Mnogi, suočeni sa konceptom "teorije verovatnoće", su uplašeni, misleći da je to nešto ogromno, veoma složeno. Ali zapravo nije sve tako tragično. Danas ćemo razmotriti osnovni koncept teorije vjerovatnoće, naučiti kako rješavati probleme koristeći konkretne primjere.
Nauka
Šta proučava takva grana matematike kao što je "teorija vjerovatnoće"? Bilježi obrasce slučajnih događaja i količina. Po prvi put, naučnici su se zainteresovali za ovo pitanje još u osamnaestom veku, kada su proučavali kockanje. Osnovni koncept teorije vjerovatnoće je događaj. To je svaka činjenica koja je potvrđena iskustvom ili posmatranjem. Ali šta je iskustvo? Još jedan osnovni koncept teorije vjerovatnoće. To znači da ovaj sklop okolnosti nije stvoren slučajno, već sa određenom svrhom. Što se posmatranja tiče, ovde sam istraživač ne učestvuje u eksperimentu, već je jednostavno svedok ovih događaja, on ni na koji način ne utiče na to što se dešava.
Događaji
Naučili smo da je osnovni koncept teorije vjerovatnoće događaj, ali nismo uzeli u obzir klasifikaciju. Svi su podijeljeni u sljedeće kategorije:
- Pouzdan.
- Nemoguće.
- Nasumično.
Nema vezekakvi se događaji posmatraju ili stvaraju tokom iskustva, svi oni podležu ovoj klasifikaciji. Nudimo vam da se upoznate sa svakom od vrsta posebno.
Određeni događaj
Ovo je okolnost pred kojom su preduzete neophodne mjere. Da bismo bolje razumjeli suštinu, bolje je navesti nekoliko primjera. Fizika, hemija, ekonomija i viša matematika podliježu ovom zakonu. Teorija vjerovatnoće uključuje tako važan koncept kao što je određeni događaj. Evo nekoliko primjera:
- Radimo i dobijamo naknadu u obliku plata.
- Dobro smo položili ispite, prošli konkurs, za to dobijamo nagradu u vidu prijema u obrazovnu ustanovu.
- Uložili smo novac u banku, vratićemo ga ako bude potrebno.
Ovakvi događaji su pouzdani. Ako smo ispunili sve potrebne uslove, onda ćemo sigurno dobiti očekivani rezultat.
Nemogući događaji
Sada razmatramo elemente teorije vjerovatnoće. Predlažemo da pređemo na objašnjenje sledećeg tipa događaja, naime, nemogućeg. Prvo, navedite najvažnije pravilo - vjerovatnoća nemogućeg događaja je nula.
Ne možete odstupiti od ove formulacije prilikom rješavanja problema. Da pojasnimo, evo primjera takvih događaja:
- Voda se smrzla na plus deset (to je nemoguće).
- Nedostatak struje ni na koji način ne utiče na proizvodnju (isto nemoguće kao u prethodnom primjeru).
Još primjeraNije vrijedno citiranja, jer gore opisani vrlo jasno odražavaju suštinu ove kategorije. Nemogući događaj se nikada neće dogoditi tokom iskustva ni pod kojim okolnostima.
Slučajni događaji
Proučavajući elemente teorije vjerovatnoće, posebnu pažnju treba obratiti na ovu vrstu događaja. To je ono što nauka proučava. Kao rezultat iskustva, nešto se može, ali i ne mora dogoditi. Osim toga, test se može ponoviti neograničen broj puta. Živopisni primjeri su:
- Bacanje novčića je iskustvo, ili test, pravac je događaj.
- Slijepo izvlačenje lopte iz vreće je test, crvena lopta je uhvaćena je događaj i tako dalje.
Takvih primjera može biti neograničen broj, ali, općenito, suština bi trebala biti jasna. Za sumiranje i sistematizaciju stečenog znanja o događajima data je tabela. Teorija vjerovatnoće proučava samo posljednju vrstu od svih predstavljenih.
| naslov | definicija | primjer |
| Pouzdan | Događaji koji se dešavaju sa 100% garancijom pod određenim uslovima. | Prijem u obrazovnu ustanovu sa dobrim prijemnim ispitom. |
| Nemoguće | Događaji koji se nikada neće dogoditi ni pod kojim okolnostima. | Pada snijeg na temperaturi od plus trideset stepeni Celzijusa. |
| Nasumično | Događaj koji se može ili ne mora dogoditi tokom eksperimenta/testiranja. | Pogodi ili promaši kada bacaš košarkašku loptu u obruč. |
Zakoni
Teorija vjerovatnoće je nauka koja proučava mogućnost da se događaj desi. Kao i ostali, ima neka pravila. Postoje sljedeći zakoni teorije vjerovatnoće:
- Konvergencija nizova slučajnih varijabli.
- Zakon velikih brojeva.
Prilikom izračunavanja mogućnosti kompleksa, možete koristiti kompleks jednostavnih događaja kako biste postigli rezultat na lakši i brži način. Imajte na umu da se zakoni teorije vjerovatnoće lako dokazuju uz pomoć nekih teorema. Počnimo s prvim zakonom.
Konvergencija nizova slučajnih varijabli
Imajte na umu da postoji nekoliko tipova konvergencije:
- Niz slučajnih varijabli konvergira u vjerovatnoći.
- Gotovo nemoguće.
- RMS konvergencija.
- Konvergencija u distribuciji.
Dakle, u hodu, vrlo je teško doći do dna. Evo nekoliko definicija koje će vam pomoći da razumijete ovu temu. Počnimo s prvim pogledom. Niz se naziva konvergentnim po vjerovatnoći ako je ispunjen sljedeći uvjet: n teži beskonačnosti, broj kojem niz teži je veći od nule i blizu jedan.
Gotovo sigurno idemo na sljedeći prikaz. Kažu toniz gotovo sigurno konvergira na slučajnu varijablu s n koji teži beskonačnosti i P teži vrijednosti blizu jedan.
Sljedeći tip je konvergencija srednjeg kvadrata. Kada se koristi SC-konvergencija, proučavanje vektorskih slučajnih procesa se svodi na proučavanje njihovih koordinatnih slučajnih procesa.
Posljednji tip ostaje, pogledajmo ga ukratko kako bismo prešli direktno na rješavanje problema. Konvergencija distribucije ima još jedno ime - "slaba", u nastavku ćemo objasniti zašto. Slaba konvergencija je konvergencija funkcija distribucije u svim tačkama kontinuiteta funkcije granične distribucije.
Obavezno ispunite obećanje: slaba konvergencija se razlikuje od svega gore navedenog po tome što slučajna varijabla nije definirana na prostoru vjerovatnoće. To je moguće jer se uvjet formira isključivo korištenjem funkcija distribucije.
Zakon velikih brojeva
Odličan pomagač u dokazivanju ovog zakona bit će teoreme teorije vjerovatnoće, kao što su:
- Čebiševljeva nejednakost.
- Čebiševljev teorem.
- Uopštena Čebiševljeva teorema.
- Markovljev teorem.
Ako uzmemo u obzir sve ove teoreme, onda se ovo pitanje može povući na nekoliko desetina listova. Naš glavni zadatak je primijeniti teoriju vjerovatnoće u praksi. Pozivamo vas da to učinite odmah. Ali prije toga, razmotrimo aksiome teorije vjerovatnoće, oni će biti glavni pomoćnici u rješavanju problema.
Aksiomi
Prvog smo već upoznali kada smo pričali o nemogućem događaju. Podsjetimo: vjerovatnoća nemogućeg događaja je nula. Naveli smo vrlo živopisan i nezaboravan primjer: padao je snijeg na temperaturi zraka od trideset stepeni Celzijusa.
Drugi zvuči ovako: pouzdan događaj se javlja sa vjerovatnoćom jednakom jedan. Hajde sada da pokažemo kako to napisati koristeći matematički jezik: P(B)=1.
Treće: Slučajni događaj se može dogoditi ili ne mora, ali mogućnost se uvijek kreće od nule do jedan. Što je vrijednost bliža jedinici, veća je šansa; ako se vrijednost približi nuli, vjerovatnoća je vrlo mala. Napišimo ovo matematičkim jezikom: 0<R(S)<1.
Razmotrimo posljednji, četvrti aksiom, koji zvuči ovako: vjerovatnoća zbira dva događaja jednaka je zbiru njihovih vjerovatnoća. Pišemo matematičkim jezikom: P (A + B) u003d P (A) + P (B).
Aksiomi teorije vjerovatnoće su najjednostavnija pravila koja se lako pamte. Pokušajmo riješiti neke probleme, na osnovu već stečenog znanja.
Lutrijska karta
Prvo, razmotrite najjednostavniji primjer - lutriju. Zamislite da ste kupili jednu lutriju za sreću. Kolika je vjerovatnoća da ćete osvojiti najmanje dvadeset rubalja? Ukupno u opticaju učestvuje hiljadu ulaznica, od kojih jedna ima nagradu od pet stotina rubalja, deset od sto rubalja, pedeset od dvadeset rubalja i sto od pet. Problemi u teoriji vjerovatnoće zasnivaju se na pronalaženju mogućnostiSretno. Sada ćemo zajedno analizirati rješenje gore prikazanog zadatka.
Ako slovom A označimo dobitak od pet stotina rubalja, tada će vjerovatnoća da dobijemo A biti 0,001. Kako smo ga dobili? Potrebno je samo podijeliti broj "sretnih" tiketa sa njihovim ukupnim brojem (u ovom slučaju: 1/1000).
B je dobitak od sto rubalja, vjerovatnoća će biti 0,01. Sada smo postupili po istom principu kao u prethodnoj akciji (10/1000)
C - dobitak je jednak dvadeset rubalja. Pronađite vjerovatnoću, jednaka je 0,05.
Ostale karte nas ne zanimaju, jer je njihov nagradni fond manji od onog navedenog u uslovu. Primijenimo četvrti aksiom: Vjerovatnoća osvajanja najmanje dvadeset rubalja je P(A)+P(B)+P(C). Slovo P označava vjerovatnoću nastanka ovog događaja, već smo ih pronašli u prethodnim koracima. Ostaje samo dodati potrebne podatke, u odgovoru dobijamo 0, 061. Ovaj broj će biti odgovor na pitanje zadatka.
Špil karata
Problemi teorije vjerojatnosti mogu biti složeniji, na primjer, uzmite sljedeći zadatak. Pred vama je špil od trideset i šest karata. Vaš zadatak je da izvučete dvije karte zaredom bez miješanja hrpe, prva i druga karta moraju biti asovi, boja nije bitna.
Prvo, hajde da pronađemo verovatnoću da će prva karta biti as, za ovo delimo četiri sa trideset šest. Ostavili su to sa strane. Izvadimo drugu kartu, to će biti as sa vjerovatnoćom od tri trideset petine. Vjerovatnoća drugog događaja ovisi o tome koju kartu smo prvu izvukli, zanima nasda li je to bio kec ili ne. Iz toga slijedi da događaj B zavisi od događaja A.
Sljedeći korak je pronaći vjerovatnoću istovremene implementacije, odnosno množimo A i B. Njihov proizvod se nalazi na sljedeći način: vjerovatnoća jednog događaja se množi sa uslovnom vjerovatnoćom drugog, što izračunavamo, pod pretpostavkom da se dogodio prvi događaj, odnosno da smo sa prvom kartom izvukli keca.
Da bi sve bilo jasno, dajmo oznaku takvom elementu kao što je uslovna vjerovatnoća događaja. Izračunava se pod pretpostavkom da se dogodio događaj A. Izračunava se na sljedeći način: P(B/A).
Nastavite rješavati naš problem: P(AB)=P(A)P(B/A) ili P (AB)=P(B)P(A/B). Vjerovatnoća je (4/36)((3/35)/(4/36). Izračunajte zaokruživanjem na stotinke. Imamo: 0, 11(0, 09/0, 11)=0, 110, 82=0, 09. Vjerovatnoća da izvučemo dva asa zaredom je devet stotinki Vrijednost je vrlo mala, iz toga slijedi da je vjerovatnoća nastanka događaja izuzetno mala.
Zaboravljeni broj
Predlažemo da analiziramo još nekoliko opcija za zadatke koje proučava teorija vjerovatnoće. Već ste vidjeli primjere rješavanja nekih od njih u ovom članku, hajde da pokušamo riješiti sljedeći problem: dječak je zaboravio posljednju cifru telefonskog broja svog prijatelja, ali pošto je poziv bio vrlo važan, počeo je birati sve redom. Moramo izračunati vjerovatnoću da će nazvati najviše tri puta. Rješenje problema je najjednostavnije ako su poznata pravila, zakoni i aksiomi teorije vjerovatnoće.
Prije gledanjarješenje, pokušajte sami riješiti. Znamo da zadnja cifra može biti od nula do devet, odnosno ukupno ima deset vrijednosti. Vjerovatnoća da dobijete pravi je 1/10.
Dalje, moramo razmotriti opcije za porijeklo događaja, pretpostavimo da je dječak pogodio ispravno i odmah postigao pravi, vjerovatnoća takvog događaja je 1/10. Druga opcija: prvi poziv je promašaj, a drugi je na meti. Izračunavamo vjerovatnoću takvog događaja: pomnožimo 9/10 sa 1/9, kao rezultat dobijamo i 1/10. Treća opcija: ispostavilo se da su prvi i drugi poziv bili na pogrešnoj adresi, tek od trećeg dječak je stigao gdje je htio. Izračunavamo vjerovatnoću takvog događaja: pomnožimo 9/10 sa 8/9 i sa 1/8, dobijemo 1/10 kao rezultat. Prema stanju zadatka druge opcije nas ne zanimaju, pa nam ostaje da saberemo rezultate, kao rezultat imamo 3/10. Odgovor: Vjerovatnoća da dječak ne zove više od tri puta je 0,3.
Kartice s brojevima
Pred vama je devet karata, na svakoj je ispisan broj od jedan do devet, brojevi se ne ponavljaju. Stavljeni su u kutiju i dobro promešani. Morate izračunati vjerovatnoću da
- pojavit će se paran broj;
- dvocifreni.
Pre nego što pređemo na rešenje, odredimo da je m broj uspešnih slučajeva, a n ukupan broj opcija. Pronađite vjerovatnoću da je broj paran. Neće biti teško izračunati da postoje četiri parna broja, ovo će biti naš m, ukupno je devet opcija, odnosno m=9. Zatim vjerovatnoćajednako 0, 44 ili 4/9.
Razmotrimo drugi slučaj: broj opcija je devet, a uspješnih ishoda uopće ne može biti, odnosno m je nula. Vjerovatnoća da će izvučena karta sadržavati dvocifreni broj je također nula.
