Jedna od najtežih i najnerazumljivijih tema univerzitetske matematike je integracija i diferencijalni račun. Morate znati i razumjeti ove koncepte, kao i biti u stanju da ih primijenite. Mnoge univerzitetske tehničke discipline vezane su za diferencijale i integrale.
Kratke informacije o jednačinama
Ove jednačine su jedan od najvažnijih matematičkih koncepata u obrazovnom sistemu. Diferencijalna jednadžba je jednadžba koja povezuje nezavisne varijable, funkciju koju treba pronaći i derivate te funkcije s varijablama za koje se pretpostavlja da su neovisne. Diferencijalni račun za pronalaženje funkcije jedne varijable naziva se običan. Ako željena funkcija zavisi od nekoliko varijabli, onda se govori o parcijalnim diferencijalnoj jednadžbi.
U stvari, pronalaženje određenog odgovora na jednadžbu svodi se na integraciju, a metoda rješenja je određena tipom jednačine.
jednačine prvog reda
Diferencijalna jednačina prvog reda je jednačina koja može opisati varijablu, željenu funkciju i njen prvi izvod. Takve jednadžbe se mogu dati u tri oblika: eksplicitni, implicitni, diferencijalni.
Koncepti potrebni za rješavanje
Početni uslov - postavljanje vrijednosti željene funkcije za datu vrijednost varijable koja je nezavisna.
Rješenje diferencijalne jednačine - bilo koja diferencijabilna funkcija, tačno zamijenjena u originalnu jednačinu, pretvara je u identično jednaku. Dobijeno rješenje, koje nije eksplicitno, je integral jednadžbe.
Opće rješenje diferencijalnih jednadžbi je funkcija y=y(x;C), koja može zadovoljiti sljedeće sudove:
- Funkcija može imati samo jednu proizvoljnu konstantu S.
- Rezultirajuća funkcija mora biti rješenje jednadžbe za bilo koju proizvoljnu vrijednost proizvoljne konstante.
- Sa datim početnim uvjetom, proizvoljna konstanta se može definirati na jedinstven način tako da će rezultirajuće određeno rješenje biti u skladu sa datim ranim početnim uvjetom.
U praksi se često koristi Cauchyjev problem - pronalaženje rješenja koje je posebno i može se uporediti sa uslovom postavljenim na početku.
Cauchyjeva teorema je teorema koja naglašava postojanje i jedinstvenost određenog rješenja u diferencijalnom računu.
Geometrijski smisao:
- Opće rješenje y=y(x;C)jednačina je ukupan broj integralnih krivulja.
- Diferencijalni račun vam omogućava da povežete koordinate tačke u ravni XOY i tangente povučene na integralnu krivu.
- Postavljanje početnog stanja znači postavljanje tačke na ravni.
- Da bi se riješio Cauchyjev problem znači da je iz cijelog skupa integralnih krivulja koje predstavljaju isto rješenje jednačine potrebno odabrati jedinu koja prolazi kroz jedinu moguću tačku.
- Ispunjenje uslova Cauchyjeve teoreme u tački znači da integralna kriva (štaviše, samo jedna) nužno prolazi kroz odabranu tačku u ravni.
jednačina odvojive varijable
Po definiciji, diferencijalna jednadžba je jednačina u kojoj njena desna strana opisuje ili se odražava kao proizvod (ponekad omjer) dvije funkcije, jedna ovisi samo o "x", a druga - samo o "y" ". Jasan primjer za ovu vrstu: y'=f1(x)f2(y).
Da biste riješili jednačine određenog oblika, prvo morate transformirati izvod y'=dy/dx. Zatim, manipuliranjem jednačinom, morate je dovesti u oblik u kojem možete integrirati dva dijela jednačine. Nakon potrebnih transformacija, integrišemo oba dela i pojednostavljujemo rezultat.
Homogene jednadžbe
Po definiciji, diferencijalna jednadžba se može nazvati homogenom ako ima sljedeći oblik: y'=g(y/x).
U ovom slučaju najčešće se koristi zamjena y/x=t(x).
Za rješavanje ovakvih jednačina potrebno je svesti homogenu jednačinu na oblik sa odvojivim varijablama. Da biste to učinili, morate izvršiti sljedeće operacije:
- Prikaz, koji izražava derivaciju originalne funkcije, iz bilo koje originalne funkcije kao nova jednačina.
- Sljedeći korak je transformacija rezultirajuće funkcije u oblik f(x;y)=g(y/x). Jednostavnijim riječima, učinite da jednačina sadrži samo omjer y/x i konstante.
- Napravite sljedeću zamjenu: y/x=t(x); y=t(x)x; y'=t'x + t. Izvršena zamjena će pomoći u podjeli varijabli u jednadžbi, postepeno dovodeći je do jednostavnijeg oblika.
Linearne jednačine
Definicija takvih jednačina je sljedeća: linearna diferencijalna jednačina je jednačina gdje je njena desna strana izražena kao linearni izraz u odnosu na originalnu funkciju. Željena funkcija u ovom slučaju: y'=a(x)y + b(x).
Preformulirajmo definiciju na sljedeći način: bilo koja jednačina prvog reda će postati linearna u svom obliku ako su originalna funkcija i njen derivat uključeni u jednačinu prvog stepena i ne pomnože se jedna s drugom. "Klasični oblik" linearne diferencijalne jednadžbe ima sljedeću strukturu: y' + P(x)y=Q(x).
Prije rješavanja takve jednačine, treba je pretvoriti u "klasični oblik". Sljedeći korak će biti izbor metode rješenja: Bernoullijeva ili Lagrangeova metoda.
Rješavanje jednačine sakorištenjem metode koju je uveo Bernoulli, podrazumijeva zamjenu i redukciju linearne diferencijalne jednadžbe na dvije jednačine sa zasebnim varijablama u odnosu na funkcije U(x) i V(x), koje su date u svom izvornom obliku.
Lagrangeova metoda je pronalaženje općeg rješenja originalne jednačine.
- Potrebno je pronaći isto rješenje homogene jednačine. Nakon pretraživanja, imamo funkciju y=y(x, C), gdje je C proizvoljna konstanta.
- Tražimo rješenje originalne jednačine u istom obliku, ali smatramo da je C=C(x). Zamijenimo funkciju y=y(x, C(x)) u originalnu jednačinu, pronađemo funkciju C(x) i zapišemo rješenje opće izvorne jednačine.
Bernoullijeva jednačina
Bernoullijeva jednadžba - ako desna strana računa ima oblik f(x;y)=a(x)y + b(x)yk, gdje je k bilo koja moguća racionalna numerička vrijednost, koja se ne uzima kao primjer slučaja kada je k=0 i k=1.
Ako je k=1, tada račun postaje odvojiv, a kada je k=0, jednačina ostaje linearna.
Razmotrimo opći slučaj rješavanja ove vrste jednadžbe. Imamo standardnu Bernoullijevu jednačinu. Mora se svesti na linearnu, za to trebate podijeliti jednačinu sa yk. Nakon ove operacije zamijenite z(x)=y1-k. Nakon niza transformacija, jednačina će se svesti na linearnu, najčešće metodom zamjene z=UV.
Jednačine u ukupnim diferencijalima
Definicija. Jednačina sa strukturom P(x;y)dx + Q(x;y)dy=0 naziva se jednačina u potpunostidiferencijali, ako je ispunjen sljedeći uvjet (u ovom uvjetu, "d" je parcijalni diferencijal): dP(x;y)/dy=dQ(x;y)/dx.
Sve diferencijalne jednadžbe prvog reda razmatrane ranije mogu se prikazati kao diferencijali.
Ovakvi proračuni se rješavaju na nekoliko načina. Ali, međutim, svi oni počinju provjerom stanja. Ako je uslov zadovoljen, tada je krajnje lijevo područje jednadžbe ukupni diferencijal još nepoznate funkcije U(x;y). Tada će, u skladu s jednadžbom, dU (x; y) biti jednak nuli, pa će stoga isti integral jednadžbe u ukupnim diferencijalima biti prikazan u obliku U (x; y) u003d C. Dakle, rješenje jednadžbe se svodi na nalaženje funkcije U (x; y).
Integrirajući faktor
Ako uslov dP(x;y)/dy=dQ(x;y)/dx nije zadovoljen u jednačini, onda jednačina nema oblik koji smo razmatrali gore. Ali ponekad je moguće izabrati neku funkciju M(x;y), kada se pomnoži sa kojom jednačina poprima oblik jednačine u punom "diffursu". Funkcija M (x;y) se naziva integrirajući faktor.
Integrator se može naći samo kada postane funkcija samo jedne varijable.
