Logaritmi: primjeri i rješenja

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Zadnja izmjena: 2024-01-02 17:42

Kao što znate, kada se množe izrazi sa potenciranjima, njihovi eksponenti se uvijek sabiraju (a^ba^c=a^{b+ c). Ovaj matematički zakon je izveo Arhimed, a kasnije, u 8. veku, matematičar Virasen je napravio tabelu celobrojnih indikatora. Upravo su oni poslužili za dalje otkrivanje logaritama. Primjeri korištenja ove funkcije mogu se naći gotovo svugdje gdje je potrebno pojednostaviti glomazno množenje na jednostavno sabiranje. Ako odvojite 10 minuta čitajući ovaj članak, objasnit ćemo vam šta su logaritmi i kako s njima raditi. Jednostavan i pristupačan jezik.}

Definicija u matematici

Logaritam je izraz sljedećeg oblika: log_ab=c c" u koji trebate podići bazu "a" da biste konačno dobili vrijednost " b". Analizirajmo logaritam koristeći primjere, recimo da postoji izraz log_{28. Kako pronaći odgovor? Vrlo je jednostavno, potrebno je pronaći takav stepen da od 2 do traženog stepena dobijete 8. Nakon nekoliko proračuna u svom umu, dobili smo broj 3! I istina je, jer2 podignuto na stepen 3 daje odgovor 8.}

Varieti logaritama

Za mnoge učenike i studente ova tema se čini komplikovanom i nerazumljivom, ali u stvari, logaritmi nisu toliko strašni, najvažnije je razumjeti njihovo općenito značenje i zapamtiti njihova svojstva i neka pravila. Postoje tri različite vrste logaritamskih izraza:

1. Prirodni logaritam ln a, gdje je osnova Ojlerov broj (e=2, 7).
2. Decimalni logaritam lg a, gdje je osnova broj 10.
3. Logaritam bilo kojeg broja b na osnovu a>1.

Svaki od njih se rješava na standardni način, uključujući pojednostavljenje, redukciju i naknadno svođenje na jedan logaritam korištenjem logaritamskih teorema. Da biste dobili tačne vrijednosti logaritama, treba zapamtiti njihova svojstva i redoslijed radnji u njihovom rješavanju.

Pravila i neka ograničenja

U matematici postoji nekoliko pravila-ograničenja koja su prihvaćena kao aksiom, odnosno o njima se ne može pregovarati i istinita su. Na primjer, nemoguće je podijeliti brojeve sa nulom, a također je nemoguće uzeti paran korijen iz negativnih brojeva. Logaritmi također imaju svoja pravila, slijedeći koja možete lako naučiti kako raditi čak i sa dugim i prostranim logaritamskim izrazima:

• osnova "a" uvijek mora biti veća od nule, a u isto vrijeme ne mora biti jednaka 1, inače će izraz izgubiti značenje, jer su "1" i "0" u bilo kojem stepenu uvijek jednaka njihovim vrijednostima;
• ako je > 0, onda ab>0,ispostavilo se da "c" također mora biti veće od nule.

Kako riješiti logaritme?

Na primjer, dali smo zadatak da nađemo odgovor na jednačinu 10^x=100. Vrlo je lako, potrebno je izabrati takvu snagu, podižući broj deset, mi dobiti 100. Ovo, naravno, pa kvadratna snaga! 10^2=100.

Sada predstavimo ovaj izraz kao logaritamski. Dobijamo log_{10100=2. Prilikom rješavanja logaritama, sve akcije se praktično konvergiraju ka pronalaženju stepena u koji se mora unijeti baza logaritma da bi se dobio dati broj.}

Da biste precizno odredili vrijednost nepoznatog stepena, morate naučiti kako raditi s tablicom stupnjeva. To izgleda ovako:

Kao što vidite, neki eksponenti se mogu pogoditi intuitivno ako imate tehnički način razmišljanja i poznavanje tablice množenja. Međutim, veće vrijednosti će zahtijevati tablicu snage. Mogu ga koristiti čak i oni koji ne razumiju ništa u složenim matematičkim temama. Lijeva kolona sadrži brojeve (osnova a), gornji red brojeva je vrijednost stepena c, na koji se podiže broj a. Na raskrsnici ćelije definiraju vrijednosti brojeva koji su odgovor (ac=b). Uzmimo, na primjer, prvu ćeliju sa brojem 10 i kvadriramo je, dobićemo vrijednost 100, koja je naznačena na sjecištu naše dvije ćelije. Sve je tako jednostavno i lako da će čak i najpravi humanista razumjeti!

Jednačine i nejednačine

Ispostavilo se da kadaPod određenim uslovima, eksponent je logaritam. Stoga se bilo koji matematički numerički izrazi mogu zapisati kao logaritamska jednačina. Na primjer, 3⁴=81 može se napisati kao logaritam od 81 do baze 3, što je četiri (log₃81=4). Za negativne stepene, pravila su ista: 2^-5=1/32 napisano kao logaritam, dobijamo log_{2 (1/32)=-5. Jedna od najfascinantnijih sekcija matematike je tema "logaritma". Razmotrit ćemo primjere i rješenja jednadžbi malo niže, odmah nakon proučavanja njihovih svojstava. Za sada, pogledajmo kako izgledaju nejednakosti i kako ih razlikovati od jednačina.}

Dat je sljedeći izraz: log_{2(x-1) > 3 - to je logaritamska nejednakost, jer je nepoznata vrijednost "x" pod znakom logaritam. Izraz također upoređuje dvije vrijednosti: logaritam osnove dva željenog broja je veći od broja tri.}

Najvažnija razlika između logaritamskih jednačina i nejednačina je da jednačine sa logaritmima (primjer - logaritam₂x=√9) _{podrazumijevaju u odgovoru jedna ili više specifičnih numeričkih vrijednosti, dok se pri rješavanju nejednakosti određuju i raspon prihvatljivih vrijednosti i granične tačke ove funkcije. Kao rezultat toga, odgovor nije jednostavan skup pojedinačnih brojeva, kao u odgovoru jednadžbe, već kontinuirani niz ili skup brojeva.}

Osnovne teoreme o logaritmima

Kada rješavate primitivne zadatke za pronalaženje vrijednosti logaritma, možda nećete znati njegova svojstva. Međutim, kada su u pitanju logaritamske jednačine ili nejednačine, prije svega je potrebno jasno razumjeti i primijeniti u praksi sva osnovna svojstva logaritama. Kasnije ćemo se upoznati sa primjerima jednačina, hajde da prvo analiziramo svako svojstvo detaljnije.

1. Osnovni identitet izgleda ovako: alogaB=B. Primjenjuje se samo ako je a veće od 0, nije jednako jedan, a B veće od nule.
2. Logaritam proizvoda može se predstaviti u sljedećoj formuli: log_d(s₁s_2)=logd_s1 _{+ log}d_s2. _{U ovom slučaju, obavezan uslov je: d, s}1 _{i s}2 _{> 0; a≠1. Možete dati dokaz za ovu formulu logaritama, sa primjerima i rješenjem. Neka log}a_s1 _=f1 _{i log}a_s 2_=f2_{, zatim a}f1^=s1_{, a} f2^=s2. _{Dobili smo to s}1_s2 _=af1^a f2^=af1+f2 ^{(osobine stepena), i dalje po definiciji: log}a_(s1 _s2_)=f1_{+ f}2_=log a_{s1 + log}a_s2, _{što je trebalo dokazati.}
3. Logaritam količnika izgleda ovako: log_a(s_1/s₂)=log _as₁- log_a2.2.
4. Teorema u obliku formule ima sljedeći oblik: log_a^qbⁿ =n/q log_ab.

Ova formula se naziva "osobina stepena logaritma". Podsjeća na svojstva običnih stupnjeva, i nije iznenađujuće, jer sva matematika počiva na redovnim postulatima. Pogledajmo dokaz.

Neka log_ab=t, dobijamo a^t=b. Ako podignete obje strane na m potenciju: a^tn=b^;

ali zato što a^tn=(a^q)^nt/q=b ^{, dakle log}aq _bn=(nt)/t, zatim log^a_q b_n=n/q log^ab. Teorem dokazan.

Primjeri problema i nejednakosti

Najčešći tipovi logaritamskih problema su primjeri jednačina i nejednačina. Nalaze se u gotovo svim problemskim knjigama, a uključeni su i u obavezni dio ispita iz matematike. Da biste upisali fakultet ili položili prijemni ispit iz matematike, morate znati kako pravilno riješiti takve probleme.

Nažalost, ne postoji jedinstveni plan ili shema za rješavanje i određivanje nepoznate vrijednosti logaritma, ali se određena pravila mogu primijeniti na svaku matematičku nejednakost ili logaritamsku jednačinu. Prije svega, trebali biste saznati može li se izraz pojednostaviti ili svesti na opći oblik. Duge logaritamske izraze možete pojednostaviti ako pravilno koristite njihova svojstva. Upoznajmo ih uskoro.

Prilikom rješavanja logaritamskih jednačina,potrebno je odrediti kakav logaritam imamo pred sobom: primjer izraza može sadržavati prirodni logaritam ili decimalni.

Evo primjera decimalnih logaritama: ln100, ln1026. Njihovo rješenje se svodi na činjenicu da trebate odrediti stupanj do kojeg će baza 10 biti jednaka 100 i 1026, respektivno. Za rješenja prirodnih logaritama moraju se primijeniti logaritamski identiteti ili njihova svojstva. Pogledajmo primjere rješavanja logaritamskih problema različitih tipova.

Kako koristiti logaritamske formule: sa primjerima i rješenjima

Dakle, pogledajmo primjere korištenja glavnih teorema o logaritmima.

1. Svojstvo logaritma proizvoda može se koristiti u zadacima gdje je potrebno rastaviti veliku vrijednost broja b na jednostavnije faktore. Na primjer, log₂4 + log₂128=log₂(4128)=log_{2512. Odgovor je 9.}
2. log₄8=log_2² 2³ =3/2 log_{22=1, 5 - kao što vidite, primjenom četvrtog svojstva stepena logaritma uspjeli smo riješiti na prvi pogled složen i nerješiv izraz. Sve što treba da uradite je da faktorišete bazu, a zatim izvadite stepen iz predznaka logaritma.}

Zadaci sa ispita

Logaritmi se često nalaze na prijemnim ispitima, posebno puno logaritamskih problema na Jedinstvenom državnom ispitu (državni ispit za sve maturante). Obično su ovi zadaci prisutni ne samo u dijelu A (najvišelaki probni dio ispita), ali i dio C (najteži i obimniji zadaci). Ispit zahtijeva tačno i savršeno poznavanje teme "Prirodni logaritmi".

Primjeri i rješenja problema preuzeti su iz službenih verzija ispita. Da vidimo kako se takvi zadaci rješavaju.

Dati log₂(2x-1)=4. Rješenje:

prepišite izraz, pojednostavljujući ga malo log_2(2x-1)=22^{, po definiciji logaritma dobijamo da je 2x-1=2}4^{, dakle 2x=17; x=8, 5.}

Slijedeći nekoliko smjernica, slijedeći koje možete lako riješiti sve jednadžbe koje sadrže izraze koji su pod znakom logaritma.

• Najbolje je sve logaritme svesti na istu bazu kako rješenje ne bi bilo glomazno i zbunjujuće.
• Svi izrazi pod predznakom logaritma su označeni kao pozitivni, tako da kada se množi eksponent izraza koji je pod znakom logaritma i kao njegova baza, izraz koji ostaje ispod logaritma mora biti pozitivan.