Mislim da bismo trebali početi s istorijom tako veličanstvenog matematičkog alata kao što su diferencijalne jednačine. Kao i svaki diferencijalni i integralni račun, ove jednačine je izmislio Njutn krajem 17. veka. Upravo ovo svoje otkriće smatrao je toliko važnim da je čak i šifrirao poruku, koja se danas može prevesti otprilike ovako: "Svi zakoni prirode su opisani diferencijalnim jednadžbama." Ovo može izgledati kao preterivanje, ali je istina. Bilo koji zakon fizike, hemije, biologije može se opisati ovim jednačinama.
Matematičari Euler i Lagrange dali su ogroman doprinos razvoju i stvaranju teorije diferencijalnih jednačina. Već u 18. veku otkrili su i razvili ono što sada uče na višim univerzitetskim kursevima.
Nova prekretnica u proučavanju diferencijalnih jednačina započela je zahvaljujući Henriju Poincareu. Stvorio je "kvalitativnu teoriju diferencijalnih jednadžbi", koja je u kombinaciji sa teorijom funkcija kompleksne varijable dala značajan doprinos temeljima topologije - nauke o prostoru i njegovomsvojstva.
Šta su diferencijalne jednadžbe?
Mnogi ljudi se plaše jedne fraze "diferencijalna jednačina". Međutim, u ovom članku ćemo detaljno opisati suštinu ovog vrlo korisnog matematičkog aparata, koji zapravo i nije tako kompliciran kao što se čini iz naziva. Da biste započeli razgovor o diferencijalnim jednadžbama prvog reda, prvo biste se trebali upoznati s osnovnim konceptima koji su inherentno povezani s ovom definicijom. I počet ćemo s diferencijalom.
Diferencijal
Mnogi poznaju ovaj koncept iz škole. Međutim, hajde da to pobliže pogledamo. Zamislite graf funkcije. Možemo ga povećati do te mjere da će bilo koji njegov segment poprimiti oblik prave linije. Na njemu uzimamo dvije tačke koje su beskonačno bliske jedna drugoj. Razlika između njihovih koordinata (x ili y) bit će beskonačno mala vrijednost. Zove se diferencijal i označava se znakovima dy (diferencijal od y) i dx (diferencijal od x). Vrlo je važno shvatiti da diferencijal nije konačna vrijednost, i to je njegovo značenje i glavna funkcija.
A sada trebamo razmotriti sljedeći element, koji će nam biti od koristi u objašnjavanju koncepta diferencijalne jednadžbe. Ovo je derivat.
Derivat
Verovatno smo svi čuli u školi za ovaj koncept. Za derivaciju se kaže da je stopa rasta ili smanjenja funkcije. Međutim, iz ove definicijemnogo toga postaje nejasno. Pokušajmo objasniti izvod u terminima diferencijala. Vratimo se na infinitezimalni segment funkcije sa dvije tačke koje su jedna od druge na minimalnoj udaljenosti. Ali čak i za ovu udaljenost, funkcija se uspijeva promijeniti za određenu količinu. I da bi opisali ovu promjenu, došli su do izvoda, koji se inače može napisati kao omjer diferencijala: f(x)'=df/dx.
Sada vrijedi razmotriti osnovna svojstva izvedenice. Ima ih samo tri:
- Izvod zbira ili razlike može se predstaviti kao zbir ili razlika derivata: (a+b)'=a'+b' i (a-b)'=a'-b'.
- Drugo svojstvo se odnosi na množenje. Derivat proizvoda je zbir proizvoda jedne funkcije i derivacije druge: (ab)'=a'b+ab'.
- Izvod razlike se može napisati kao sljedeća jednakost: (a/b)'=(a'b-ab')/b2.
Sva ova svojstva bit će korisna za pronalaženje rješenja diferencijalnih jednačina prvog reda.
Postoje i parcijalni derivati. Recimo da imamo funkciju z koja zavisi od varijabli x i y. Da bismo izračunali parcijalni izvod ove funkcije, recimo, u odnosu na x, moramo uzeti varijablu y kao konstantu i jednostavno razlikovati.
Integral
Još jedan važan koncept je integral. Zapravo, ovo je direktna suprotnost izvedenice. Postoji nekoliko vrsta integrala, ali da bismo riješili najjednostavnije diferencijalne jednadžbe, potrebni su nam najtrivijalniji neodređeni integrali.
Pa šta je integral? Recimo da imamo neku zavisnost fod x. Od njega uzimamo integral i dobijamo funkciju F (x) (koja se često naziva antiderivatom), čiji je izvod jednak originalnoj funkciji. Dakle, F(x)'=f(x). Iz ovoga također slijedi da je integral derivacije jednak originalnoj funkciji.
Prilikom rješavanja diferencijalnih jednadžbi, vrlo je važno razumjeti značenje i funkciju integrala, jer ćete ih morati često uzimati da biste pronašli rješenje.
Jednačine se razlikuju ovisno o njihovoj prirodi. U sljedećem dijelu ćemo razmotriti tipove diferencijalnih jednadžbi prvog reda, a zatim naučiti kako ih riješiti.
Klase diferencijalnih jednadžbi
"Diffury" su podijeljeni prema redoslijedu izvedenica uključenih u njih. Dakle, postoji prvi, drugi, treći i više reda. Također se mogu podijeliti u nekoliko klasa: obične i parcijalne derivate.
U ovom članku ćemo razmotriti obične diferencijalne jednadžbe prvog reda. Također ćemo raspravljati o primjerima i načinima njihovog rješavanja u sljedećim odjeljcima. Razmotrit ćemo samo ODE, jer su to najčešći tipovi jednačina. Obične se dijele na podvrste: sa odvojivim varijablama, homogene i heterogene. Zatim ćete naučiti po čemu se razlikuju jedni od drugih i naučiti kako ih riješiti.
Osim toga, ove jednačine se mogu kombinovati, tako da nakon toga dobijemo sistem diferencijalnih jednačina prvog reda. Takođe ćemo razmotriti takve sisteme i naučiti kako ih riješiti.
Zašto razmatramo samo prvu narudžbu? Zato što trebate početi s jednostavnim, i opisati sve što se odnosi na diferencijaljednadžbe, u jednom članku jednostavno nemoguće.
Odvojive jednadžbe varijable
Ovo su možda najjednostavnije diferencijalne jednadžbe prvog reda. Ovo uključuje primjere koji se mogu napisati ovako: y'=f(x)f(y). Da bismo riješili ovu jednačinu, potrebna nam je formula za predstavljanje derivacije kao omjera diferencijala: y'=dy/dx. Koristeći je, dobijamo sljedeću jednačinu: dy/dx=f(x)f(y). Sada možemo da pređemo na metodu rešavanja standardnih primera: podelićemo varijable na delove, odnosno sve sa promenljivom y prenećemo na deo gde se nalazi dy, a isto ćemo uraditi i sa promenljivom x. Dobijamo jednačinu oblika: dy/f(y)=f(x)dx, koja se rješava uzimanjem integrala oba dijela. Ne zaboravite na konstantu koja se mora postaviti nakon uzimanja integrala.
Rješenje bilo koje "difurance" je funkcija zavisnosti x od y (u našem slučaju) ili, ako postoji numerički uslov, onda je odgovor u obliku broja. Analizirajmo cijeli tok rješenja koristeći konkretan primjer:
y'=2ysin(x)
Pomjerite varijable u različitim smjerovima:
dy/y=2sin(x)dx
Sada uzimamo integrale. Svi se oni mogu naći u posebnoj tabeli integrala. I dobijamo:
ln(y)=-2cos(x) + C
Ako je potrebno, možemo izraziti "y" kao funkciju "x". Sada možemo reći da je naša diferencijalna jednadžba riješena ako nije zadan nijedan uslov. Uslov se može dati, na primjer, y(n/2)=e. Zatim jednostavno zamjenjujemo vrijednost ovih varijabli u rješenje ipronađite vrijednost konstante. U našem primjeru, to je jednako 1.
Homogene diferencijalne jednadžbe prvog reda
Sada na teži dio. Homogene diferencijalne jednadžbe prvog reda mogu se napisati u opštem obliku na sljedeći način: y'=z(x, y). Treba napomenuti da je desna funkcija dvije varijable homogena i ne može se podijeliti na dvije zavisnosti: z na x i z na y. Provjera da li je jednadžba homogena ili ne je prilično jednostavna: vršimo zamjenu x=kx i y=ky. Sada poništavamo sve k. Ako se sva ova slova svedu, onda je jednadžba homogena i možete bezbedno nastaviti da je rešavate. Gledajući unaprijed, recimo: princip rješavanja ovih primjera je također vrlo jednostavan.
Moramo izvršiti zamjenu: y=t(x)x, gdje je t neka funkcija koja također zavisi od x. Tada možemo izraziti izvod: y'=t'(x)x+t. Zamjenjujući sve ovo u našu originalnu jednačinu i pojednostavljujući je, dobivamo primjer sa odvojivim varijablama t i x. Rješavamo to i dobijamo zavisnost t(x). Kada ga dobijemo, jednostavno zamjenjujemo y=t(x)x u našu prethodnu zamjenu. Tada dobijamo zavisnost y od x.
Da bude jasnije, pogledajmo primjer: xy'=y-xey/x.
Prilikom provjere sa zamjenom, sve se smanjuje. Dakle, jednačina je zaista homogena. Sada pravimo još jednu zamjenu o kojoj smo pričali: y=t(x)x i y'=t'(x)x+t(x). Nakon pojednostavljenja, dobijamo sljedeću jednačinu: t'(x)x=-et. Rezultirajući primjer rješavamo sa odvojenim varijablama i dobijamo: e-t=ln(Cx). Trebamo samo zamijeniti t sa y/x (na kraju krajeva, ako je y=tx, onda je t=y/x), i dobićemoodgovor: e-y/x=ln(xC).
Linearne diferencijalne jednadžbe prvog reda
Vrijeme je za još jednu veliku temu. Analiziraćemo nehomogene diferencijalne jednadžbe prvog reda. Po čemu se razlikuju od prethodna dva? Hajde da to shvatimo. Linearne diferencijalne jednadžbe prvog reda u opštem obliku mogu se napisati na sljedeći način: y' + g(x)y=z(x). Vrijedi pojasniti da z(x) i g(x) mogu biti konstante.
A sada primjer: y' - yx=x2.
Postoje dva načina da se to riješi, a oba ćemo se pozabaviti redom. Prva je metoda varijacije proizvoljnih konstanti.
Da biste riješili jednačinu na ovaj način, prvo morate izjednačiti desnu stranu sa nulom i riješiti rezultirajuću jednačinu, koja će nakon pomicanja dijelova imati oblik:
y'=yx;
dy/dx=yx;
dy/y=xdx;
ln|y|=x2/2 + C;
y=ex2/2yC=C1ex2/2.
Sada moramo zamijeniti konstantu C1 sa funkcijom v(x) koju moramo pronaći.
y=vex2/2.
Promijenimo izvedenicu:
y'=v'ex2/2-xvex2/2.
I zamijenite ove izraze u originalnu jednačinu:
v'ex2/2 - xvex2/2 + xvex2 /2 =x2.
Možete vidjeti da se dva termina poništavaju na lijevoj strani. Ako se u nekom primjeru to nije dogodilo, onda ste nešto pogriješili. Nastavite:
v'ex2/2 =x2.
Sada rješavamo uobičajenu jednačinu u kojoj trebamo odvojiti varijable:
dv/dx=x2/ex2/2;
dv=x2e-x2/2dx.
Da bismo izdvojili integral, ovdje moramo primijeniti integraciju po dijelovima. Međutim, ovo nije tema našeg članka. Ako ste zainteresirani, možete naučiti kako sami izvoditi takve radnje. Nije teško, a uz dovoljno vještine i pažnje ne treba puno vremena.
Okrenimo se drugoj metodi rješavanja nehomogenih jednačina: Bernoullijevoj metodi. Koji pristup je brži i lakši zavisi od vas.
Dakle, kada rješavamo jednačinu ovom metodom, moramo napraviti zamjenu: y=kn. Ovdje su k i n neke funkcije zavisne od x. Tada će derivat izgledati ovako: y'=k'n+kn'. Zamijenite obje zamjene u jednadžbu:
k'n+kn'+xkn=x2.
Grupa:
k'n+k(n'+xn)=x2.
Sada moramo izjednačiti sa nulom ono što je u zagradama. Sada, ako kombinujete dvije rezultirajuće jednadžbe, dobit ćete sistem diferencijalnih jednadžbi prvog reda koje trebate riješiti:
n'+xn=0;
k'n=x2.
Prva jednakost se rješava kao normalna jednačina. Da biste to učinili, morate odvojiti varijable:
dn/dx=xv;
dn/n=xdx.
Uzmite integral i dobijete: ln(n)=x2/2. Zatim, ako izrazimo n:
n=ex2/2.
Sada zamjenjujemo rezultirajuću jednakost u drugu jednačinu sistema:
k'ex2/2=x2.
I transformacijom, dobijamo istu jednakost kao u prvoj metodi:
dk=x2/ex2/2.
Nećemo ići u dalje korake. Vrijedi reći da u početku rješavanje diferencijalnih jednadžbi prvog reda izaziva značajne poteškoće. Međutim, kako dublje zaronite u temu, postaje sve bolje i bolje.
Gdje se koriste diferencijalne jednadžbe?
Diferencijalne jednadžbe se vrlo aktivno koriste u fizici, jer su gotovo svi osnovni zakoni napisani u diferencijalnom obliku, a formule koje vidimo su rješenja ovih jednačina. U hemiji se koriste iz istog razloga: iz njih su izvedeni osnovni zakoni. U biologiji se diferencijalne jednadžbe koriste za modeliranje ponašanja sistema, kao što je grabežljivac-plijen. Mogu se koristiti i za kreiranje modela reprodukcije, recimo, kolonije mikroorganizama.
Kako će diferencijalne jednadžbe pomoći u životu?
Odgovor na ovo pitanje je jednostavan: nema šanse. Ako niste naučnik ili inženjer, malo je vjerovatno da će vam oni biti korisni. Međutim, za opći razvoj nije štetno znati šta je diferencijalna jednačina i kako se ona rješava. I onda pitanje sina ili kćeri "šta je diferencijalna jednačina?" neće vas zbuniti. Pa, ako ste naučnik ili inženjer, onda i sami shvatate važnost ove teme u bilo kojoj nauci. Ali najvažnije je da se sada postavlja pitanje "kako riješiti diferencijalnu jednačinu prvog reda?" uvek možete odgovoriti. Slažem se, uvijek je lijepokada shvatiš ono što se ljudi čak i boje razumjeti.
Glavni problemi u učenju
Glavni problem u razumijevanju ove teme je slaba vještina integracije i razlikovanja funkcija. Ako ste loši u uzimanju izvoda i integrala, onda bi vjerovatno trebali naučiti više, savladati različite metode integracije i diferencijacije, pa tek onda početi proučavati materijal koji je opisan u članku.
Neki se iznenade kada saznaju da se dx može prenijeti, jer se ranije (u školi) govorilo da je razlomak dy/dx nedjeljiv. Ovdje morate pročitati literaturu o izvodu i shvatiti da je to omjer beskonačno malih veličina kojima se može manipulirati prilikom rješavanja jednačina.
Mnogi ne shvaćaju odmah da je rješenje diferencijalnih jednadžbi prvog reda često funkcija ili integral koji se ne može uzeti, a ova zabluda im zadaje mnogo problema.
Šta se još može proučavati radi boljeg razumijevanja?
Najbolje je započeti dalje uranjanje u svijet diferencijalnog računa sa specijalizovanim udžbenicima, na primjer, u račun za studente nematematičkih specijalnosti. Zatim možete preći na specijalizovaniju literaturu.
Treba reći da, pored diferencijalnih jednačina, postoje i integralne jednačine, tako da ćete uvijek imati čemu težiti i čemu proučavati.
Zaključak
Nadamo se da nakon čitanjaOvaj članak vam je dao ideju o tome šta su diferencijalne jednadžbe i kako ih ispravno riješiti.
U svakom slučaju, matematika će nam nekako biti od koristi u životu. Razvija logiku i pažnju, bez kojih je svaka osoba kao bez ruku.
