Kvadrične jednadžbe se često pojavljuju u brojnim problemima iz matematike i fizike, pa bi svaki učenik trebao biti u stanju da ih riješi. Ovaj članak detaljno opisuje glavne metode za rješavanje kvadratnih jednačina, a također daje primjere njihove upotrebe.
Koja se jednačina zove kvadratna
Prvo, odgovorit ćemo na pitanje iz ovog paragrafa kako bismo bolje razumjeli o čemu će članak biti. Dakle, kvadratna jednačina ima sljedeći opći oblik: c + bx+ax2=0, gdje su a, b, c neki brojevi, koji se nazivaju koeficijenti. Ovdje je a≠0 obavezan uslov, inače se navedena jednačina degeneriše u linearnu. Preostali koeficijenti (b, c) mogu imati apsolutno sve vrijednosti, uključujući nulu. Dakle, izrazi poput ax2=0, gdje je b=0 i c=0, ili c+ax2=0, gdje je b=0, ili bx+ax2=0, gdje su c=0 također kvadratne jednadžbe, koje se nazivaju nepotpune, jer je linearni koeficijent b u njima nula ili nulaje slobodan termin c, ili oba nestaju.
Jednačina u kojoj je a=1 naziva se redukovana, odnosno ima oblik: x2 + s/a + (b/a)x=0.
Rješenje kvadratne jednadžbe je pronaći takve x vrijednosti koje zadovoljavaju njenu jednakost. Ove vrijednosti se nazivaju korijeni. Pošto je jednačina koja se razmatra izraz drugog stepena, to znači da maksimalni broj njenih korijena ne može biti veći od dva.
Koje metode za rješavanje kvadratnih jednačina postoje
Uopšteno govoreći, postoje 4 metode rješenja. Njihova imena su navedena ispod:
- Faktoring.
- Dodatak na kvadrat.
- Korišćenje poznate formule (preko diskriminanta).
- Metoda rješenja je geometrijska.
Kao što možete vidjeti iz gornje liste, prve tri metode su algebarske, tako da se koriste češće od posljednje, koja uključuje crtanje funkcije.
Postoji još jedan način rješavanja kvadratnih jednačina korištenjem Vietine teoreme. Mogao bi biti uključen 5. na gornjoj listi, međutim, to nije učinjeno, pošto je Vietina teorema jednostavna posljedica treće metode.
Kasnije u članku ćemo detaljnije razmotriti imenovane metode rješenja, a također ćemo dati primjere njihove upotrebe za pronalaženje korijena specifičnih jednačina.
Metoda 1. Faktoring
Za ovu metodu u matematici kvadratnih jednadžbi postoji prekrasannaziv: faktorizacija. Suština ove metode je sledeća: potrebno je kvadratnu jednačinu prikazati kao proizvod dva člana (izraza), koji mora biti jednak nuli. Nakon takvog predstavljanja, možete koristiti svojstvo proizvoda, koje će biti jednako nuli samo kada je jedan ili više (svih) njegovih članova nula.
Sada razmotrite slijed specifičnih radnji koje je potrebno izvršiti da biste pronašli korijene jednadžbe:
- Premjestite sve članove u jedan dio izraza (na primjer, lijevo) tako da u njegovom drugom dijelu (desno) ostane samo 0.
- Predstavite zbir članova u jednom dijelu jednačine kao proizvod dvije linearne jednačine.
- Postavite svaki od linearnih izraza na nulu i riješite ih.
Kao što vidite, algoritam faktorizacije je prilično jednostavan, međutim, većina učenika ima poteškoća tokom implementacije 2. tačke, pa ćemo to detaljnije objasniti.
Da pogodite koja će 2 linearna izraza, kada se pomnože jedan s drugim, dati željenu kvadratnu jednačinu, morate zapamtiti dva jednostavna pravila:
- Linearni koeficijenti dva linearna izraza, kada se pomnože jedan s drugim, treba da daju prvi koeficijent kvadratne jednačine, odnosno broj a.
- Slobodni termini linearnih izraza, kada se pomnože, trebaju dati broj c željene jednačine.
Nakon što su svi brojevi faktora odabrani, treba ih pomnožiti, a ako daju željenu jednačinu, idite na korak 3 ugornji algoritam, inače biste trebali promijeniti množitelje, ali to morate učiniti tako da se gornja pravila uvijek poštuju.
Primjer rješenja metodom faktorizacije
Pokažimo jasno kako je algoritam za rješavanje kvadratne jednadžbe sastavljanje i pronalaženje nepoznatih korijena. Neka je dat proizvoljan izraz, na primjer, 2x-5+5x2-2x2=x2+2+x2+1. Pređimo na njegovo rješenje, posmatrajući slijed tačaka od 1 do 3, koje su navedene u prethodnom pasusu članka.
Stavka 1. Premjestite sve članove na lijevu stranu i rasporedite ih u klasičan niz za kvadratnu jednačinu. Imamo sljedeću jednakost: 2x+(-8)+x2=0.
Stavka 2. Razbijamo ga u proizvod linearnih jednačina. Pošto je a=1, i c=-8, onda ćemo izabrati, na primjer, takav proizvod (x-2)(x+4). Zadovoljava pravila za pronalaženje očekivanih faktora navedena u gornjem paragrafu. Ako otvorimo zagrade, dobijamo: -8+2x+x2, odnosno dobijamo potpuno isti izraz kao na lijevoj strani jednačine. To znači da smo ispravno pogodili množitelje i možemo preći na 3. korak algoritma.
Stavka 3. Izjednačite svaki faktor sa nulom, dobijamo: x=-4 i x=2.
Ako postoji bilo kakva sumnja u rezultat, preporuča se provjeriti zamjenom pronađenih korijena u originalnu jednačinu. U ovom slučaju imamo: 22+22-8=0 i 2(-4)+(-4)2 -8=0. Korijeni pronađeni ispravno.
Tako smo, koristeći metodu faktorizacije, otkrili da data jednadžba ima dva korijena različitihima: 2 i -4.
Metoda 2. Dopuna punom kvadratu
U algebri kvadratnih jednadžbi, metoda množenja se ne može uvijek koristiti, jer u slučaju razlomaka koeficijenata kvadratne jednadžbe nastaju poteškoće u implementaciji stava 2 algoritma.
Metoda punog kvadrata je zauzvrat univerzalna i može se primijeniti na kvadratne jednadžbe bilo kojeg tipa. Njegova suština je izvođenje sljedećih operacija:
- Uslovi jednačine koja sadrži koeficijente a i b moraju se prenijeti u jedan dio jednačine, a slobodni član c u drugi.
- Dalje, dijelove jednakosti (desno i lijevo) treba podijeliti sa koeficijentom a, odnosno predstaviti jednačinu u redukovanom obliku (a=1).
- Zbrojite članove sa koeficijentima a i b da biste ih predstavili kao kvadrat linearne jednačine. Budući da je \u003d 1, tada će linearni koeficijent biti jednak 1, što se tiče slobodnog člana linearne jednadžbe, tada bi trebao biti jednak polovini linearnog koeficijenta smanjene kvadratne jednadžbe. Nakon što je kvadrat linearnog izraza nacrtan, potrebno je na desnu stranu jednakosti, gdje se nalazi slobodni član, dodati odgovarajući broj, koji se dobija proširenjem kvadrata.
- Uzmite kvadratni korijen sa znakovima "+" i "-" i riješite već dobijenu linearnu jednačinu.
Opisani algoritam se na prvi pogled može shvatiti kao prilično komplikovan, međutim, u praksi ga je lakše implementirati nego faktor faktorizacije.
Primjer rješenja korištenjem punog kvadratnog komplementa
Dajmo primjer kvadratne jednadžbe za obuku njenog rješenja metodom opisanom u prethodnom paragrafu. Neka je data kvadratna jednadžba -10 - 6x+5x2=0. Počinjemo je rješavati slijedeći algoritam opisan gore.
Stavka 1. Koristimo metod prijenosa kada rješavamo kvadratne jednačine, dobijamo: - 6x+5x2=10.
Tačka 2. Redukovani oblik ove jednačine se dobija dijeljenjem sa brojem 5 svakog njenog člana (ako se oba dijela podijele ili pomnože istim brojem, tada će jednakost biti sačuvana). Kao rezultat transformacija, dobijamo: x2 - 6/5x=2.
Stavka 3. Polovina koeficijenta - 6/5 je -6/10=-3/5, koristite ovaj broj da popunite kvadrat, dobijamo: (-3/5+x) 2 . Proširujemo ga i rezultirajući slobodni član treba oduzeti od lijeve strane jednakosti kako bi se zadovoljio izvorni oblik kvadratne jednačine, što je ekvivalentno dodavanju na desnu stranu. Kao rezultat, dobijamo: (-3/5+x)2=59/25.
Stavka 4. Izračunajte kvadratni korijen sa pozitivnim i negativnim predznacima i pronađite korijene: x=3/5±√59/5=(3±√59)/5. Dva pronađena korijena imaju sljedeće vrijednosti: x1=(√59+3)/5 i x1=(3-√59)/5.
Pošto se izvršeni proračuni odnose na korijene, postoji velika vjerovatnoća da ćete napraviti grešku. Stoga se preporučuje provjeriti ispravnost korijena x2 i x1. Dobijamo za x1: 5((3+√59)/5)2-6(3+√59)/5 - 10=(9+59+6√59)/5 - 18/5 - 6√59/5-10=68/5-68/5=0. Zamijeni sadax2: 5((3-√59)/5)2-6(3-√59)/5 - 10=(9+59-6√59)/5 - 18/5 + 6√59/5-10=68/5-68/5=0.
Tako smo pokazali da su pronađeni korijeni jednadžbe tačni.
Metoda 3. Primjena dobro poznate formule
Ova metoda rješavanja kvadratnih jednačina je možda najjednostavnija, jer se sastoji u zamjeni koeficijenata u poznatu formulu. Da biste ga koristili, ne morate razmišljati o kompajliranju algoritama rješenja, dovoljno je zapamtiti samo jednu formulu. To je prikazano na gornjoj slici.
U ovoj formuli, radikalni izraz (b2-4ac) naziva se diskriminant (D). Od njegove vrijednosti ovisi o tome koji su korijeni dobiveni. Postoje 3 slučaja:
- D>0, tada osnovna dva jednačina ima realne i različite.
- D=0, tada se dobija korijen koji se može izračunati iz izraza x=-b/(a2).
- D<0, tada ćete dobiti dva različita imaginarna korijena, koji su predstavljeni kao kompleksni brojevi. Na primjer, broj 3-5i je složen, dok imaginarna jedinica i zadovoljava svojstvo: i2=-1.
Primjer rješenja izračunavanjem diskriminanta
Dajmo primjer kvadratne jednadžbe za vježbanje koristeći gornju formulu. Pronađite korijene za -3x2-6+3x+4x=0. Prvo, izračunajte vrijednost diskriminanta, dobijamo: D=b 2 -4ac=72-4(-3)(-6)=-23.
Pošto je dobijen D<0, to znači da su korijeni razmatrane jednadžbe kompleksni brojevi. Pronađimo ih zamjenom pronađene vrijednosti D u formulu datu u prethodnom pasusu (također je prikazana na gornjoj fotografiji). Dobijamo: x=7/6±√(-23)/(-6)=(7±i√23)/6.
Metoda 4. Korištenje grafa funkcija
Zove se i grafička metoda za rješavanje kvadratnih jednačina. Treba reći da se, po pravilu, ne koristi za kvantitativnu, već za kvalitativnu analizu jednačine koja se razmatra.
Suština metode je da se nacrta kvadratna funkcija y=f(x), koja je parabola. Zatim, potrebno je odrediti u kojim tačkama parabola siječe x-osu (X), one će biti korijeni odgovarajuće jednačine.
Da bi se utvrdilo da li će parabola presjeći X os, dovoljno je znati položaj njenog minimuma (maksimuma) i smjer njenih grana (mogu se povećati ili smanjiti). Postoje dva svojstva ove krive koje treba zapamtiti:
- Ako su a>0 - parabole grane su usmjerene prema gore, naprotiv, ako a<0, onda se spuštaju.
- Minimalna (maksimalna) koordinata parabole je uvijek x=-b/(2a).
Na primjer, morate odrediti da li jednadžba -4x+5x2+10=0 ima korijen. Odgovarajuća parabola će biti usmjerena nagore, pošto=5>0. Njegov ekstrem ima koordinate: x=4/10=2/5, y=-42/5+5(2/5)2+10=9, 2. Pošto minimum krivulje leži iznad x-ose (y=9, 2), tada ne siječe potonju ni za jednux vrijednosti. To jest, data jednadžba nema pravi korijen.
Vietina teorema
Kao što je gore navedeno, ova teorema je posljedica metode br. 3, koja se zasniva na primjeni formule sa diskriminantom. Suština Vietine teoreme je da vam omogućava da povežete koeficijente jednadžbe i njene korijene u jednakost. Hajde da dobijemo odgovarajuće jednakosti.
Upotrijebimo formulu za izračunavanje korijena kroz diskriminant. Dodajte dva korijena, dobijamo: x1+x2=-b/a. Sada pomnožimo korijene jedan s drugim: x1x2, nakon niza pojednostavljivanja dobijamo broj c/a.
Dakle, da biste riješili kvadratne jednačine po Vietinoj teoremi, možete koristiti dobijene dvije jednakosti. Ako su poznata sva tri koeficijenta jednačine, tada se korijeni mogu naći rješavanjem odgovarajućeg sistema ove dvije jednačine.
Primjer korištenja Vietine teoreme
Morate napisati kvadratnu jednačinu ako znate da ima oblik x2+c=-bx i da su njeni korijeni 3 i -4.
Pošto je a=1 u jednadžbi koja se razmatra, Vieta formule će izgledati ovako: x2+x1=-b i x2x1=p. Zamjenom poznatih vrijednosti korijena, dobijamo: b=1 i c=-12. Kao rezultat, obnovljena kvadratna redukovana jednačina će izgledati ovako: x2-12=-1x. Možete zamijeniti vrijednost korijena u nju i osigurati da jednakost vrijedi.
Obratna primjena Vietine teoreme, odnosno izračunavanje korijena popoznati oblik jednadžbe, omogućava malim cijelim brojevima a, b i c da brzo (intuitivno) pronađu rješenja.
