Proučavanje teorije vjerovatnoće počinje rješavanjem problema sabiranja i množenja vjerovatnoća. Vrijedi odmah napomenuti da prilikom savladavanja ovog područja znanja student može naići na problem: ako se fizički ili hemijski procesi mogu vizualno predstaviti i empirijski razumjeti, onda je nivo matematičke apstrakcije vrlo visok, a razumijevanje ovdje dolazi samo sa iskustvo.
Međutim, igra je vrijedna svijeće, jer se formule - i razmatrane u ovom članku i one složenije - danas koriste svuda i mogu biti korisne u radu.
Porijeklo
Začudo, poticaj za razvoj ovog odjeljka matematike bilo je … kockanje. Zaista, kockice, bacanje novčića, poker, rulet su tipični primjeri koji koriste sabiranje i množenje vjerovatnoća. Na primjeru zadataka u bilo kojem udžbeniku to se jasno vidi. Ljudi su bili zainteresovani da nauče kako da povećaju svoje šanse za pobedu, i moram reći da su neki u tome i uspeli.
Na primjer, već u 21. vijeku jedna osoba, čije ime nećemo otkrivati,koristili su ovo znanje akumulirano vekovima da doslovno "očisti" kazino, osvojivši nekoliko desetina miliona dolara na ruletu.
Međutim, uprkos povećanom interesovanju za ovu temu, tek u 20. veku je razvijen teorijski okvir koji je „teorvera“učinio punopravnom komponentom matematike. Danas, u gotovo svakoj nauci, možete pronaći proračune koristeći probabilističke metode.
Primjenjivost
Važna stvar kada se koriste formule sabiranja i množenja vjerovatnoća, uslovna vjerovatnoća je zadovoljivost središnje granične teoreme. U suprotnom, iako to učenik možda neće shvatiti, svi proračuni, ma koliko vjerodostojni izgledali, bit će netačni.
Da, visoko motivirani učenik je u iskušenju da koristi novo znanje u svakoj prilici. Ali u ovom slučaju treba malo usporiti i striktno ocrtati obim primjenjivosti.
Teorija vjerovatnoće bavi se slučajnim događajima, koji su u empirijskom smislu rezultati eksperimenata: možemo baciti šestostranu kockicu, izvući kartu iz špila, predvidjeti broj neispravnih dijelova u seriji. Međutim, u nekim pitanjima je kategorički nemoguće koristiti formule iz ovog odjeljka matematike. O karakteristikama razmatranja vjerovatnoća događaja, teoremama sabiranja i množenja događaja raspravljat ćemo na kraju članka, ali za sada se okrenimo primjerima.
Osnovni koncepti
Slučajni događaj znači neki proces ili rezultat koji se može pojaviti ili ne morakao rezultat eksperimenta. Na primjer, bacimo sendvič - može pasti puter gore ili puter dolje. Bilo koji od ova dva ishoda će biti slučajan, a ne znamo unaprijed koji će se od njih dogoditi.
Kada proučavamo sabiranje i množenje vjerovatnoća, potrebna su nam još dva koncepta.
Zajednički događaji su oni događaji od kojih nastanak jednog ne isključuje pojavu drugog. Recimo da dvoje ljudi istovremeno puca u metu. Ako jedan od njih ispali uspješan hitac, to neće utjecati na sposobnost drugog da pogodi ili promaši.
Nedosljedni će biti takvi događaji, čija je pojava istovremeno nemoguća. Na primjer, izvlačenjem samo jedne lopte iz kutije, ne možete dobiti i plavu i crvenu odjednom.
Designation
Koncept vjerovatnoće je označen latiničnim velikim slovom P. Sledeći u zagradama su argumenti koji označavaju neke događaje.
U formulama teoreme sabiranja, uslovne vjerovatnoće, teoreme množenja, vidjet ćete izraze u zagradama, na primjer: A+B, AB ili A|B. Oni će se izračunavati na razne načine, sada ćemo se obratiti na njih.
Dodatak
Razmotrimo slučajeve u kojima se koriste formule za sabiranje i množenje.
Za nekompatibilne događaje relevantna je najjednostavnija formula sabiranja: vjerovatnoća bilo kojeg od slučajnih ishoda će biti jednaka zbroju vjerovatnoća svakog od ovih ishoda.
Pretpostavimo da postoji kutija sa 2 plava, 3 crvena i 5 žutih balona. U kutiji se nalazi ukupno 10 artikala. Koliki je postotak istinitosti tvrdnje da ćemo izvući plavu ili crvenu kuglicu? To će biti jednako 2/10 + 3/10, tj. pedeset posto.
U slučaju nekompatibilnih događaja, formula postaje komplikovanija, jer se dodaje dodatni termin. Vratit ćemo se na to u jednom pasusu, nakon što razmotrimo još jednu formulu.
Množenje
Sabiranje i množenje vjerovatnoća nezavisnih događaja koriste se u različitim slučajevima. Ako smo, prema uslovu eksperimenta, zadovoljni sa bilo kojim od dva moguća ishoda, izračunaćemo sumu; ako želimo dobiti dva određena ishoda jedan za drugim, pribjeći ćemo drugoj formuli.
Vraćajući se na primjer iz prethodnog odjeljka, želimo prvo nacrtati plavu kuglu, a zatim crvenu. Prvi broj koji znamo je 2/10. Šta se dalje događa? Ostalo je još 9 loptica, još isti broj crvenih - tri komada. Prema proračunima, dobijate 3/9 ili 1/3. Ali šta sad sa dva broja? Tačan odgovor je množiti da dobijete 2/30.
Zajednički događaji
Sada možemo ponovo pogledati formulu sume za zajedničke događaje. Zašto skrećemo sa teme? Da naučite kako se vjerovatnoće množe. Sada će ovo znanje dobro doći.
Već znamo šta će biti prva dva člana (isto kao u prethodnoj formuli za sabiranje), sada moramo oduzetiproizvod vjerovatnoća koje smo upravo naučili izračunati. Radi jasnoće, pišemo formulu: P (A + B) u003d P (A) + P (B) - P (AB). Ispostavilo se da se i zbrajanje i množenje vjerovatnoća koriste u jednom izrazu.
Recimo da moramo riješiti bilo koji od dva problema da bismo dobili kredit. Prvi možemo riješiti s vjerovatnoćom 0,3, a drugi - 0,6. Rješenje: 0,3 + 0,6 - 0,18=0,72. Imajte na umu da jednostavno zbrajanje brojeva ovdje neće biti dovoljno.
Uslovna vjerovatnoća
Konačno, postoji koncept uslovne vjerovatnoće, čiji su argumenti naznačeni u zagradama i odvojeni okomitom crtom. Unos P(A|B) glasi kako slijedi: “vjerovatnost događaja A dati događaj B”.
Pogledajmo primjer: prijatelj ti daje neki uređaj, neka to bude telefon. Može biti pokvaren (20%) ili dobar (80%). Možete popraviti bilo koji uređaj koji vam padne u ruke sa vjerovatnoćom od 0,4 ili niste u mogućnosti to učiniti (0,6). Konačno, ako je uređaj u ispravnom stanju, možete doći do prave osobe sa vjerovatnoćom od 0,7.
Lako je vidjeti kako uslovna vjerovatnoća funkcionira u ovom slučaju: ne možete doći do osobe ako je telefon pokvaren, a ako je dobar, ne morate ga popravljati. Dakle, da biste dobili bilo kakve rezultate na "drugom nivou", morate znati koji događaj je izvršen na prvom.
Izračuni
Razmotrimo primjere rješavanja zadataka sabiranja i množenja vjerovatnoća, koristeći podatke iz prethodnog pasusa.
Prvo, hajde da pronađemo verovatnoću da vipopravite uređaj koji vam je dat. Da biste to učinili, prvo, mora biti neispravan, a drugo, morate se nositi s popravkom. Ovo je tipičan problem množenja: dobijamo 0,20,4=0,08.
Koja je vjerovatnoća da ćete odmah doći do prave osobe? Lakše nego jednostavno: 0,80,7=0,56. U ovom slučaju, ustanovili ste da telefon radi i uspješno ste obavili poziv.
Konačno, razmislite o ovom scenariju: primili ste pokvaren telefon, popravili ga, zatim pozvali broj, a osoba na suprotnoj strani se javila na telefon. Ovdje je već potrebno množenje tri komponente: 0, 20, 40, 7=0, 056.
A šta ako imate dva neispravna telefona odjednom? Koliko je vjerovatno da ćete popraviti barem jedan od njih? Ovo je problem sabiranja i množenja vjerovatnoća, jer se koriste zajednički događaji. Rješenje: 0, 4 + 0, 4 - 0, 40, 4=0, 8 - 0, 16=0, 64.
Pažljiva upotreba
Kao što je spomenuto na početku članka, korištenje teorije vjerovatnoće treba biti namjerno i svjesno.
Što je serija eksperimenata veća, to je teoretski predviđena vrijednost bliža praktičnoj. Na primjer, bacamo novčić. Teoretski, znajući za postojanje formula za sabiranje i množenje vjerovatnoća, možemo predvidjeti koliko će puta ispasti glava i rep ako eksperiment izvedemo 10 puta. Napravili smo eksperiment iSlučajno, omjer ispuštenih strana bio je 3 prema 7. Ali ako izvedete seriju od 100, 1000 ili više pokušaja, ispada da je graf distribucije sve bliži i bliži teoretskom: 44 prema 56, 482 do 518 i tako dalje.
Sada zamislite da se ovaj eksperiment ne izvodi s novčićem, već sa proizvodnjom neke nove hemijske supstance, čiju vjerovatnoću ne znamo. Izvršili bismo 10 eksperimenata i, ako ne bismo dobili uspješan rezultat, mogli bismo generalizirati: "supstanca se ne može dobiti." Ali ko zna, da smo napravili jedanaesti pokušaj, da li bismo došli do cilja ili ne?
Dakle, ako idete u nepoznato, neistraženo carstvo, teorija vjerovatnoće možda neće vrijediti. Svaki naredni pokušaj u ovom slučaju može biti uspješan i generalizacije poput "X ne postoji" ili "X je nemoguće" bit će preuranjene.
Završna riječ
Pa smo pogledali dvije vrste sabiranja, množenje i uslovne vjerovatnoće. Daljnjim proučavanjem ove oblasti potrebno je naučiti razlikovati situacije kada se koristi svaka konkretna formula. Osim toga, morate razumjeti da li su probabilističke metode općenito primjenjive na rješavanje vašeg problema.
Ako vježbate, nakon nekog vremena počet ćete sve potrebne operacije izvoditi isključivo u svom umu. Za one koji vole kartaške igre, ova se vještina može uzeti u obzirizuzetno vrijedan - značajno ćete povećati svoje šanse za pobjedu, samo izračunavanjem vjerovatnoće da će određena karta ili boja ispasti. Međutim, stečeno znanje se lako može primijeniti u drugim područjima djelovanja.
