U članku na koji vam je skrenuta pažnja nudimo primjere matematičkih modela. Pored toga, obratićemo pažnju na faze kreiranja modela i analizirati neke od zadataka vezanih za matematičko modeliranje.
Još jedno naše pitanje odnosi se na matematičke modele u ekonomiji, primjere, čiju ćemo definiciju razmotriti malo kasnije. Predlažemo da započnemo naš razgovor sa samim konceptom „modela“, ukratko razmotrimo njihovu klasifikaciju i pređemo na naša glavna pitanja.
Koncept "modela"
Često čujemo riječ "model". Šta je? Ovaj termin ima mnogo definicija, evo samo tri od njih:
- specifičan objekat koji je kreiran za primanje i pohranjivanje informacija, koje odražavaju neka svojstva ili karakteristike, i tako dalje, originala ovog objekta (ovaj specifični objekt može se izraziti u različitim oblicima: mentalni, opis pomoću znakova, i tako dalje);
- model također znači prikaz bilo koje specifične situacije, života ilimenadžerski;
- model može poslužiti kao umanjena kopija bilo kojeg objekta (kreirani su za detaljnije proučavanje i analizu, jer model odražava strukturu i odnose).
Na osnovu svega što je ranije rečeno, možemo izvući mali zaključak: model vam omogućava da detaljno proučavate složeni sistem ili objekt.
Svi modeli se mogu klasificirati prema brojnim kriterijima:
- po oblasti upotrebe (obrazovni, eksperimentalni, naučni i tehnički, igre, simulacije);
- po dinamici (statično i dinamičko);
- po grani znanja (fizička, hemijska, geografska, istorijska, sociološka, ekonomska, matematička);
- načinom prezentacije (materijalno i informativno).
Informacijski modeli se, pak, dijele na znakovne i verbalne. I ikona - na kompjuteru i ne-kompjuteru. Sada pređimo na detaljno razmatranje primjera matematičkog modela.
Matematički model
Kao što možete pretpostaviti, matematički model odražava neke karakteristike objekta ili fenomena koristeći posebne matematičke simbole. Matematika je potrebna kako bi se modelirali obrasci okolnog svijeta na svom specifičnom jeziku.
Metoda matematičkog modeliranja nastala je prilično davno, prije više hiljada godina, zajedno sa pojavom ove nauke. Međutim, podsticaj razvoju ove metode modeliranja dala je pojava kompjutera (elektronskih kompjutera).
Sada idemo na klasifikaciju. Može se izvesti i prema nekim znakovima. Oni suprikazani su u tabeli ispod.
| Klasifikacija po granama nauke | Primjena matematičkih modela u fizici, sociologiji, hemiji i tako dalje |
| Prema matematičkom aparatu koji se koristi u procesu modeliranja | Modeli zasnovani na diferencijalnim jednadžbama, diskretnim algebarskim transformacijama i slično |
| Modeliranjem ciljeva | Prema ovom principu postoje deskriptivni, optimizacijski, višekriterijski, igrica i simulacijski modeli |
Predlažemo da se zaustavimo i pobliže pogledamo posljednju klasifikaciju, jer ona odražava opšte obrasce modeliranja i ciljeve modela koji se kreiraju.
Opisni modeli
U ovom poglavlju predlažemo da se detaljnije zadržimo na deskriptivnim matematičkim modelima. Da bi sve bilo vrlo jasno, dat će se primjer.
Za početak, ovaj pogled se može nazvati deskriptivnim. To je zbog činjenice da mi samo pravimo kalkulacije i prognoze, ali ne možemo ni na koji način uticati na ishod događaja.
Upečatljiv primjer deskriptivnog matematičkog modela je proračun putanje leta, brzine, udaljenosti od Zemlje komete koja je napala prostranstvo našeg Sunčevog sistema. Ovaj model je deskriptivan, jer nas svi dobijeni rezultati mogu samo upozoriti na neku vrstu opasnosti. Na ishod događaja, nažalost, ne utičemoMože. Međutim, na osnovu dobijenih proračuna moguće je preduzeti bilo kakve mere za spas života na Zemlji.
Optimizacijski modeli
Sada ćemo malo govoriti o ekonomskim i matematičkim modelima, čiji primjeri mogu biti različite situacije. U ovom slučaju govorimo o modelima koji pomažu u pronalaženju pravog odgovora u određenim uvjetima. Moraju imati neke parametre. Da bude vrlo jasno, razmotrite primjer iz poljoprivrednog dijela.
Imamo žitnicu, ali se žito vrlo brzo pokvari. U ovom slučaju moramo odabrati pravi temperaturni režim i optimizirati proces skladištenja.
Dakle, možemo definisati koncept "optimizacionog modela". U matematičkom smislu, ovo je sistem jednadžbi (linearnih i ne), čije rješenje pomaže u pronalaženju optimalnog rješenja u određenoj ekonomskoj situaciji. Razmotrili smo primjer matematičkog modela (optimizacija), ali želim da dodam: ovaj tip spada u klasu ekstremnih problema, oni pomažu da se opiše funkcionisanje ekonomskog sistema.
Imajte na umu još jednu nijansu: modeli mogu biti različite prirode (pogledajte tabelu ispod).
| deterministički | U ovom slučaju, rezultat zavisi od ulaznih podataka |
| stochastic | Opis nasumičnih procesa. U ovom slučaju, rezultat ostaje nedefiniran |
Multicriteria models
Sada vas pozivamo da popričamo malo o tomematematički model višeciljne optimizacije. Prije toga dali smo primjer matematičkog modela za optimizaciju procesa prema bilo kojem kriteriju, ali šta ako ih ima puno?
Upečatljiv primjer višekriterijumskog zadatka je organizacija pravilne, zdrave i istovremeno ekonomične ishrane za velike grupe ljudi. Ovakvi zadaci se često nalaze u vojsci, školskim menzama, letnjim kampovima, bolnicama i tako dalje.
Koji kriterijumi su nam dati u ovom problemu?
- Hrana treba da bude zdrava.
- Potrošnja na hranu treba biti svedena na minimum.
Kao što vidite, ovi ciljevi se uopšte ne poklapaju. To znači da je prilikom rješavanja problema potrebno tražiti optimalno rješenje, balans između dva kriterija.
Modeli igara
Kada govorimo o modelima igara, potrebno je razumjeti koncept "teorije igara". Jednostavno rečeno, ovi modeli odražavaju matematičke modele stvarnih sukoba. Samo imajte na umu da, za razliku od pravog sukoba, matematički model igre ima svoja posebna pravila.
Sada će postojati minimum informacija iz teorije igara koje će vam pomoći da shvatite šta je model igre. I tako, u modelu nužno postoje stranke (dvije ili više), koje se obično nazivaju igrači.
Svi modeli imaju neke karakteristike.
| Subjekti | Broj igrača |
| Strategija | Opcije za moguće radnje |
| Plaćanje | Ishod sukoba (pobjeda ili poraz). |
Model igre može biti uparen ili višestruk. Ako imamo dva subjekta, onda je sukob uparen, ako više - višestruki. Može se razlikovati i antagonistička igra, koja se naziva i igra sa nultom sumom. Ovo je model u kojem je dobitak jednog od učesnika jednak gubitku drugog.
Simulacijski modeli
U ovom odeljku obratićemo pažnju na simulacione matematičke modele. Primjeri zadataka su:
- model dinamike broja mikroorganizama;
- model kretanja molekula, i tako dalje.
U ovom slučaju govorimo o modelima koji su što je moguće bliži stvarnim procesima. Uglavnom, imitiraju bilo koju manifestaciju u prirodi. U prvom slučaju, na primjer, možemo modelirati dinamiku broja mrava u jednoj koloniji. U ovom slučaju možete promatrati sudbinu svakog pojedinca. U ovom slučaju, matematički opis se rijetko koristi, češće su napisani uvjeti:
- nakon pet dana ženka polaže jaja;
- 20 dana kasnije mrav umire, i tako dalje.
Dakle, simulacijski modeli se koriste za opisivanje velikog sistema. Matematički zaključak je obrada primljenih statističkih podataka.
Zahtjevi
Veoma važnoimajte na umu da postoje neki zahtjevi za ovu vrstu modela, među kojima su oni dati u tabeli ispod.
| Svestranost | Ovo svojstvo vam omogućava da koristite isti model kada opisujete grupe objekata istog tipa. Važno je napomenuti da su univerzalni matematički modeli potpuno nezavisni od fizičke prirode objekta koji se proučava |
| Adekvatnost | Ovdje je važno razumjeti da vam ovo svojstvo omogućava da što preciznije reprodukujete stvarne procese. U operativnim problemima ovo svojstvo matematičkog modeliranja je veoma važno. Primjer modela je proces optimizacije korištenja plinskog sistema. U ovom slučaju se upoređuju izračunati i stvarni pokazatelji, kao rezultat, provjerava se ispravnost sastavljenog modela |
| Preciznost | Ovaj zahtjev podrazumijeva podudarnost vrijednosti koje dobijamo prilikom izračunavanja matematičkog modela i ulaznih parametara našeg stvarnog objekta |
| Ekonomija | Zahtjev isplativosti za bilo koji matematički model karakteriziraju troškovi implementacije. Ako se rad s modelom izvodi ručno, tada je potrebno izračunati koliko će vremena biti potrebno za rješavanje jednog problema pomoću ovog matematičkog modela. Ako govorimo o kompjuterski potpomognutom dizajnu, onda se izračunavaju pokazatelji troškova vremena i računarske memorije |
Stagemodeling
Ukupno, uobičajeno je razlikovati četiri faze u matematičkom modeliranju.
- Formulirajte zakone koji povezuju dijelove modela.
- Istraživanje matematičkih problema.
- Rasjašnjavanje podudarnosti praktičnih i teorijskih rezultata.
- Analiza i modernizacija modela.
Ekonomski i matematički model
U ovom dijelu ćemo ukratko istaknuti pitanje ekonomskih i matematičkih modela. Primjeri zadataka su:
- formiranje proizvodnog programa za proizvodnju mesnih prerađevina, osiguravajući maksimalan profit proizvodnje;
- maksimizirajte profit organizacije izračunavanjem optimalnog broja stolova i stolica koji će se proizvoditi u fabrici namještaja, i tako dalje.
Ekonomsko-matematički model prikazuje ekonomsku apstrakciju, koja se izražava pomoću matematičkih termina i znakova.
Kompjuterski matematički model
Primjeri kompjuterskog matematičkog modela su:
- problemi hidraulike pomoću dijagrama toka, dijagrama, tabela i tako dalje;
- problemi sa solidnom mehanikom, i tako dalje.
Kompjuterski model je slika objekta ili sistema predstavljena kao:
- stolovi;
- flowcharts;
- dijagrami;
- grafika i tako dalje.
U isto vrijeme, ovaj model odražava strukturu i međusobne veze sistema.
Izgradnja ekonomsko-matematičkog modela
Već smo razgovarali o tome šta ekonomskamatematički model. Sada ćemo razmotriti primjer rješavanja problema. Moramo analizirati proizvodni program kako bismo identifikovali rezervu za povećanje profita sa pomjeranjem asortimana.
Nećemo u potpunosti razmatrati problem, već ćemo samo izgraditi ekonomski i matematički model. Kriterijum našeg zadatka je maksimizacija profita. Tada funkcija ima oblik: L=r1h1+r2h2… teži maksimumu. U ovom modelu, p je profit po jedinici, x je broj proizvedenih jedinica. Dalje, na osnovu konstruisanog modela potrebno je izvršiti proračune i sumirati.
Primjer izgradnje jednostavnog matematičkog modela
Zadatak. Ribar se vratio sa sljedećim ulovom:
- 8 riba - stanovnici sjevernih mora;
- 20% ulova - stanovnici južnih mora;
- nijedna riba nije pronađena iz lokalne rijeke.
Koliko je ribe kupio u trgovini?
Dakle, primjer konstruiranja matematičkog modela ovog problema je sljedeći. Ukupan broj riba označavamo sa x. Slijedeći uvjet, 0,2x je broj riba koje žive u južnim geografskim širinama. Sada kombinujemo sve dostupne informacije i dobijamo matematički model problema: x=0, 2x+8. Rješavamo jednačinu i dobijamo odgovor na glavno pitanje: kupio je 10 riba u trgovini.
