U matematici i obradi, koncept analitičkog signala (skraćeno - C, AC) je složena funkcija koja nema negativne frekvencijske komponente. Stvarni i imaginarni dijelovi ovog fenomena su stvarne funkcije povezane jedna s drugom Hilbertovom transformacijom. Analitički signal je prilično česta pojava u hemiji, čija je suština slična matematičkoj definiciji ovog koncepta.
Nastupi
Analitički prikaz realne funkcije je analitički signal koji sadrži originalnu funkciju i njenu Hilbertovu transformaciju. Ova reprezentacija olakšava mnoge matematičke manipulacije. Glavna ideja je da su negativne frekvencijske komponente Fourierove transformacije (ili spektra) realne funkcije suvišne zbog Hermitove simetrije takvog spektra. Ove negativne frekvencijske komponente se mogu odbaciti bez njihgubitak informacija, pod uslovom da umjesto toga želite da se bavite složenom funkcijom. Ovo čini određene atribute karakteristika pristupačnijim i olakšava izvođenje tehnika modulacije i demodulacije kao što je SSB.
Negativne komponente
Sve dok funkcija kojom se manipuliše nema negativne frekvencijske komponente (tj. i dalje je analitička), pretvaranje iz kompleksnog nazad u realno je jednostavno pitanje odbacivanja imaginarnog dijela. Analitička reprezentacija je generalizacija koncepta vektora: dok je vektor ograničen na vremenski nepromjenjivu amplitudu, fazu i frekvenciju, kvalitativna analiza analitičkog signala dozvoljava parametre koji variraju u vremenu.
Trenutna amplituda, trenutna faza i frekvencija se koriste u nekim aplikacijama za mjerenje i otkrivanje lokalnih karakteristika C. Druga primjena analitičke reprezentacije odnosi se na demodulaciju moduliranih signala. Polarne koordinate prikladno razdvajaju efekte AM i fazne (ili frekvencijske) modulacije i efektivno demoduliraju određene vrste.
Tada jednostavan niskopropusni filter sa realnim koeficijentima može odsjeći dio od interesa. Drugi motiv je smanjenje maksimalne frekvencije, što smanjuje minimalnu frekvenciju za ne-alias uzorkovanje. Frekvencijski pomak ne potkopava matematičku korisnost reprezentacije. Dakle, u ovom smislu, downconverted je i dalje analitičan. Međutim, obnova stvarne reprezentacijeviše nije jednostavna stvar jednostavnog izdvajanja prave komponente. Može biti potrebna konverzija naviše, a ako se signal uzorkuje (diskretno vrijeme), interpolacija (upsampling) također može biti potrebna kako bi se izbjeglo aliasing.
Varijable
Koncept je dobro definisan za pojedinačne varijabilne pojave, koje su obično privremene. Ova temporalnost zbunjuje mnoge početnike matematičara. Za dvije ili više varijabli, analitički C se može definirati na različite načine, a dva pristupa su predstavljena u nastavku.
Pravi i imaginarni dijelovi ovog fenomena odgovaraju dva elementa monogenog signala vektorske vrijednosti, kako je definirano za slične fenomene s jednom promjenljivom. Međutim, monogena se može proširiti na proizvoljan broj varijabli na jednostavan način, stvarajući (n + 1)-dimenzionalnu vektorsku funkciju za slučaj n-varijabilnih signala.
Konverzija signala
Možete pretvoriti stvarni signal u analitički dodavanjem imaginarne (Q) komponente, što je Hilbertova transformacija stvarne komponente.
Usput, ovo nije novo u njegovoj digitalnoj obradi. Jedan od tradicionalnih načina za generiranje AM sa jednim bočnim pojasom (SSB), metoda faza, uključuje stvaranje signala generiranjem Hilbertove transformacije audio signala u analognoj mreži otpornik-kondenzator. Pošto ima samo pozitivne frekvencije, lako ga je pretvoriti u modulirani RF signal sa samo jednim bočnim pojasom.
Formule definicije
Analitički signalni izraz je holomorfna kompleksna funkcija definirana na granici gornje kompleksne poluravnine. Granica gornje poluravnine poklapa se sa slučajnim, pa je C dato preslikavanjem fa: R → C. Od sredine prošlog stoljeća, kada je Denis Gabor 1946. predložio da se ovaj fenomen koristi za proučavanje konstantne amplitude i faze, signal je našao mnoge primjene. Posebnost ovog fenomena je naglašena [Vak96], gdje je pokazano da samo kvalitativna analiza analitičkog signala odgovara fizičkim uslovima za amplitudu, fazu i frekvenciju..
Najnovija dostignuća
Tokom proteklih nekoliko decenija, postojalo je interesovanje za proučavanje signala u mnogim dimenzijama, motivisano problemima koji se javljaju u oblastima u rasponu od obrade slike/video do multidimenzionalnih oscilatornih procesa u fizici, kao što su seizmički, elektromagnetni i gravitacionim talasima. Općenito je prihvaćeno da se, kako bi se pravilno generalizirala analitička C (kvalitativna analiza) na slučaj nekoliko dimenzija, treba osloniti na algebarsku konstrukciju koja proširuje obične kompleksne brojeve na pogodan način. Takve konstrukcije se obično nazivaju hiperkompleksni brojevi [SKE].
Konačno, trebalo bi da bude moguće konstruisati hiperkompleksni analitički signal fh: Rd → S, gde je predstavljen neki opšti hiperkompleksni algebarski sistem, koji prirodno proširuje sva potrebna svojstva da bi se dobila trenutna amplituda ifaza.
Studij
Brojni radovi posvećeni su različitim pitanjima vezanim za ispravan izbor hiperkompleksnog brojevnog sistema, definiciju hiperkompleksne Fourierove transformacije i frakcione Hilbertove transformacije za proučavanje trenutne amplitude i faze. Većina ovog rada bila je zasnovana na svojstvima različitih prostora kao što su Cd, kvaternioni, Clearon algebre i Cayley-Dixon konstrukcije.
Dalje ćemo navesti samo neke od radova posvećenih proučavanju signala u mnogim dimenzijama. Koliko nam je poznato, prvi radovi na multivarijantnoj metodi su dobijeni početkom 1990-ih. To uključuje Ellov rad [Ell92] o hiperkompleksnim transformacijama; Bulowov rad na generalizaciji metode analitičke reakcije (analitičkog signala) na mnoga mjerenja [BS01] i rad Felsberga i Somera na monogenim signalima.
Dalji izgledi
Očekuje se da će signal hiperkompleksa proširiti sva korisna svojstva koja imamo u 1D slučaju. Prije svega, moramo biti u stanju izdvojiti i generalizirati trenutnu amplitudu i fazu na mjerenja. Drugo, Fourierov spektar kompleksnog analitičkog signala održava se samo na pozitivnim frekvencijama, tako da očekujemo da hiperkompleksna Fourierova transformacija ima svoj hipervalificirani spektar, koji će se održavati samo u nekom pozitivnom kvadrantu hiperkompleksnog prostora. Zato što je veoma važno.
Treće, konjugirajte dijelove kompleksnog konceptaanalitičkog signala odnose se na Hilbertovu transformaciju, i možemo očekivati da konjugirane komponente u hiperkompleksnom prostoru također moraju biti povezane s nekom kombinacijom Hilbertovih transformacija. I konačno, zaista, hiperkompleksni signal mora biti definiran kao produžetak neke hiperkompleksne holomorfne funkcije nekoliko hiperkompleksnih varijabli definiranih na granici nekog oblika u hiperkompleksnom prostoru.
Ova pitanja rješavamo uzastopnim redoslijedom. Prije svega, počinjemo gledanjem Fourierove integralne formule i pokazujemo da je Hilbertova transformacija u 1-D povezana s modificiranom Fourierovom integralnom formulom. Ova činjenica nam omogućava da definišemo trenutnu amplitudu, fazu i frekvenciju bez ikakvog pozivanja na hiperkompleksne sisteme brojeva i holomorfne funkcije.
Modifikacija integrala
Nastavljamo proširenjem modificirane Fourierove integralne formule na nekoliko dimenzija i određujemo sve potrebne fazno pomaknute komponente koje možemo prikupiti u trenutnu amplitudu i fazu. Drugo, prelazimo na pitanje postojanja holomorfnih funkcija nekoliko hiperkompleksnih varijabli. Nakon [Sch93] ispostavilo se da je komutativna i asocijativna hiperkompleksna algebra generirana skupom eliptičkih (e2i=−1) generatora pogodan prostor za život hiperkompleksnog analitičkog signala, takvu hiperkompleksnu algebru nazivamo Schaefersovim prostorom i označavamo toSd.
Dakle, hiperkompleks analitičkih signala je definiran kao holomorfna funkcija na granici polidiska / gornje polovice ravni u nekom hiperkompleksnom prostoru, koji nazivamo općim Schaefersovim prostorom i označavamo sa Sd. Zatim promatramo valjanost Cauchyjeve integralne formule za funkcije Sd → Sd, koje su izračunate preko hiperpovršine unutar polidiska u Sd i izvode odgovarajuće frakcijske Hilbertove transformacije koje povezuju hiperkompleksne konjugirane komponente. Konačno, ispada da je Fourierova transformacija sa vrijednostima u Schaefersovom prostoru podržana samo na nenegativnim frekvencijama. Zahvaljujući ovom članku, naučili ste šta je analitički signal.
