Furierov red je prikaz proizvoljno uzete funkcije sa određenim periodom kao niz. Općenito, ovo rješenje se naziva dekompozicijom elementa u ortogonalnoj bazi. Proširenje funkcija u Fourierov red je prilično moćan alat za rješavanje različitih problema zbog svojstava ove transformacije pri integraciji, diferenciranju, kao i pomjeranju izraza u argumentu i konvoluciji.
Osoba koja nije upoznata sa višom matematikom, kao i sa radovima francuskog naučnika Furijea, najverovatnije neće razumeti šta su i čemu služe ovi „redovi“. U međuvremenu, ova transformacija je postala prilično gusta u našim životima. Koriste ga ne samo matematičari, već i fizičari, hemičari, liječnici, astronomi, seizmolozi, okeanografi i mnogi drugi. Pogledajmo izbliza radove velikog francuskog naučnika, koji je napravio otkriće ispred svog vremena.
Čovjek i Fourierova transformacija
Furierovi redovi su jedna od metoda (uz analizu i druge) Fourierove transformacije. Ovaj proces se dešava svaki put kada osoba čuje zvuk. Naše uho automatski pretvara zvuktalasi. Oscilatorna kretanja elementarnih čestica u elastičnom mediju razlažu se u redove (duž spektra) uzastopnih vrijednosti nivoa glasnoće za tonove različite visine. Zatim, mozak pretvara ove podatke u zvukove koji su nam poznati. Sve se ovo dešava pored naše želje ili svesti, samo po sebi, ali da bismo razumeli ove procese, biće potrebno nekoliko godina da se proučava višu matematika.
Više o Furijevoj transformaciji
Fourierova transformacija se može izvesti analitičkim, numeričkim i drugim metodama. Fourierovi redovi se odnose na numerički način razlaganja bilo kakvih oscilatornih procesa - od okeanskih plima i svjetlosnih valova do ciklusa solarne (i drugih astronomskih objekata) aktivnosti. Koristeći ove matematičke tehnike, moguće je analizirati funkcije, predstavljajući sve oscilatorne procese kao niz sinusoidnih komponenti koje idu od minimuma do maksimuma i obrnuto. Fourierova transformacija je funkcija koja opisuje fazu i amplitudu sinusoida koje odgovaraju određenoj frekvenciji. Ovaj proces se može koristiti za rješavanje vrlo složenih jednačina koje opisuju dinamičke procese koji nastaju pod utjecajem toplinske, svjetlosne ili električne energije. Takođe, Fourierovi nizovi omogućavaju izolaciju konstantnih komponenti u složenim oscilatornim signalima, što je omogućilo ispravnu interpretaciju dobijenih eksperimentalnih zapažanja u medicini, hemiji i astronomiji.
Historijska pozadina
Osnivač ove teorijeJean Baptiste Joseph Fourier je francuski matematičar. Ova transformacija je kasnije nazvana po njemu. U početku je naučnik primijenio svoju metodu da proučava i objasni mehanizme provođenja topline - širenja topline u čvrstim tvarima. Fourier je sugerirao da se početna nepravilna distribucija toplotnog vala može razložiti na najjednostavnije sinusoide, od kojih će svaka imati svoj temperaturni minimum i maksimum, kao i svoju fazu. U ovom slučaju, svaka takva komponenta će se mjeriti od minimuma do maksimuma i obrnuto. Matematička funkcija koja opisuje gornji i donji vrh krivulje, kao i fazu svakog od harmonika, naziva se Fourierova transformacija izraza raspodjele temperature. Autor teorije je opću funkciju distribucije, koju je teško matematički opisati, sveo na niz periodičnih kosinusnih i sinusnih funkcija koje se zbrajaju vrlo lake za rukovanje.
Princip transformacije i pogledi savremenika
Naukovnikovi savremenici - vodeći matematičari ranog devetnaestog veka - nisu prihvatili ovu teoriju. Glavni prigovor je bila Fourierova tvrdnja da se diskontinuirana funkcija koja opisuje pravu liniju ili diskontinuiranu krivu može predstaviti kao zbir sinusoidnih izraza koji su kontinuirani. Kao primjer, razmotrite Hevisajdov "korak": njegova vrijednost je nula lijevo od jaza i jedan desno. Ova funkcija opisuje ovisnost električne struje o vremenskoj varijabli kada je krug zatvoren. Savremenici tadašnje teorije nikada se nisu susreli sa takvimsituacija u kojoj bi diskontinuirani izraz bio opisan kombinacijom kontinuiranih, običnih funkcija, kao što su eksponencijalne, sinusoidne, linearne ili kvadratne.
Šta je zbunilo francuske matematičare u Fourierovoj teoriji?
Na kraju krajeva, ako je matematičar bio u pravu u svojim izjavama, onda sumirajući beskonačni trigonometrijski Fourierov red, možete dobiti tačan prikaz koraka izraza čak i ako ima mnogo sličnih koraka. Početkom devetnaestog veka takva izjava je izgledala apsurdno. Ali uprkos svim sumnjama, mnogi matematičari su proširili opseg proučavanja ovog fenomena, izvodeći ga izvan okvira proučavanja toplotne provodljivosti. Međutim, većina naučnika je nastavila da muči oko pitanja: "Može li se zbir sinusoidnog niza konvergirati na tačnu vrijednost diskontinuirane funkcije?"
Konvergencija Fourierove serije: primjer
Pitanje konvergencije se postavlja kad god je potrebno sabrati beskonačne nizove brojeva. Da biste razumjeli ovaj fenomen, razmotrite klasičan primjer. Možete li ikada doći do zida ako je svaki sljedeći korak upola manji od prethodnog? Pretpostavimo da ste na dva metra od cilja, prvi korak vas približava polovini puta, sljedeći do tri četvrtine, a nakon petog ćete preći skoro 97 posto puta. Međutim, bez obzira na to koliko koraka napravite, nećete postići željeni cilj u strogom matematičkom smislu. Koristeći numeričke proračune, može se dokazati da se na kraju može približiti koliko god hoće.mala specificirana udaljenost. Ovaj dokaz je ekvivalentan demonstriranju da će zbir vrijednosti jedne polovine, jedne četvrtine, itd. težiti jedan.
Pitanje konvergencije: Drugi dolazak, ili uređaj Lorda Kelvina
Ovo pitanje se više puta postavljalo krajem devetnaestog veka, kada su Fourierovi nizovi pokušani da se koriste za predviđanje intenziteta oseke i oseke. U to vrijeme, Lord Kelvin je izumio uređaj, koji je analogni računarski uređaj koji je omogućio mornarima vojne i trgovačke flote da prate ovaj prirodni fenomen. Ovaj mehanizam je određivao skupove faza i amplituda iz tabele visina plime i njihovih odgovarajućih vremenskih momenata, pažljivo mjerenih u datoj luci tokom godine. Svaki parametar bio je sinusoidna komponenta izraza visine plime i bila je jedna od regularnih komponenti. Rezultati mjerenja uneseni su u kalkulator Lorda Kelvina, koji je sintetizirao krivulju koja je predviđala visinu vode kao funkciju vremena za narednu godinu. Vrlo brzo su iscrtane slične krivulje za sve luke svijeta.
A ako je proces prekinut diskontinuiranom funkcijom?
U to vrijeme se činilo očiglednim da prediktor plimnog talasa sa velikim brojem elemenata za brojanje može izračunati veliki broj faza i amplituda i na taj način pružiti preciznija predviđanja. Ipak, pokazalo se da se ova pravilnost ne uočava u slučajevima kada je plimni izraz, koji slijedisintetizirati, sadržavao je oštar skok, odnosno bio je diskontinuiran. U slučaju da se u uređaj unose podaci iz tabele vremenskih momenata, tada on izračunava nekoliko Fourierovih koeficijenata. Originalna funkcija se vraća zahvaljujući sinusoidnim komponentama (prema pronađenim koeficijentima). Neslaganje između originalnog i restauriranog izraza može se izmjeriti u bilo kojoj tački. Prilikom ponovljenih proračuna i poređenja može se vidjeti da se vrijednost najveće greške ne smanjuje. Međutim, oni su lokalizirani u području koje odgovara tački diskontinuiteta i teže nuli u bilo kojoj drugoj tački. Godine 1899., ovaj rezultat je teoretski potvrdio Joshua Willard Gibbs sa Univerziteta Yale.
Konvergencija Fourierovih redova i razvoj matematike općenito
Fourierova analiza nije primjenjiva na izraze koji sadrže beskonačan broj rafala u određenom intervalu. Općenito, Fourierovi redovi, ako je originalna funkcija rezultat stvarnog fizičkog mjerenja, uvijek konvergiraju. Pitanja konvergencije ovog procesa za specifične klase funkcija dovela su do pojave novih odjeljaka u matematici, na primjer, teorije generaliziranih funkcija. Povezuje se sa imenima kao što su L. Schwartz, J. Mikusinsky i J. Temple. U okviru ove teorije stvorena je jasna i precizna teorijska osnova za takve izraze kao što su Diracova delta funkcija (opisuje područje jedne površine koncentrirano u beskonačno malom susjedstvu točke) i Heaviside-ova “korak . Zahvaljujući ovom radu, Fourierovi nizovi su postali primjenjivi narješavanje jednadžbi i problema koji uključuju intuitivne koncepte: tačkasti naboj, tačkasta masa, magnetni dipoli, kao i koncentrisano opterećenje na snopu.
Fourierova metoda
Furierovi redovi, u skladu sa principima interferencije, počinju dekompozicijom složenih oblika na jednostavnije. Na primjer, promjena toplotnog toka objašnjava se njegovim prolaskom kroz razne prepreke napravljene od toplotnoizolacionog materijala nepravilnog oblika ili promjenom površine zemlje - potresom, promjenom orbite nebeskog tijela - utjecajem planete. Po pravilu se slične jednačine koje opisuju jednostavne klasične sisteme elementarno rješavaju za svaki pojedinačni talas. Fourier je pokazao da se jednostavna rješenja također mogu sabrati kako bi se dobila rješenja za složenije probleme. Jezikom matematike, Fourierov red je tehnika za predstavljanje izraza kao sume harmonika - kosinusa i sinusoida. Stoga je ova analiza poznata i kao "harmonička analiza".
Furierova serija - idealna tehnika prije "kompjuterskog doba"
Prije stvaranja kompjuterske tehnologije, Fourierova tehnika je bila najbolje oružje u arsenalu naučnika u radu sa talasnom prirodom našeg svijeta. Fourierov red u složenom obliku omogućava rješavanje ne samo jednostavnih problema koji se mogu direktno primijeniti na zakone Newtonove mehanike, već i fundamentalne jednadžbe. Većina otkrića Njutnove nauke u devetnaestom veku bila je moguća samo Fourierovom tehnikom.
Fourierova serija danas
Sa razvojem računara Fourierove transformacijepodignuta na potpuno novi nivo. Ova tehnika je čvrsto ukorijenjena u gotovo svim područjima nauke i tehnologije. Primjer je digitalni audio i video signal. Njena realizacija je postala moguća samo zahvaljujući teoriji koju je razvio francuski matematičar početkom devetnaestog veka. Dakle, Fourierov niz u složenom obliku omogućio je iskorak u proučavanju svemira. Osim toga, utjecao je na proučavanje fizike poluvodičkih materijala i plazme, mikrovalnu akustiku, okeanografiju, radar, seizmologiju.
Trigonometrijska Fourierova serija
U matematici, Fourierov red je način predstavljanja proizvoljnih složenih funkcija kao zbir jednostavnijih. U opštim slučajevima, broj takvih izraza može biti beskonačan. Štaviše, što se njihov broj više uzima u obzir u proračunu, to je konačni rezultat tačniji. Najčešće se kao najjednostavnije koriste trigonometrijske funkcije kosinusa ili sinusa. U ovom slučaju, Fourierovi redovi se nazivaju trigonometrijski, a rješenje takvih izraza naziva se proširenje harmonika. Ova metoda igra važnu ulogu u matematici. Prije svega, trigonometrijski niz pruža sredstvo za sliku, kao i proučavanje funkcija, glavni je aparat teorije. Osim toga, omogućava rješavanje niza problema matematičke fizike. Konačno, ova teorija je doprinijela razvoju matematičke analize, iznjedrila niz vrlo važnih dijelova matematičke nauke (teorija integrala, teorija periodičnih funkcija). Osim toga, poslužila je kao polazna tačka za razvoj sljedećih teorija: skupovi, funkcijerealna varijabla, funkcionalna analiza, a također je postavio temelj za harmonijsku analizu.
