Tema "aritmetička progresija" se izučava u opštem kursu algebre u školama u 9. razredu. Ova tema je važna za dalje dublje proučavanje matematike brojevnih nizova. U ovom članku ćemo se upoznati sa aritmetičkom progresijom, njenom razlikom, kao i sa tipičnim zadacima s kojima se školarci mogu suočiti.
Koncept algebarske progresije
Numerička progresija je niz brojeva u kojem se svaki sljedeći element može dobiti iz prethodnog, ako se primijeni neki matematički zakon. Postoje dvije jednostavne vrste progresije: geometrijska i aritmetička, koja se naziva i algebarska. Hajde da se zadržimo na tome detaljnije.
Zamislimo neki racionalni broj, označimo ga simbolom a1, gdje indeks označava njegov redni broj u nizu koji se razmatra. Dodajmo neki drugi broj a1 , označimo ga d. Onda drugielement serije se može prikazati na sljedeći način: a2=a1+d. Sada ponovo dodajte d, dobijamo: a3=a2+d. Nastavljajući ovu matematičku operaciju, možete dobiti čitav niz brojeva, koji će se zvati aritmetička progresija.
Kao što se može razumjeti iz gore navedenog, da biste pronašli n-ti element ovog niza, morate koristiti formulu: a =a1+ (n -1)d. Zaista, zamjenom n=1 u izraz, dobijamo a1=a1, ako je n=2, onda formula implicira: a2=a1 + 1d, i tako dalje.
Na primjer, ako je razlika aritmetičke progresije 5, a a1=1, onda to znači da brojčani niz dotičnog tipa izgleda ovako: 1, 6, 11, 16, 21, … Kao što vidite, svaki njegov član je veći od prethodnog za 5.
Formule za razliku aritmetičke progresije
Iz gornje definicije razmatranog niza brojeva proizilazi da da biste ga odredili, morate znati dva broja: a1 i d. Ovo posljednje se zove razlika ove progresije. To jedinstveno određuje ponašanje cijele serije. Zaista, ako je d pozitivan, tada će se niz brojeva stalno povećavati, naprotiv, u slučaju negativnog d, brojevi u nizu će rasti samo po modulu, dok će njihova apsolutna vrijednost opadati sa povećanjem broja n.
Koja je razlika u aritmetičkoj progresiji? Razmotrite dvije glavne formule koje se koriste za izračunavanje ove vrijednosti:
- d=an+1-a , ova formula slijedi direktno iz definicije dotičnog niza brojeva.
- d=(-a1+a)/(n-1), ovaj izraz se dobija izražavanjem d iz date formule u prethodnom stavu člana. Imajte na umu da ovaj izraz postaje neodređen (0/0) ako je n=1. To je zbog činjenice da je potrebno poznavati najmanje 2 elementa serije da bi se utvrdila njena razlika.
Ove dvije osnovne formule se koriste za rješavanje bilo kojeg problema pronalaženja razlike u progresiji. Međutim, postoji još jedna formula koju također morate znati.
Zbroj prvih elemenata
Formulu koja se može koristiti za određivanje sume bilo kojeg broja članova algebarske progresije, prema istorijskim dokazima, prvi je dobio "princ" matematike iz 18. veka, Carl Gauss. Nemački naučnik, još kao dečak u osnovnim razredima seoske škole, primetio je da da biste sabrali prirodne brojeve u nizu od 1 do 100, prvo morate da zbrojite prvi i poslednji element (rezultujuća vrednost će biti jednaka na zbir pretposljednjeg i drugog, pretposljednjeg i trećeg elementa i tako dalje), a zatim ovaj broj treba pomnožiti sa brojem ovih iznosa, odnosno sa 50.
Formula koja odražava navedeni rezultat na određenom primjeru može se generalizirati na proizvoljan slučaj. To će izgledati ovako: S =n/2(a +a1). Imajte na umu da za pronalaženje navedene vrijednosti nije potrebno poznavanje razlike d,ako su poznata dva termina progresije (a i a1).
Primjer 1. Odredite razliku, znajući dva člana serije a1 i an
Pokažimo kako primijeniti formule spomenute gore u članku. Dajemo jednostavan primjer: razlika aritmetičke progresije je nepoznata, potrebno je odrediti čemu će biti jednaka ako je a13=-5, 6 i a1 =-12, 1.
Pošto znamo vrijednosti dva elementa numeričkog niza, a jedan od njih je prvi broj, možemo koristiti formulu br. 2 da odredimo razliku d. Imamo: d=(-1(-12, 1)+(-5, 6))/12=0. 54167. U izrazu smo koristili vrijednost n=13, jer je član sa ovim rednim brojem poznato.
Rezultirajuća razlika ukazuje da se progresija povećava, uprkos činjenici da elementi dati u uslovu problema imaju negativnu vrijednost. Može se vidjeti da a13>a1, iako |a13|<|a 1 |.
Primjer 2. Pozitivni članovi progresije u primjeru 1
Upotrijebimo rezultat dobiven u prethodnom primjeru da riješimo novi problem. Formulira se na sljedeći način: od kog rednog broja elementi progresije u primjeru 1 počinju da uzimaju pozitivne vrijednosti?
Kao što je prikazano, progresija u kojoj a1=-12, 1 i d=0. 54167 se povećava, tako da će od nekog broja brojevi početi uzimati samo pozitivne vrijednosti. Da bi se odredio ovaj broj n, potrebno je riješiti jednostavnu nejednakost, koja jematematički zapisano na sljedeći način: a >0 ili, koristeći odgovarajuću formulu, prepisujemo nejednačinu: a1 + (n-1)d>0. Potrebno je pronaći nepoznato n, izrazimo to: n>-1a1/d + 1. Sada ostaje zamijeniti poznate vrijednosti razlike i prvog člana niza. Dobijamo: n>-1(-12, 1) /0, 54167 + 1=23, 338 ili n>23, 338. S obzirom da n može uzeti samo cjelobrojne vrijednosti, iz rezultirajuće nejednakosti slijedi da će bilo koji član niza imati broj veći od 23 će biti pozitivan.
Provjerite svoj odgovor koristeći gornju formulu da izračunate 23. i 24. element ove aritmetičke progresije. Imamo: a23=-12, 1 + 220, 54167=-0, 18326 (negativan broj); a24=-12, 1 + 230.54167=0.3584 (pozitivna vrijednost). Dakle, dobijeni rezultat je tačan: počevši od n=24, svi članovi niza brojeva će biti veći od nule.
Primjer 3. Koliko će trupaca stati?
Dajmo jedan zanimljiv problem: tokom sječe, odlučeno je da se rezani trupci slažu jedno na drugo kao što je prikazano na donjoj slici. Koliko se trupaca može složiti na ovaj način, znajući da će ukupno stati 10 redova?
U ovakvom načinu slaganja dnevnika možete primijetiti jednu zanimljivost: svaki sljedeći red će sadržavati jedan dnevnik manje od prethodnog, odnosno postoji algebarska progresija čija je razlika d=1. Pod pretpostavkom da je broj dnevnika u svakom redu član ove progresije,i takođe s obzirom da je a1=1 (samo jedan trupac će stati na sam vrh), nalazimo broj a10. Imamo: a10=1 + 1(10-1)=10. To jest, u 10. redu, koji leži na zemlji, biće 10 trupaca.
Ukupni iznos ove "piramidalne" konstrukcije može se dobiti pomoću Gaussove formule. Dobijamo: S10=10/2(10+1)=55 trupaca.
