Pierre Fermat i Blaise Pascal. Oni su bili ti koji su među prvima pokušali izračunati ishod događaja koristeći formule i matematičke proračune. U cjelini, rudimenti ove nauke pojavili su se još uSrednje godine. Tada su razni mislioci i naučnici pokušavali da analiziraju kockanje, kao što su rulet, craps i tako dalje, utvrđujući tako obrazac i procenat ispadanja određenog broja. Temelj su postavili u sedamnaestom veku pomenuti naučnici.
U početku se njihov rad nije mogao pripisati velikim dostignućima u ovoj oblasti, jer sve što su radili bile su jednostavno empirijske činjenice, a eksperimenti su postavljeni vizuelno, bez upotrebe formula. Vremenom se pokazalo da postiže odlične rezultate, koji su se pojavili kao rezultat posmatranja bacanja kocke. Upravo je ovaj alat pomogao da se izvuku prve razumljive formule.
Saradnici
Nemoguće je ne spomenuti takvu osobu kao što je Christian Huygens, u procesu proučavanja teme koja se zove "teorija vjerovatnoće" (vjerovatnoća događaja je pokrivena upravo u ovoj nauci). Ova osoba je veoma interesantna. On je, kao i gore predstavljeni naučnici, pokušao da izvede pravilnost slučajnih događaja u obliku matematičkih formula. Važno je napomenuti da on to nije učinio zajedno sa Pascalom i Fermatom, odnosno da se sva njegova djela ni na koji način nisu ukrštala s tim umovima. Huygens je izveo osnovne koncepte teorije vjerovatnoće.
Zanimljiva je činjenica da je njegov rad izašao mnogo prije rezultata rada pionira, odnosno dvadeset godina ranije. Među naznačenim konceptima najpoznatiji su:
- koncept vjerovatnoće kao veličine slučaja;
- očekivanje za diskretnoslučajevi;
- teoreme množenja i sabiranja vjerovatnoća.
Takođe je nemoguće ne sjetiti se Jacoba Bernoullija, koji je također dao značajan doprinos proučavanju problema. Provodeći vlastite testove, nezavisno od bilo koga, uspio je predstaviti dokaz zakona velikih brojeva. Zauzvrat, naučnici Poisson i Laplace, koji su radili na početku devetnaestog veka, uspeli su da dokažu originalne teoreme. Od tog trenutka se teorija vjerovatnoće počela koristiti za analizu grešaka u toku posmatranja. Ovu nauku nisu mogli zaobići ni ruski naučnici, odnosno Markov, Čebišev i Djapunov. Na osnovu rada velikih genija, fiksirali su ovaj predmet kao granu matematike. Ove figure su djelovale već krajem devetnaestog vijeka, a zahvaljujući njihovom doprinosu pojavile su se pojave kao što su:
- zakon velikih brojeva;
- Markovljeva teorija lanca;
- centralna granična teorema.
Dakle, sa istorijom rađanja nauke i sa glavnim ljudima koji su na nju uticali, sve je manje-više jasno. Sada je vrijeme da konkretiziramo sve činjenice.
Osnovni koncepti
Pre nego što se dotaknemo zakona i teorema, vredi proučiti osnovne koncepte teorije verovatnoće. Događaj u tome ima vodeću ulogu. Ova tema je prilično obimna, ali bez nje neće biti moguće razumjeti sve ostalo.
Događaj u teoriji vjerovatnoće je bilo koji skup ishoda eksperimenta. Nema toliko koncepata ovog fenomena. Dakle, naučnik Lotman,radeći u ovoj oblasti, rekao je da u ovom slučaju govorimo o nečemu što se „dogodilo, iako se možda nije dogodilo.“
Slučajni događaji (teorija vjerovatnoće im posvećuje posebnu pažnju) je koncept koji podrazumijeva apsolutno svaku pojavu koja ima sposobnost da se dogodi. Ili, obrnuto, ovaj scenario se možda neće dogoditi kada su ispunjeni mnogi uslovi. Takođe je vredno znati da su slučajni događaji ti koji obuhvataju čitav opseg pojava koje su se dogodile. Teorija vjerovatnoće pokazuje da se svi uvjeti mogu stalno ponavljati. Njihovo ponašanje se zvalo "iskustvo" ili "test".
Određeni događaj je onaj koji će se 100% dogoditi u datom testu. Prema tome, nemoguć događaj je onaj koji se neće dogoditi.
Kombinacija para radnji (konvencionalno slučaj A i slučaj B) je fenomen koji se javlja istovremeno. Označeni su kao AB.
Zbir parova događaja A i B je C, drugim riječima, ako se dogodi barem jedan od njih (A ili B), dobiće se C. Formula opisanog fenomena se piše na sljedeći način: C=A + B.
Disjunktivni događaji u teoriji vjerovatnoće impliciraju da se dva slučaja međusobno isključuju. Nikada se ne mogu dogoditi u isto vrijeme. Zajednički događaji u teoriji vjerovatnoće su njihov antipod. Ovo implicira da ako se dogodilo A, onda to ne ometa B.
Suprotni događaji (teorija vjerovatnoće ih se bavi vrlo detaljno) lako je razumjeti. Najbolje je pozabaviti se njima u poređenju. Oni su skoro isti kaoi nekompatibilni događaji u teoriji vjerovatnoće. Ali njihova razlika leži u činjenici da se jedan od mnogih fenomena ipak mora dogoditi.
Ekvivalentni događaji su one radnje čija je mogućnost jednaka. Da bude jasnije, možemo zamisliti bacanje novčića: pad jedne od njegovih strana jednako je vjerovatno da će pasti i druge.
Pogodan događaj je lakše uočiti na primjeru. Recimo da postoje epizoda B i epizoda A. Prva je bacanje kockice sa pojavom neparnog broja, a druga je pojava broja pet na kockici. Onda se ispostavi da A favorizuje B.
Nezavisni događaji u teoriji vjerovatnoće se projektuju samo na dva ili više slučajeva i impliciraju neovisnost bilo koje akcije od druge. Na primjer, A je gubitak repova kada se baci novčić, a B je izvlačenje džaka iz špila. Oni su nezavisni događaji u teoriji vjerovatnoće. Sa ovim momentom postalo je jasnije.
Zavisni događaji u teoriji vjerovatnoće su također prihvatljivi samo za njihov skup. Oni podrazumevaju zavisnost jednog od drugog, odnosno pojava B može nastati samo ako se A već desilo ili, naprotiv, nije, kada je to glavni uslov za B.
Ishod slučajnog eksperimenta koji se sastoji od jedne komponente su elementarni događaji. Teorija vjerovatnoće objašnjava da je ovo fenomen koji se dogodio samo jednom.
Osnovne formule
Dakle, koncepti "događaja", "teorije vjerovatnoće",data je i definicija osnovnih pojmova ove nauke. Sada je vrijeme da se direktno upoznate sa važnim formulama. Ovi izrazi matematički potvrđuju sve glavne koncepte u tako teškom predmetu kao što je teorija vjerovatnoće. Vjerovatnoća događaja također igra veliku ulogu ovdje.
Bolje počnite s osnovnim formulama kombinatorike. I prije nego što pređemo na njih, vrijedi razmisliti o čemu se radi.
Kombinatorika je prvenstveno grana matematike, bavi se proučavanjem ogromnog broja cijelih brojeva, kao i raznim permutacijama kako samih brojeva tako i njihovih elemenata, raznih podataka itd., što dovodi do pojave niz kombinacija. Pored teorije vjerovatnoće, ova grana je važna za statistiku, informatiku i kriptografiju.
Tako da sada možemo prijeći na predstavljanje samih formula i njihovo definiranje.
Prvi će biti izraz za broj permutacija, izgleda ovako:
P_n=n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2)…3 ⋅ 2 ⋅ 1=n!
Jednačina se primjenjuje samo ako se elementi razlikuju samo po redoslijedu.
Sada će se uzeti u obzir formula plasmana, ona izgleda ovako:
A_n^m=n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ … ⋅ (n - m + 1)=n!: (n - m)!
Ovaj izraz se ne odnosi samo na redosled elementa, već i na njegovu kompoziciju.
Treća jednačina iz kombinatorike, a ujedno je i posljednja, zove se formula za broj kombinacija:
C_n^m=n !: ((n -m))!:m !
Kombinacije su odabiri koji nisu poredani, odnosno, i ovo pravilo se primjenjuje na njih.
Ispostavilo se da je lako odgonetnuti formule kombinatorike, sada možemo prijeći na klasičnu definiciju vjerovatnoća. Ovaj izraz izgleda ovako:
P(A)=m: n.
U ovoj formuli, m je broj uslova pogodnih za događaj A, a n je broj apsolutno svih jednako mogućih i elementarnih ishoda.
Postoji veliki broj izraza, članak neće obuhvatiti sve, ali će se dotaknuti najvažnijih od njih, kao što je, na primjer, vjerovatnoća zbira događaja:
P(A + B)=P(A) + P(B) - ova teorema je za dodavanje samo nekompatibilnih događaja;
P(A + B)=P(A) + P(B) - P(AB) - a ovo je za dodavanje samo kompatibilnih.
Vjerovatnoća stvaranja događaja:
P(A ⋅ B)=P(A) ⋅ P(B) – ova teorema je za nezavisne događaje;
(P(A ⋅ B)=P(A) ⋅ P(B∣A); P(A ⋅ B)=P(A) ⋅ P(A∣B)) - a ovo je za ovisnici.
Formula događaja završava listu. Teorija vjerovatnoće nam govori o Bayesovoj teoremi, koja izgleda ovako:
P(H_m∣A)=(P(H_m)P(A∣H_m)): (∑_(k=1)^n P(H_k)P(A∣H_k)), m=1, …, n
U ovoj formuli, H1, H2, …, H je kompletna grupa hipoteza.
Zaustavimo se ovdje, a zatim ćemo razmotriti primjere primjene formula za rješavanje konkretnih problema iz prakse.
Primjeri
Ako pažljivo proučite bilo koji diomatematike, ne ide bez vježbi i uzoraka rješenja. Isto tako i teorija vjerovatnoće: događaji, primjeri ovdje su sastavna komponenta koja potvrđuje naučne proračune.
Formula za broj permutacija
Recimo da ima trideset karata u špilu karata, počevši od nominalne vrijednosti jedan. Sljedeće pitanje. Koliko postoji načina da se špil složi tako da karte nominalne vrijednosti jedan i dva ne budu jedna pored druge?
Zadatak je postavljen, a sada idemo na njegovo rješavanje. Prvo morate odrediti broj permutacija od trideset elemenata, za to uzimamo gornju formulu, ispada P_30=30!.
Na osnovu ovog pravila, saznat ćemo koliko opcija postoji za preklapanje špila na različite načine, ali od njih trebamo oduzeti one u kojima su prva i druga karta sljedeće. Da bismo to učinili, počnimo s opcijom kada je prva iznad druge. Ispada da prva karta može zauzeti dvadeset devet mjesta - od prve do dvadeset devete, a druga karta od druge do tridesete, ispada dvadeset devet mjesta za par karata. Zauzvrat, ostatak može zauzeti dvadeset osam mjesta, i to bilo kojim redoslijedom. To jest, za permutaciju od dvadeset osam karata, postoji dvadeset osam opcija P_28=28!
Kao rezultat, ispada da ako uzmemo u obzir rješenje kada je prva karta iznad druge, postoji 29 ⋅ 28 dodatnih mogućnosti!=29!
Koristeći istu metodu, morate izračunati broj suvišnih opcija za slučaj kada je prva kartica ispod druge. Ispada i 29 ⋅ 28!=29!
Slijedi da postoje 2 ⋅ 29 dodatnih opcija!, dok postoji 30 potrebnih načina da se napravi špil! - 2 ⋅ 29!. Ostaje samo da se broji.
30!=29! ⋅ 30; 30!-2⋅29!=29! ⋅ (30 - 2)=29! ⋅ 28
Sada morate pomnožiti sve brojeve od jedan do dvadeset devet zajedno, a zatim na kraju sve pomnožiti sa 28. Odgovor je 2, 4757335 ⋅〖10〗^32
Rješenje primjera. Formula za broj plasmana
U ovom zadatku morate saznati na koliko načina postoji da stavite petnaest tomova na jednu policu, ali pod uslovom da ima ukupno trideset tomova.
Ovaj problem ima malo lakše rješenje od prethodnog. Koristeći već poznatu formulu, potrebno je izračunati ukupan broj lokacija iz trideset svezaka od petnaest.
A_30^15=30 ⋅ 29 ⋅ 28⋅… ⋅ (30 - 15 + 1)=30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ … ⋅ 16=202 843 207216=202 843 2072
Odgovor će biti 202 843 204 931 727 360 000.
Sada uzmimo zadatak malo teže. Morate saznati na koliko načina postoji da rasporedite trideset knjiga na dvije police s knjigama, pod uslovom da samo petnaest tomova može biti na jednoj polici.
Pre nego što počnem sa rešavanjem, želeo bih da pojasnim da se neki problemi rešavaju na više načina, tako da u ovom postoje dva načina, ali se u oba koristi ista formula.
U ovom zadatku možete preuzeti odgovor iz prethodnog, jer smo tamo izračunali koliko puta možete napuniti policu sa petnaest knjiga za-drugačije. Ispostavilo se A_30^15=30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ … ⋅ (30 - 15 + 1)=30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ …⋅ 16.
Drugu policu ćemo izračunati koristeći formulu permutacije, jer je u nju smješteno petnaest knjiga, a ostalo je samo petnaest. Koristite formulu P_15=15!.
Ispostavilo se da će ukupan iznos biti A_30^15 ⋅ P_15 načina, ali, osim toga, proizvod svih brojeva od trideset do šesnaest će se morati pomnožiti sa umnoškom brojeva od jedan do petnaest, kao rezultat, proizvod svih brojeva od jedan do trideset, tako da je odgovor 30!
Ali ovaj problem se može riješiti na drugačiji način - lakše. Da biste to učinili, možete zamisliti da postoji jedna polica za trideset knjiga. Svi su postavljeni na ovu ravan, ali pošto uvjet zahtijeva da postoje dvije police, jednu dugu prepolovimo, ispada po dvije po petnaest. Iz ovoga proizlazi da opcije postavljanja mogu biti P_30=30!.
Rješenje primjera. Formula za kombinaciju broja
Sada ćemo razmotriti varijantu trećeg problema iz kombinatorike. Morate saznati na koliko načina postoji da rasporedite petnaest knjiga, pod uslovom da odaberete između trideset potpuno identičnih.
Za rješenje će se, naravno, primijeniti formula za broj kombinacija. Iz uslova postaje jasno da redosled identičnih petnaest knjiga nije važan. Stoga, u početku morate saznati ukupan broj kombinacija od trideset knjiga od petnaest.
C_30^15=30 !: ((30-15)) !: petnaest !=155 117 520
To je to. Koristeći ovu formulu, to je bilo moguće u najkraćem mogućem rokuriješite takav problem, odgovor je 155 117 520.
Rješenje primjera. Klasična definicija vjerovatnoće
Uz gornju formulu možete pronaći odgovor na jednostavan problem. Ali pomoći će da se vizuelno vidi i prati tok radnji.
U zadatku je dato da se u urni nalazi deset apsolutno identičnih loptica. Od toga, četiri su žute, a šest plave. Jedna lopta se uzima iz urne. Morate saznati vjerovatnoću da dobijete plavu boju.
Da bismo riješili problem, potrebno je naznačiti dobijanje plave lopte kao događaj A. Ovo iskustvo može imati deset ishoda, koji su, pak, elementarni i jednako vjerovatni. Istovremeno, od deset, šest je povoljno za događaj A. Rješavamo po formuli:
P(A)=6: 10=0, 6
Primjenjujući ovu formulu, saznali smo da je vjerovatnoća da dobijemo plavu kuglicu 0,6.
Rješenje primjera. Vjerovatnoća zbira događaja
Sada će biti predstavljena varijanta koja se rješava korištenjem formule za vjerovatnoću zbira događaja. Dakle, pod uslovom da postoje dvije kutije, prva sadrži jednu sivu i pet bijelih loptica, a druga osam sivih i četiri bijele kuglice. Kao rezultat toga, jedan od njih je uzet iz prve i druge kutije. Morate saznati kolika je šansa da loptice koje dobijete budu sive i bijele.
Da riješite ovaj problem, trebate označiti događaje.
- Dakle, A - uzmi sivu loptu iz prve kutije: P(A)=1/6.
- A’ – uzmi bijelu loptu također iz prve kutije: P(A')=5/6.
- B – siva lopta je već izvađena iz druge kutije: P(B)=2/3.
- B’ – uzmi sivu loptu iz druge kutije: P(B')=1/3.
Prema uslovu problema mora se desiti jedna od pojava: AB' ili A'B. Koristeći formulu, dobijamo: P(AB')=1/18, P(A'B)=10/18.
Sada je korištena formula za množenje vjerovatnoće. Dalje, da saznate odgovor, trebate primijeniti jednačinu za njihovo sabiranje:
P=P(AB' + A'B)=P(AB') + P(A'B)=11/18.
Ovako, koristeći formulu, možete riješiti slične probleme.
Rezultat
Članak je pružio informacije o temi "Teorija vjerovatnoće", u kojoj vjerovatnoća događaja igra ključnu ulogu. Naravno, nije sve uzeto u obzir, ali se, na osnovu iznesenog teksta, teoretski može upoznati sa ovim dijelom matematike. Nauka o kojoj je riječ može biti korisna ne samo u profesionalnom radu, već iu svakodnevnom životu. Uz njegovu pomoć možete izračunati svaku mogućnost bilo kojeg događaja.
U tekstu su se dotakli i značajni datumi u istoriji formiranja teorije vjerovatnoće kao nauke, te imena ljudi čiji su radovi u nju uloženi. Tako je ljudska radoznalost dovela do činjenice da su ljudi naučili izračunati čak i slučajne događaje. Nekada ih je to samo zanimalo, a danas već svi znaju za to. I niko neće reći šta nas čeka u budućnosti, koja će još briljantna otkrića vezana za teoriju koja se razmatra će biti napravljena. Ali jedno je sigurno - istraživanje ne stoji mirno!
