Šta je aritmetika? Kada je čovječanstvo počelo koristiti brojeve i raditi s njima? Gdje idu korijeni takvih svakodnevnih pojmova kao što su brojevi, razlomci, oduzimanje, sabiranje i množenje, koje je čovjek učinio neodvojivim dijelom svog života i pogleda na svijet? Stari grčki umovi su se divili naukama poput matematike, aritmetike i geometrije kao najljepšim simfonijama ljudske logike.
Možda aritmetika nije tako duboka kao druge nauke, ali šta bi se dogodilo s njima ako bi osoba zaboravila elementarnu tablicu množenja? Nama uobičajeno logično razmišljanje, korištenjem brojeva, razlomaka i drugih alata, ljudima nije bilo lako i dugo je bilo nedostupno našim precima. Zapravo, prije razvoja aritmetike, nijedno područje ljudskog znanja nije bilo istinski naučno.
Aritmetika je abeceda matematike
Aritmetika je nauka o brojevima, sa kojom svaka osoba počinje da se upoznaje sa fascinantnim svetom matematike. Kao što je M. V. Lomonosov rekao, aritmetika je kapija učenja koja nam otvara put ka svjetskom znanju. Ali on je u pravuDa li se znanje o svijetu može odvojiti od znanja brojeva i slova, matematike i govora? Možda u stara vremena, ali ne u modernom svijetu, gdje brzi razvoj nauke i tehnologije diktira svoje zakone.
Riječ "aritmetika" (grčki "arithmos") grčkog porijekla, znači "broj". Proučava brojeve i sve što se s njima može povezati. Ovo je svijet brojeva: razne operacije nad brojevima, numerička pravila, rješavanje zadataka koji se odnose na množenje, oduzimanje itd.
Općenito je prihvaćeno da je aritmetika početni korak matematike i čvrsta osnova za njene složenije dijelove, kao što su algebra, matematička analiza, viša matematika, itd.
Glavni predmet aritmetike
Osnova aritmetike je cijeli broj, čija se svojstva i obrasci razmatraju u višoj aritmetici ili teoriji brojeva. U stvari, snaga cijele zgrade - matematike - ovisi o tome koliko je ispravan pristup u razmatranju tako malog bloka kao prirodnog broja.
Stoga, na pitanje šta je aritmetika može se odgovoriti jednostavno: to je nauka o brojevima. Da, o uobičajenih sedam, devet i sva ova raznolika zajednica. I kao što ne možete pisati dobru ili čak najsrednju poeziju bez elementarnog pisma, ne možete riješiti ni elementarni problem bez aritmetike. Zato su sve nauke napredovale tek nakon razvoja aritmetike i matematike, a pre toga su bile samo skup pretpostavki.
Aritmetika je fantomska nauka
Šta je aritmetika - prirodna nauka ili fantom? U stvari, kao što su drevni grčki filozofi tvrdili, u stvarnosti ne postoje ni brojevi ni brojke. Ovo je samo fantom koji se stvara u ljudskom razmišljanju kada se posmatra okolina sa njenim procesima. Zaista, šta je broj? Nigdje u okolini ne vidimo ništa slično što bi se moglo nazvati brojem, već je broj način na koji ljudski um proučava svijet. Ili je to možda proučavanje nas samih iznutra? Filozofi se o tome raspravljaju vekovima zaredom, pa se ne obavezujemo da damo iscrpan odgovor. Na ovaj ili onaj način, aritmetika je uspjela zauzeti svoje mjesto tako čvrsto da se u modernom svijetu niko ne može smatrati društveno prilagođenim a da ne poznaje njene osnove.
Kako se pojavio prirodni broj
Naravno, glavni objekat s kojim aritmetika radi je prirodan broj, kao što su 1, 2, 3, 4, …, 152… itd. Aritmetika prirodnih brojeva rezultat je brojanja običnih objekata, kao što su krave na livadi. Ipak, definicija "puno" ili "malo" jednom je prestala da odgovara ljudima, pa su morali da izmisle naprednije tehnike brojanja.
Ali pravi proboj se dogodio kada je ljudska misao došla do tačke da je moguće označiti 2 kilograma, 2 cigle i 2 dijela istim brojem "dva". Činjenica je da trebate apstrahirati od oblika, svojstava i značenja objekata, tada možete izvršiti neke radnje s tim objektima u obliku prirodnih brojeva. Tako je rođena aritmetika brojeva, kojadalje razvijao i širio, zauzimajući sve veće pozicije u životu društva.
Takvi dubinski koncepti broja kao što su nula i negativan broj, razlomci, označavanje brojeva brojevima i na druge načine, imaju bogatu i zanimljivu istoriju razvoja.
Aritmetički i praktični Egipćani
Dva najstarija ljudska saputnika u istraživanju svijeta oko nas i rješavanju svakodnevnih problema su aritmetika i geometrija.
Smatra se da istorija aritmetike potiče sa drevnog istoka: u Indiji, Egiptu, Babilonu i Kini. Dakle, papirus Rinda egipatskog porijekla (nazvan tako jer je pripadao istoimenom vlasniku), datira iz 20. stoljeća. BC, pored drugih vrijednih podataka, sadrži proširenje jednog razlomka u zbir razlomaka sa različitim nazivnicima i brojicom jednakim jedan.
Na primjer: 2/73=1/60+1/219+1/292+1/365.
Ali koja je svrha tako složene dekompozicije? Činjenica je da egipatski pristup nije tolerirao apstraktne misli o brojevima, naprotiv, proračuni su rađeni samo u praktične svrhe. Odnosno, Egipćanin će se baviti takvom stvari kao što su kalkulacije, isključivo da bi sagradio grobnicu, na primjer. Bilo je potrebno izračunati dužinu ruba konstrukcije, a to je natjeralo osobu da sjedne iza papirusa. Kao što vidite, egipatski napredak u proračunima uzrokovan je, prije, masovnom gradnjom nego ljubavlju prema nauci.
Iz tog razloga, proračuni pronađeni na papirusima ne mogu se nazvati refleksijama na temu razlomaka. Najvjerovatnije je ovo praktična priprema koja je pomogla u budućnosti.rješavati zadatke sa razlomcima. Stari Egipćani, koji nisu poznavali tablice množenja, pravili su prilično dugačke proračune, razlagali ih na mnoge podzadatke. Možda je ovo jedan od tih podzadataka. Lako je vidjeti da su proračuni s takvim radnim komadima vrlo naporni i neperspektivni. Možda iz tog razloga ne vidimo veliki doprinos starog Egipta razvoju matematike.
Drevna Grčka i filozofska aritmetika
Mnoga znanja o antičkom istoku uspješno su savladali stari Grci, poznati ljubitelji apstraktnih, apstraktnih i filozofskih razmišljanja. Ništa ih manje nije zanimala praksa, ali je teško naći najbolje teoretičare i mislioce. Ovo je koristilo nauci, jer je nemoguće uroniti u aritmetiku, a da je ne odvojimo od stvarnosti. Naravno, možete umnožiti 10 krava i 100 litara mlijeka, ali nećete stići daleko.
Duboko misleći Grci ostavili su značajan trag u istoriji, a njihovi spisi su dospeli do nas:
- Euklid i elementi.
- Pythagoras.
- Arhimedes.
- Eratosthenes.
- Zeno.
- Anaxagoras.
I, naravno, Grci, koji su sve pretvorili u filozofiju, a posebno nasljednici Pitagorinog djela, bili su toliko fascinirani brojevima da su ih smatrali misterijom harmonije svijeta. Brojevi su proučavani i istraženi do te mjere da su nekima od njih i njihovim parovima dodijeljena posebna svojstva. Na primjer:
- Savršeni brojevi su oni koji su jednaki zbiru svih njihovih djelitelja, osim samog broja (6=1+2+3).
- Prijateljski brojevi su ti brojevi, od kojih je jedanjednak je zbiru svih djelitelja sekunde, i obrnuto (pitagorejci su poznavali samo jedan takav par: 220 i 284).
Grci, koji su vjerovali da nauku treba voljeti, a ne biti s njom radi profita, postigli su veliki uspjeh istraživanjem, igranjem i zbrajanjem brojeva. Treba napomenuti da nisu sva njihova istraživanja imala široku upotrebu, neka od njih su ostala samo "za ljepotu".
istočni mislioci srednjeg vijeka
Na isti način, u srednjem vijeku, aritmetika duguje svoj razvoj istočnjačkim savremenicima. Indijanci su nam dali brojeve koje aktivno koristimo, koncept kao što je "nula", i pozicionu verziju računa, poznatu modernoj percepciji. Od Al-Kashija, koji je radio u Samarkandu u 15. vijeku, naslijedili smo decimalne razlomke, bez kojih je teško zamisliti modernu aritmetiku.
Na mnogo načina, upoznavanje Evrope sa dostignućima Istoka postalo je moguće zahvaljujući radu italijanskog naučnika Leonarda Fibonačija, koji je napisao delo "Knjiga o abakusu", uvodeći istočnjačke inovacije. Postao je kamen temeljac razvoja algebre i aritmetike, istraživačkih i naučnih aktivnosti u Evropi.
ruska aritmetika
I, konačno, aritmetika, koja je našla svoje mjesto i ukorijenila se u Evropi, počela se širiti u ruske zemlje. Prva ruska aritmetika objavljena je 1703. godine - to je bila knjiga Leontija Magnitskog o aritmetici. Dugo je ostao jedini udžbenik iz matematike. Sadrži početne momente algebre i geometrije. Brojevi korišteni u primjerima prvog udžbenika aritmetike u Rusiji su arapski. Iako su arapski brojevi viđeni i ranije, na gravurama koje datiraju iz 17. stoljeća.
Samu knjigu krase slike Arhimeda i Pitagore, a na prvom listu - slika aritmetike u obliku žene. Ona sjedi na prijestolju, ispod nje je na hebrejskom napisana riječ koja označava ime Boga, a na stepenicama koje vode do prijestolja ispisane su riječi "podjela", "množenje", "sabiranje" itd. istine koji se sada smatraju uobičajenim.
Udžbenik od 600 stranica pokriva osnove kao što su tablice sabiranja i množenja i primjene u navigacijskim naukama.
Nije iznenađujuće što je autor za svoju knjigu odabrao slike grčkih mislilaca, jer je i sam bio očaran ljepotom aritmetike, rekavši: "Aritmetika je brojilac, postoji umjetnost iskrena, nezavidna…". Ovakav pristup aritmetici je sasvim opravdan, jer se upravo njeno široko uvođenje može smatrati početkom naglog razvoja naučne misli u Rusiji i opšteg obrazovanja.
Neprosti prosti brojevi
Prosti broj je prirodan broj koji ima samo 2 pozitivna djelitelja: 1 i sebe. Svi ostali brojevi, osim 1, nazivaju se složenim. Primjeri prostih brojeva: 2, 3, 5, 7, 11 i svi ostali koji nemaju djelitelje osim 1 i samog sebe.
Što se tiče broja 1, on je na posebnom računu - postoji dogovor da se ne smatra ni jednostavnim ni kompozitnim. Jednostavan na prvi pogled, jednostavan broj krije mnoge nerazjašnjene misterije u sebi.
Euklidov teorem kaže da postoji beskonačan broj prostih brojeva, a Eratosten je izmislio posebno aritmetičko "sito" koje eliminira ne-proste brojeve, ostavljajući samo jednostavne.
Njegova suština je da se podvuče prvi neprecrtani broj, a zatim da se precrtaju oni koji su višestruki. Ovaj postupak ponavljamo mnogo puta - i dobijamo tabelu prostih brojeva.
Osnovna teorema aritmetike
Među zapažanjima o prostim brojevima, temeljnu teoremu aritmetike treba spomenuti na poseban način.
Osnovna teorema aritmetike kaže da je svaki cijeli broj veći od 1 ili prost, ili da se može razložiti u proizvod prostih brojeva do reda faktora, i to na jedinstven način.
Glavna aritmetička teorema se pokazala prilično glomaznom, a njeno razumijevanje više ne izgleda kao najjednostavnije osnove.
Na prvi pogled, prosti brojevi su elementarni koncept, ali nisu. Fizika je također nekada smatrala atom elementarnim, sve dok nije pronašla cijeli svemir u njemu. Divna priča matematičara Don Tzagira "Prvih pedeset miliona prostih brojeva" posvećena je prostim brojevima.
Od "tri jabuke" do deduktivnih zakona
Ono što se zaista može nazvati ojačanim temeljom svake nauke jesu zakoni aritmetike. Čak iu djetinjstvu svi se suočavaju s aritmetikom, proučavajući broj nogu i ruku lutaka,broj kockica, jabuka itd. Ovako učimo aritmetiku, koja onda prelazi u složenija pravila.
Cijeli život nas upoznaje sa pravilima aritmetike, koja su za običnog čovjeka postala najkorisnija od svega što nauka daje. Proučavanje brojeva je "aritmetika-beba", koja osobu uvodi u svijet brojeva u obliku brojeva u ranom djetinjstvu.
Viša aritmetika je deduktivna nauka koja proučava zakone aritmetike. Većinu njih poznajemo, iako možda ne znamo njihovu tačnu formulaciju.
Zakon sabiranja i množenja
Dva bilo koja prirodna broja a i b mogu se izraziti kao zbir a+b, koji će također biti prirodan broj. Sljedeći zakoni se primjenjuju na sabiranje:
- komutativno, što kaže da se zbir ne mijenja preuređivanjem termina, ili a+b=b+a.
- Asocijativno, što kaže da zbir ne zavisi od načina na koji su pojmovi grupisani po mestima, ili a+(b+c)=(a+ b)+ c.
Pravila aritmetike, kao što je sabiranje, spadaju među najelementarnije, ali ih koriste sve nauke, a da ne spominjemo svakodnevni život.
Dva bilo koja prirodna broja a i b mogu se izraziti kao proizvod ab ili ab, koji je takođe prirodan broj. Za proizvod vrijede isti komutativni i asocijativni zakoni kao i za sabiranje:
- ab=b a;
- a(bc)=(a b) c.
Pitam seda postoji zakon koji ujedinjuje sabiranje i množenje, koji se naziva i distributivni ili distributivni zakon:
a(b+c)=ab+ac
Ovaj zakon nas zapravo uči da radimo sa zagradama tako što ih proširujemo, tako da možemo raditi sa složenijim formulama. Ovo su zakoni koji će nas voditi kroz bizaran i složen svijet algebre.
Zakon aritmetičkog reda
Zakon reda koristi ljudska logika svaki dan, poredeći satove i brojeći novčanice. I, ipak, treba ga formalizirati u obliku specifičnih formulacija.
Ako imamo dva prirodna broja a i b, tada su moguće sljedeće opcije:
- a jednako b, ili a=b;
- a je manje od b, ili a < b;
- a je veće od b, ili a > b.
Od tri opcije, samo jedna može biti poštena. Osnovni zakon koji reguliše poredak kaže: ako je a < b i b < c, onda a< c.
Postoje i zakoni koji se odnose na red množenja i sabiranja: ako je a< b, onda a + c < b+c i ac< bc.
Zakoni aritmetike nas uče da radimo sa brojevima, znakovima i zagradama, pretvarajući sve u harmoničnu simfoniju brojeva.
Pozicioni i nepozicioni račun
Može se reći da su brojevi matematički jezik, o čijoj praktičnosti mnogo zavisi. Postoji mnogo brojevnih sistema, koji se, poput alfabeta različitih jezika, međusobno razlikuju.
Razmotrimo sisteme brojeva sa stanovišta uticaja pozicije na kvantitativnu vrijednostbrojevi na ovoj poziciji. Tako je, na primjer, rimski sistem nepozicionalan, gdje je svaki broj kodiran određenim skupom specijalnih znakova: I/ V/ X/L/ C/ D/ M. Oni su jednaki brojevima 1. / 5/10/50/100/500/ 1000. U takvom sistemu broj ne mijenja svoju kvantitativnu definiciju u zavisnosti od toga na kojoj se poziciji nalazi: prvi, drugi itd. Da biste dobili druge brojeve, potrebno je sabrati osnovne. Na primjer:
- DCC=700.
- CCM=800.
Sistem brojeva koji nam je poznatiji koristeći arapske brojeve je pozicioni. U takvom sistemu cifra broja određuje broj cifara, na primjer, trocifrenih brojeva: 333, 567 itd. Težina bilo koje cifre zavisi od pozicije na kojoj se nalazi ova ili ona cifra, na primer, broj 8 na drugoj poziciji ima vrednost 80. Ovo je tipično za decimalni sistem, postoje i drugi pozicioni sistemi, npr., binarni.
Binarna aritmetika
Poznajemo decimalni sistem koji se sastoji od jednocifrenih i višecifrenih brojeva. Broj s lijeve strane višecifrenog broja je deset puta značajniji od onog s desne strane. Dakle, navikli smo čitati 2, 17, 467 itd. Odjeljak pod nazivom "binarna aritmetika" ima potpuno drugačiju logiku i pristup. To nije iznenađujuće, jer binarna aritmetika nije stvorena za ljudsku logiku, već za kompjutersku logiku. Ako je aritmetika brojeva nastala prebrojavanjem objekata, koje je dalje apstrahovano od svojstava objekta na "golu" aritmetiku, onda ovo neće raditi s računarom. Da biste mogli dijelitisa svojim znanjem o kompjuteru, osoba je morala da izmisli takav model računa.
Binarna aritmetika radi sa binarnim alfabetom, koji se sastoji od samo 0 i 1. A upotreba ove abecede se naziva binarnim sistemom.
Razlika između binarne i decimalne aritmetike je u tome što značajnost pozicije na lijevoj strani više nije 10, već 2 puta. Binarni brojevi su oblika 111, 1001 itd. Kako razumjeti takve brojeve? Dakle, uzmite u obzir broj 1100:
- Prva cifra lijevo je 18=8, sjetimo se da četvrtu cifru, što znači da je treba pomnožiti sa 2, dobijamo poziciju 8.
- Druga cifra 14=4 (pozicija 4).
- Treća cifra 02=0 (pozicija 2).
- Četvrta cifra 01=0 (pozicija 1).
- Dakle, naš broj je 1100=8+4+0+0=12.
To jest, kada se pređe na novu cifru sa leve strane, njegov značaj u binarnom sistemu se množi sa 2, au decimalnom - sa 10. Takav sistem ima jedan minus: preveliko je povećanje cifre koje su potrebne za pisanje brojeva. Primjeri predstavljanja decimalnih brojeva kao binarnih brojeva mogu se naći u sljedećoj tabeli.
Decimalni brojevi u binarnom obliku su prikazani ispod.
Takođe se koriste i oktalni i heksadecimalni sistemi.
Ova misteriozna aritmetika
Šta je aritmetika, "dvaput dva" ili neistražene misterije brojeva? Kao što vidite, aritmetika na prvi pogled može izgledati jednostavno, ali njena neočigledna lakoća je varljiva. Mogu ga učiti i djeca zajedno sa tetka Sova izcrtani film "Aritmetička beba" i možete se uroniti u duboko naučno istraživanje gotovo filozofskog reda. U istoriji je prešla put od brojanja predmeta do obožavanja ljepote brojeva. Samo jedno je sigurno poznato: uspostavljanjem osnovnih postulata aritmetike, sva nauka može da se osloni na svoje čvrsto rame.
