Matematički problemi se koriste u mnogim naukama. To ne uključuje samo fiziku, hemiju, inženjerstvo i ekonomiju, već i medicinu, ekologiju i druge discipline. Jedan važan koncept koji treba savladati da biste pronašli rješenja za važne dileme je izvod funkcije. Njegovo fizičko značenje uopće nije tako teško objasniti kao što se neupućenima može činiti u suštini problema. Dovoljno je samo pronaći odgovarajuće primjere za to u stvarnom životu i običnim svakodnevnim situacijama. Zapravo, svaki vozač se nosi sa sličnim zadatkom svaki dan kada pogleda brzinomjer, određujući brzinu svog automobila u određenom trenutku određenog vremena. Uostalom, upravo u ovom parametru leži suština fizičkog značenja izvedenice.
Kako pronaći brzinu
Odredite brzinu osobe na putu, znajući pređenu udaljenost i vrijeme putovanja, svaki učenik petog razreda može lako. Da biste to učinili, prva od datih vrijednosti se podijeli s drugom. Aline zna svaki mladi matematičar da trenutno nalazi omjer prirasta funkcije i argumenta. Zaista, ako zamislimo kretanje u obliku grafikona, iscrtavajući putanju duž y-ose i vrijeme duž apscise, to će biti upravo ovako.
Međutim, brzina pješaka ili bilo kojeg drugog objekta koju odredimo na velikom dijelu puta, smatrajući da je kretanje ujednačeno, može se promijeniti. U fizici postoji mnogo oblika kretanja. Može se izvoditi ne samo uz konstantno ubrzanje, već i usporavati i povećavati na proizvoljan način. Treba napomenuti da u ovom slučaju linija koja opisuje kretanje više neće biti prava linija. Grafički, može poprimiti najsloženije konfiguracije. Ali za bilo koju tačku na grafu, uvijek možemo nacrtati tangentu predstavljenu linearnom funkcijom.
Da bi se razjasnio parametar promjene pomaka u zavisnosti od vremena, potrebno je skratiti mjerene segmente. Kada postanu beskonačno male, izračunata brzina će biti trenutna. Ovo iskustvo nam pomaže da definiramo derivat. Njegovo fizičko značenje također logično slijedi iz takvog razmišljanja.
U smislu geometrije
Poznato je da što je veća brzina tijela, to je grafik zavisnosti pomaka od vremena strmiji, a time i ugla nagiba tangente na graf u određenoj tački. Pokazatelj takvih promjena može biti tangent ugla između x-ose i tangentne linije. On samo određuje vrijednost derivacije i izračunava se omjerom dužinasuprotno od susjednog kraka u pravokutnom trokutu formiranom okomom spuštenom iz neke tačke na os x.
Ovo je geometrijsko značenje prve izvedenice. Fizički se otkriva u činjenici da je vrijednost suprotne noge u našem slučaju prijeđeni put, a susjedne vrijeme. Njihov odnos je brzina. I opet dolazimo do zaključka da je trenutna brzina, određena kada oba jaza teže beskonačno malim, suština koncepta derivacije, ukazujući na njegovo fizičko značenje. Drugi izvod u ovom primjeru će biti ubrzanje tijela, što zauzvrat pokazuje brzinu promjene brzine.
Primjeri pronalaženja derivata u fizici
Izvod je pokazatelj brzine promjene bilo koje funkcije, čak i kada ne govorimo o kretanju u doslovnom smislu riječi. Da bismo to jasno pokazali, uzmimo nekoliko konkretnih primjera. Pretpostavimo da se jačina struje, u zavisnosti od vremena, menja prema sledećem zakonu: I=0, 4t2. Potrebno je pronaći vrijednost brzine kojom se ovaj parametar mijenja na kraju 8. sekunde procesa. Imajte na umu da se sama željena vrijednost, kao što se može suditi iz jednačine, stalno povećava.
Da biste to riješili, morate pronaći prvu izvedenicu, čije je fizičko značenje razmatrano ranije. Ovdje dI / dt=0,8t. Zatim, nalazimo ga na t=8, dobivamo da je brzina kojom se mijenja jačina struje 6,4 A / c. Ovdje se to smatrastruja se mjeri u amperima, a vrijeme u sekundama.
Sve se mijenja
Vidljivi okolni svijet, koji se sastoji od materije, neprestano se mijenja, u pokretu je raznih procesa koji se u njemu odvijaju. Za njihovo opisivanje mogu se koristiti različiti parametri. Ako su objedinjeni zavisnošću, onda su matematički zapisani kao funkcija koja jasno pokazuje njihove promjene. A tamo gde postoji kretanje (u kom god obliku da se izrazi), postoji i derivat, čije fizičko značenje trenutno razmatramo.
Ovom prilikom, sljedeći primjer. Pretpostavimo da se tjelesna temperatura mijenja prema zakonu T=0, 2 t 2. Trebali biste pronaći brzinu njegovog zagrijavanja na kraju 10. sekunde. Problem se rješava na način sličan onome opisanom u prethodnom slučaju. Odnosno, nalazimo derivaciju i zamjenjujemo vrijednost za t=10 u nju, dobivamo T=0, 4 t=4. To znači da je konačni odgovor 4 stepena u sekundi, odnosno proces grijanja a promjena temperature, mjerena u stepenima, se dešava upravo takvom brzinom.
Rješavanje praktičnih problema
Naravno, u stvarnom životu sve je mnogo komplikovanije nego u teorijskim problemima. U praksi se vrijednosti količina obično određuju tokom eksperimenta. U ovom slučaju se koriste instrumenti koji daju očitavanja tokom mjerenja sa određenom greškom. Stoga se u proračunima treba baviti približnim vrijednostima parametara i pribjegavati zaokruživanju nezgodnih brojeva,kao i druga pojednostavljenja. Uzimajući ovo u obzir, ponovo ćemo preći na probleme o fizičkom značenju derivacije, s obzirom da su oni samo neka vrsta matematičkog modela najsloženijih procesa koji se dešavaju u prirodi.
Erupcija vulkana
Zamislimo da vulkan eruptira. Koliko on može biti opasan? Da biste odgovorili na ovo pitanje, potrebno je uzeti u obzir mnoge faktore. Pokušat ćemo ugostiti jednog od njih.
Iz usta "vatrenog čudovišta" kamenje se baca okomito prema gore, imajući početnu brzinu od trenutka izlaska do vanjske strane od 120 m/s. Potrebno je izračunati koliko mogu dostići maksimalnu visinu.
Da bismo pronašli željenu vrijednost, sastavit ćemo jednačinu za ovisnost visine H, mjerene u metrima, o drugim vrijednostima. To uključuje početnu brzinu i vrijeme. Vrijednost ubrzanja se smatra poznatom i približno jednaka 10 m/s2.
Djelomični derivat
Sada razmotrimo fizičko značenje derivacije funkcije iz malo drugačijeg ugla, jer sama jednadžba može sadržavati ne jednu, već nekoliko varijabli. Na primjer, u prethodnom problemu, ovisnost visine kamenja izbačenog iz otvora vulkana bila je određena ne samo promjenom vremenskih karakteristika, već i vrijednošću početne brzine. Ovo posljednje se smatralo konstantnom, fiksnom vrijednošću. Ali u drugim zadacima sa potpuno drugačijim uslovima, sve bi moglo biti drugačije. Ako su količine na kojima je kompleksfunkcija, nekoliko, proračuni su napravljeni prema formulama ispod.
Fizičko značenje frekventne izvedenice treba odrediti kao u uobičajenom slučaju. Ovo je brzina kojom se funkcija mijenja u određenoj tački kako se parametar varijable povećava. Izračunava se na način da se sve ostale komponente uzimaju kao konstante, samo jedna se smatra promenljivom. Tada se sve odvija po uobičajenim pravilima.
Nezamjenjiv savjetnik o mnogim pitanjima
Razumajući fizičko značenje izvedenice, nije teško dati primjere rješavanja zamršenih i složenih problema u kojima se sa takvim znanjem može pronaći odgovor. Ako imamo funkciju koja opisuje potrošnju goriva u zavisnosti od brzine automobila, možemo izračunati pri kojim parametrima potonjeg će potrošnja benzina biti najmanja.
U medicini možete predvidjeti kako će ljudsko tijelo reagirati na lijek koji vam je propisao ljekar. Uzimanje lijeka utiče na različite fiziološke parametre. To uključuje promjene krvnog tlaka, otkucaja srca, tjelesne temperature i još mnogo toga. Svi oni ovise o dozi lijeka koji se uzima. Ovi proračuni pomažu da se predvidi tok liječenja, kako kod povoljnih manifestacija tako i kod neželjenih nezgoda koje mogu fatalno utjecati na promjene u tijelu pacijenta.
Nesumnjivo je važno razumjeti fizičko značenje izvedenice u tehničkompitanja, posebno u elektrotehnici, elektronici, dizajnu i konstrukciji.
Zakočni put
Razmotrimo sljedeći problem. Krećući se stalnom brzinom, automobil je, približavajući se mostu, morao da uspori 10 sekundi prije ulaska, pošto je vozač uočio putokaz koji zabranjuje kretanje brzinom većom od 36 km/h. Da li je vozač prekršio pravila ako se put kočenja može opisati formulom S=26t - t2?
Računajući prvi izvod, nalazimo formulu za brzinu, dobijamo v=28 – 2t. Zatim, zamijenite vrijednost t=10 u specificirani izraz.
Pošto je ova vrijednost izražena u sekundama, brzina je 8 m/s, što znači 28,8 km/h. Ovo omogućava da se shvati da je vozač na vreme počeo da usporava i nije prekršio saobraćajna pravila, a samim tim i ograničenje naznačeno na znaku brzine.
Ovo dokazuje važnost fizičkog značenja izvedenice. Primjer rješavanja ovog problema pokazuje širinu upotrebe ovog koncepta u različitim sferama života. Uključujući u svakodnevnim situacijama.
Derivat u ekonomiji
Sve do 19. veka, ekonomisti su uglavnom radili na prosecima, bilo da se radi o produktivnosti rada ili ceni proizvodnje. Ali od nekog trenutka, granične vrijednosti su postale potrebnije za izradu efektivnih prognoza u ovoj oblasti. To uključuje graničnu korisnost, prihod ili trošak. Razumijevanje ovoga dalo je poticaj stvaranju potpuno novog alata u ekonomskom istraživanju,koji postoji i razvija se više od sto godina.
Da bi se izvršili takvi proračuni, u kojima dominiraju koncepti kao što su minimum i maksimum, jednostavno je potrebno razumjeti geometrijsko i fizičko značenje izvoda. Među tvorcima teorijske osnove ovih disciplina mogu se navesti istaknuti engleski i austrijski ekonomisti kao što su US Jevons, K. Menger i drugi. Naravno, granične vrijednosti u ekonomskim proračunima nisu uvijek zgodne za korištenje. I, na primjer, tromjesečni izvještaji se ne uklapaju nužno u postojeću šemu, ali je ipak primjena takve teorije u mnogim slučajevima korisna i efikasna.
