Matematika potiče iz antike. Zahvaljujući njoj, arhitektura, građevinarstvo i vojna nauka dale su novi krug razvoja, dostignuća koja su postignuta uz pomoć matematike dovela su do kretanja napretka. Do danas, matematika ostaje glavna nauka koja se nalazi u svim ostalim granama.
Da bi se školovala, djeca od prvog razreda počinju postepeno da se spajaju u ovu sredinu. Veoma je važno razumjeti matematiku, jer se ona, u ovoj ili drugoj mjeri, javlja svakom čovjeku tokom života. Ovaj članak će analizirati jedan od ključnih elemenata – pronalaženje i primjenu izvedenica. Ne može svaka osoba zamisliti koliko se široko koristi ovaj koncept. Razmotrite više od 10 primjena derivata u određenim oblastima ili naukama.
Primjena derivacije za proučavanje funkcije
Izvod je takva granicaomjer inkrementa funkcije prema inkrementu njenog argumenta kada eksponent argumenta teži nuli. Izvod je nezamjenjiva stvar u proučavanju funkcije. Na primjer, može se koristiti za određivanje povećanja i smanjenja potonjeg, ekstrema, konveksnosti i konkavnosti. Diferencijalni račun je uključen u obavezni nastavni plan i program za studente 1. i 2. godine matematičkih univerziteta.
Nule opsega i funkcije
Prva faza bilo kakvog proučavanja grafa počinje pronalaženjem domena definicije, u rijetkim slučajevima - vrijednosti. Domen definicije postavljen je duž apscisne ose, drugim riječima, to su numeričke vrijednosti na osi OX. Često je opseg već postavljen, ali ako nije, tada treba procijeniti vrijednost x argumenta. Pretpostavimo, ako za neke vrijednosti argumenta funkcija nema smisla, onda je ovaj argument isključen iz opsega.
Nule funkcije pronalaze se na jednostavan način: funkciju f(x) treba izjednačiti sa nulom i rezultirajuću jednačinu treba riješiti u odnosu na jednu varijablu x. Dobijeni korijeni jednadžbe su nule funkcije, odnosno u ovim x funkcija je 0.
Povećanje i smanjenje
Upotreba izvoda za proučavanje funkcija monotonosti može se razmatrati sa dvije pozicije. Monotona funkcija je kategorija koja ima samo pozitivne vrijednosti derivacije, ili samo negativne vrijednosti. Jednostavnim riječima, funkcija se samo povećava ili samo smanjuje tijekom cijelog intervala koji se proučava:
- Povećaj parametar. Funkcijaf(x) će se povećati ako je izvod od f`(x) veći od nule.
- Silazni parametar. Funkcija f(x) će se smanjiti ako je izvod f`(x) manji od nule.
tangenta i nagib
Primjena derivacije na proučavanje funkcije je također određena tangentom (pravom usmjerenom pod uglom) na graf funkcije u datoj tački. Tangenta u tački (x0) - prava koja prolazi kroz tačku i pripada funkciji čije su koordinate (x0, f(x 0 )) i ima nagib f`(x0).
y=f(x0) + f`(x0)(x - x0) - jednadžba tangente na datu tačku grafika funkcije.
Geometrijsko značenje izvoda: derivacija funkcije f(x) jednaka je nagibu formirane tangente na graf ove funkcije u datoj tački x. Kutni koeficijent je zauzvrat jednak tangentu kuta nagiba tangente na os OX (apscisu) u pozitivnom smjeru. Ovaj zaključak je fundamentalan za primjenu derivacije na graf funkcije.
Ekstremni bodovi
Primjena derivata na studiju uključuje pronalaženje visokih i niskih tačaka.
Da biste pronašli i odredili minimalne i maksimalne bodove, morate:
- Pronađi derivaciju funkcije f(x).
- Postavite rezultirajuću jednačinu na nulu.
- Pronađi korijene jednačine.
- Pronađi visoke i niske tačke.
Da biste pronašli ekstremekarakteristike:
- Pronađite minimalne i maksimalne bodove koristeći gornji metod.
- Zamenite ove tačke u originalnu jednačinu i izračunajte ymax i ymin
Maksimalna tačka funkcije je najveća vrijednost funkcije f(x) na intervalu, drugim riječima xmax.
Minimalna tačka funkcije je najmanja vrijednost funkcije f(x) na intervalu, drugim riječima xname
Ekstremum bodovi su isti kao maksimalni i minimalni poeni, kao i ekstrem funkcije (ymax. i yminimum) - vrijednosti funkcije koje odgovaraju tačkama ekstrema.
Konveksnost i konkavnost
Možete odrediti konveksnost i konkavnost pribjegavajući upotrebi derivata za crtanje:
- Funkcija f(x) ispitana na intervalu (a, b) je konkavna ako se funkcija nalazi ispod svih njenih tangenta unutar ovog intervala.
- Funkcija f(x) proučavana na intervalu (a, b) je konveksna ako se funkcija nalazi iznad svih njenih tangenta unutar ovog intervala.
Tačka koja razdvaja konveksnost i konkavnost naziva se tačka pregiba funkcije.
Da biste pronašli tačke pregiba:
- Pronađi kritične tačke druge vrste (drugi derivat).
- Tačke pregiba su one kritične tačke koje razdvajaju dva suprotna znaka.
- Izračunajte vrijednosti funkcije u tačkama infleksije funkcije.
Djelomični derivati
Prijavapostoje derivati ovog tipa u problemima gdje se koristi više od jedne nepoznate varijable. Najčešće se takvi derivati susreću prilikom crtanja grafa funkcije, tačnije, površina u prostoru, gdje umjesto dvije ose postoje tri, dakle, tri veličine (dvije varijable i jedna konstanta).
Osnovno pravilo pri izračunavanju parcijalnih derivata je da odaberete jednu varijablu, a ostale tretirate kao konstante. Stoga, kada se izračunava parcijalni izvod, konstanta postaje kao numerička vrijednost (u mnogim tablicama izvoda one su označene kao C=const). Značenje takve derivacije je brzina promjene funkcije z=f(x, y) duž ose OX i OY, odnosno karakteriše strmine udubljenja i izbočina konstruisane površine.
Derivat u fizici
Upotreba derivata u fizici je široko rasprostranjena i važna. Fizičko značenje: derivacija putanje u odnosu na vrijeme je brzina, a ubrzanje je izvod brzine u odnosu na vrijeme. Iz fizičkog značenja, mnoge grane se mogu povući u različite grane fizike, uz potpuno očuvanje značenja izvedenice.
Uz pomoć izvoda nalaze se sljedeće vrijednosti:
- Brzina u kinematici, gdje se izračunava derivacija prijeđenog puta. Ako se pronađe drugi izvod puta ili prvi izvod brzine, onda se nađe i ubrzanje tijela. Osim toga, moguće je pronaći trenutnu brzinu materijalne tačke, ali za to je potrebno znati prirast ∆t i ∆r.
- U elektrodinamici:proračun trenutne jačine naizmjenične struje, kao i EMF elektromagnetne indukcije. Izračunavanjem derivata možete pronaći maksimalnu snagu. Derivat količine električnog naboja je jačina struje u provodniku.
Derivat u hemiji i biologiji
Hemija: Derivat se koristi za određivanje brzine hemijske reakcije. Hemijsko značenje izvoda: funkcija p=p(t), u ovom slučaju p je količina supstance koja ulazi u hemijsku reakciju u vremenu t. ∆t - vremensko povećanje, ∆p - povećanje količine supstance. Granica omjera ∆p prema ∆t, na kojoj ∆t teži nuli, naziva se brzina kemijske reakcije. Prosječna vrijednost kemijske reakcije je omjer ∆p/∆t. Prilikom određivanja brzine potrebno je tačno poznavati sve potrebne parametre, uslove, znati agregatno stanje supstance i tečnog medija. Ovo je prilično veliki aspekt u hemiji, koji se široko koristi u raznim industrijama i ljudskim aktivnostima.
Biologija: koncept derivata se koristi za izračunavanje prosječne stope reprodukcije. Biološko značenje: imamo funkciju y=x(t). ∆t - vremensko povećanje. Zatim, uz pomoć nekih transformacija, dobijamo funkciju y`=P(t)=x`(t) - vitalna aktivnost populacije u vremenu t (prosječna stopa reprodukcije). Ova upotreba derivata vam omogućava da vodite statistiku, pratite stopu reprodukcije i tako dalje.
Derivat iz geografije i ekonomije
Izvod omogućava geografima da odlučezadaci kao što su pronalaženje populacije, izračunavanje vrijednosti u seizmografiji, izračunavanje radioaktivnosti nuklearnih geofizičkih indikatora, izračunavanje interpolacije.
U ekonomiji, važan dio proračuna je diferencijalni račun i izračunavanje derivata. Prije svega, to nam omogućava da odredimo granice potrebnih ekonomskih vrijednosti. Na primjer, najveća i najniža produktivnost rada, troškovi, profit. U osnovi, ove vrijednosti se izračunavaju iz grafova funkcija, gdje pronalaze ekstreme, određuju monotonost funkcije u željenom području.
Zaključak
Uloga ovog diferencijalnog računa uključena je, kao što je navedeno u članku, u različitim naučnim strukturama. Upotreba derivativnih funkcija važan je element u praktičnom dijelu nauke i proizvodnje. Nije slučajno da su nas u srednjoj školi i na fakultetu učili da pravimo složene grafove, istražujemo i radimo na funkcijama. Kao što vidite, bez derivata i diferencijalnih proračuna bilo bi nemoguće izračunati vitalne pokazatelje i količine. Čovječanstvo je naučilo modelirati različite procese i istraživati ih, rješavati složene matematičke probleme. Zaista, matematika je kraljica svih nauka, jer ova nauka leži u osnovi svih drugih prirodnih i tehničkih disciplina.
