Definicija i veličina Grahamovog broja

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Zadnja izmjena: 2024-01-15 17:21

Na riječ "beskonačnost" svaka osoba ima svoje asocijacije. Mnogi u mašti crtaju more koje seže iza horizonta, dok drugi imaju pred očima sliku beskrajnog zvjezdanog neba. Matematičari, navikli da rade s brojevima, zamišljaju beskonačnost na potpuno drugačiji način. Vjekovima su pokušavali pronaći najveću od fizičkih veličina potrebnih za mjerenje. Jedan od njih je Grahamov broj. Koliko nula ima u njemu i čemu služi, ovaj članak će reći.

Beskonačno veliki broj

U matematici, ovo je naziv takve varijable x , ako se za bilo koji pozitivan broj M može specificirati prirodan broj N takav da je za sve brojeve n veće od N nejednakost |x _{| > M. Međutim, ne, na primjer, cijeli broj Z se može smatrati beskonačno velikim, jer će uvijek biti manji od (Z + 1).}

Par riječi o "divovima"

Najvećim brojevima koji imaju fizičko značenje smatraju se:

• 1080. Ovaj broj, koji se obično naziva quinquavigintilion, koristi se za označavanje približnog broja kvarkova i leptona (najmanjih čestica) u Univerzumu.
• 1 Google. Takav broj u decimalnom sistemu zapisuje se kao jedinica sa 100 nula. Prema nekim matematičkim modelima, od vremena velikog praska do eksplozije najmasovnije crne rupe trebalo bi da prođe od 1 do 1,5 googol godine, nakon čega će naš svemir preći u posljednju fazu svog postojanja, tj. pretpostavimo da ovaj broj ima određeno fizičko značenje.
• 8, 5 x 10¹⁸⁵. Plankova konstanta je 1,616199 x 10^-35 m, tj. u decimalnom zapisu izgleda kao 0,0000000000000000000000000000616199 m. Postoji oko 1 googol Planck dužina u inču. Procjenjuje se da oko 8,5 x 10^{185 Planck dužine mogu stati u cijeli naš svemir.}
• 2^{77 232 917} – 1. Ovo je najveći poznati prost broj. Ako njegova binarna notacija ima prilično kompaktan oblik, tada će mu trebati najmanje 13 miliona znakova da bi se prikazao u decimalnom obliku. Pronađen je 2017. godine kao dio projekta traženja Mersenneovih brojeva. Ako entuzijasti nastave raditi u ovom smjeru, tada na sadašnjem nivou razvoja računarske tehnologije, malo je vjerovatno da će u bliskoj budućnosti moći pronaći Mersenneov broj reda veličine veći od 2^{77 232 917- 1, iako takavsretni dobitnik će dobiti US$150,000.}
• Hugoplex. Ovdje samo uzimamo 1 i dodajemo nule iza njega u iznosu od 1 googol. Ovaj broj možete napisati kao 10^10^100. Nemoguće ga je predstaviti u decimalnom obliku, jer ako je čitav prostor Univerzuma ispunjen komadićima papira, na svakom od kojih bi bilo napisano 0 sa veličinom slova „Word“od 10, onda bi u ovom slučaju samo polovina sve 0 nakon 1 bi se dobilo za googolplex broj.
• 10^10^10^10^10^1.1. Ovo je broj koji pokazuje broj godina nakon kojih će se, prema Poincaréovom teoremu, naš Univerzum, kao rezultat slučajnih kvantnih fluktuacija, vratiti u stanje blisko današnjem.

Kako su nastali Grahamovi brojevi

Godine 1977., poznati popularizator nauke Martin Gardner objavio je članak u Scientific American-u o Grahamovom dokazu jednog od problema Ramzeove teorije. U njemu je granicu koju je postavio naučnik nazvao najvećim brojem ikada korištenim u ozbiljnom matematičkom rasuđivanju.

Ko je Ronald Lewis Graham

Naučnik, sada u svojim 80-im, rođen je u Kaliforniji. Godine 1962. dobio je doktorat iz matematike na Univerzitetu Berkeley. Radio je u Bell Labs-u 37 godina, a kasnije je prešao u AT&T Labs. Naučnik je aktivno sarađivao sa jednim od najvećih matematičara 20. veka, Palom Erdősom, i dobitnik je mnogih prestižnih nagrada. Grahamova naučna bibliografija sadrži više od 320 naučnih radova.

Sredinom 70-ih, naučnik je bio zainteresovan za problem povezan sa teorijomRamsey. U njegovom dokazu određena je gornja granica rješenja, što je vrlo veliki broj, naknadno nazvan po Ronaldu Grahamu.

Hypercube problem

Da biste razumjeli suštinu Grahamovog broja, prvo morate razumjeti kako je do njega došlo.

Naučnik i njegov kolega Bruce Rothschild rješavali su sljedeći problem:

Postoji n-dimenzionalna hiperkocka. Svi parovi njegovih vrhova su povezani na način da se dobije kompletan graf sa 2temena. Svaki od njegovih rubova obojen je plavom ili crvenom bojom. Bilo je potrebno pronaći minimalni broj vrhova koji hiperkocka treba da ima tako da svaka takva boja sadrži potpuni monokromatski podgraf sa 4 vrha koji leže u istoj ravni.

Odluka

Graham i Rothschild dokazali su da problem ima rješenje N' koje zadovoljava uvjet 6 ⩽ N' ⩽N gdje je N dobro definiran, vrlo veliki broj.

Donju granicu za N naknadno su precizirali drugi naučnici, koji su dokazali da N mora biti veće ili jednako 13. Tako je izraz za najmanji broj vrhova hiperkocke koji zadovoljava gore predstavljene uslove postao 13 ⩽ N'⩽ N.

Knuthova oznaka strelice

Pre definisanja Grahamovog broja, trebalo bi da se upoznate sa metodom njegovog simboličkog predstavljanja, jer ni decimalni ni binarni zapis nisu apsolutno prikladni za ovo.

Trenutno se Knuthova oznaka strelice koristi za predstavljanje ove količine. Prema njenim riječima:

ab=a "strelica gore" b.

Za operaciju višestruke eksponencijacije, uveden je unos:

a "strelica gore" "strelica gore" b=ab="kula koja se sastoji od a u količini od b komada."

A za pentaciju, tj. simboličko označavanje ponovljene eksponencijacije prethodnog operatora, Knuth je već koristio 3 strelice.

Koristeći ovu notaciju za Grahamov broj, imamo sekvence "strelice" ugniježđene jedna u drugu, u količini od 64 komada.

Scale

Njihov čuveni broj, koji uzbuđuje maštu i proširuje granice ljudske svijesti, odvodeći ga izvan granica svemira, Graham i njegove kolege su ga dobili kao gornju granicu za broj N u dokazu hiperkocke problem predstavljen gore. Izuzetno je teško za običnog čovjeka zamisliti koliki je njegov razmjer.

Pitanje broja znakova, ili kako se ponekad pogrešno kaže, nula u Grahamovom broju, zanima skoro svakoga ko prvi put čuje za ovu vrijednost.

Dovoljno je reći da imamo posla sa brzo rastućom sekvencom koja se sastoji od 64 člana. Čak je i njegov prvi pojam nemoguće zamisliti, budući da se sastoji od n "kula", koje se sastoje od 3-to. Već njegov "donji sprat" od 3 trojke je jednak 7.625.597.484.987, odnosno prelazi 7 milijardi, što će reći za 64. sprat (nije član!). Stoga je trenutno nemoguće tačno reći koji je Grahamov broj, jer nije dovoljno izračunati ga.kombinovana snaga svih kompjutera koji danas postoje na Zemlji.

Rekord slomljen?

U procesu dokazivanja Kruskalove teoreme, Grahamov broj je “zbačen sa pijedestala”. Naučnik je predložio sljedeći problem:

Postoji beskonačan niz konačnih stabala. Kruskal je dokazao da uvijek postoji dio nekog grafa, koji je i dio većeg grafa i njegova tačna kopija. Ova izjava ne izaziva nikakve sumnje, jer je očigledno da će uvijek postojati tačno ponavljajuća kombinacija u beskonačnosti

Kasnije, Harvey Friedman je donekle suzio ovaj problem razmatrajući samo takve acikličke grafove (stabla) da za određeni sa koeficijentom i postoji najviše (i + k) vrhova. Odlučio je da otkrije koliki bi trebao biti broj acikličkih grafova, kako bi ovom metodom njihovog zadatka uvijek bilo moguće pronaći podstablo koje bi bilo ugrađeno u drugo stablo.

Kao rezultat istraživanja ovog pitanja, ustanovljeno je da N, u zavisnosti od k, raste ogromnom brzinom. Konkretno, ako je k=1, onda je N=3. Međutim, kod k=2, N već dostiže 11. Najzanimljivije počinje kada je k=3. U ovom slučaju, N brzo "poleti" i dostiže vrijednost koja je mnogo puta veći od Grahamovog broja. Da biste zamislili koliko je velik, dovoljno je zapisati broj koji je izračunao Ronald Graham u obliku G64 (3). Tada će Friedman-Kruskal vrijednost (rev. FinKraskal(3)), biti reda G(G(187196)). Drugim riječima, dobija se megavrijednost, koja je beskonačno većanezamislivo veliki Grahamov broj. U isto vrijeme, čak i to će biti manje od beskonačnosti gigantski broj puta. Ima smisla govoriti o ovom konceptu detaljnije.

Beskonačnost

Sada kada smo objasnili šta je Grahamov broj na prstima, trebali bismo razumjeti značenje koje je bilo i koje se ulaže u ovaj filozofski koncept. Uostalom, "beskonačnost" i "beskonačno veliki broj" mogu se smatrati identičnima u određenom kontekstu.

Najveći doprinos proučavanju ovog pitanja dao je Aristotel. Veliki antički mislilac podijelio je beskonačnost na potencijalnu i stvarnu. Pod ovim drugim, on je mislio na realnost postojanja beskonačnih stvari.

Prema Aristotelu, izvori ideja o ovom fundamentalnom konceptu su:

• vrijeme;
• razdvajanje vrijednosti;
• koncept granice i postojanja nečega izvan nje;
• neiscrpnost kreativne prirode;
• razmišljanje da nema granica.

U modernoj interpretaciji beskonačnosti, ne možete odrediti kvantitativnu mjeru, tako da potraga za najvećim brojem može trajati zauvijek.

Zaključak

Mogu li se metafora "Pogled u beskonačnost" i Grahamov broj u nekom smislu smatrati sinonimima? Radije da i ne. Oboje je nemoguće zamisliti, čak i uz najjaču maštu. Međutim, kao što je već spomenuto, ne može se smatrati „najviše, najviše“. Druga stvar je da trenutno vrijednosti veće od Grahamovog broja nemaju utvrđenefizički osjećaj.

Takođe, nema svojstva beskonačnog broja, kao što je:

• ∞ + 1=∞;
• postoji beskonačan broj i neparnih i parnih brojeva;
• ∞ - 1=∞;
• broj neparnih brojeva je tačno polovina svih brojeva;
• ∞ + ∞=∞;
• ∞/2=∞.

Da rezimiramo: Grahamov broj je najveći broj u praksi matematičkog dokaza, prema Ginisovoj knjizi rekorda. Međutim, postoje brojevi koji su mnogo puta veći od ove vrijednosti.

Najvjerovatnije će u budućnosti postojati potreba za još većim "divovima", posebno ako osoba ode dalje od našeg Sunčevog sistema ili izmisli nešto nezamislivo na trenutnom nivou naše svijesti.