Projekcija sile na osu i na ravan. fizika

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Zadnja izmjena: 2023-12-17 05:19

Snaga je jedan od najvažnijih koncepata u fizici. To uzrokuje promjenu stanja bilo kojeg objekta. U ovom članku ćemo razmotriti koja je to vrijednost, koje sile postoje, a također ćemo pokazati kako pronaći projekciju sile na osu i na ravan.

Moć i njeno fizičko značenje

U fizici, sila je vektorska veličina koja pokazuje promjenu impulsa tijela u jedinici vremena. Ova definicija smatra da je sila dinamička karakteristika. Sa stanovišta statike, sila u fizici je mjera elastične ili plastične deformacije tijela.

Međunarodni SI sistem izražava silu u njutnima (N). Koliko je 1 njutn, najlakše je razumjeti primjer drugog zakona klasične mehanike. Njegova matematička notacija je sljedeća:

F¯=ma¯

Ovdje je F¯ neka vanjska sila koja djeluje na tijelo mase m i rezultira ubrzanjem a¯. Kvantitativna definicija jednog njutna slijedi iz formule: 1 N je takva sila koja dovodi do promjene brzine tijela mase 1 kg za 1 m/s za svaku sekundu.

Primjeri dinamikemanifestacije sile su ubrzanje automobila ili tijela koje slobodno pada u zemljinom gravitacijskom polju.

Statička manifestacija sile, kao što je navedeno, povezana je sa fenomenom deformacije. Ovdje treba navesti sljedeće formule:

F=PS

F=-kx

Prvi izraz povezuje silu F sa pritiskom P koji ona vrši na neko područje S. Kroz ovu formulu, 1 N se može definirati kao pritisak od 1 pascal primijenjen na površinu od 1 m 2^{. Na primjer, stup atmosferskog zraka na nivou mora pritišće mjesto od 1 m}2 ^{sa snagom od 10}5^N!

Drugi izraz je klasična forma Hookeovog zakona. Na primjer, istezanje ili sabijanje opruge za linearnu vrijednost x dovodi do pojave suprotne sile F (u izrazu k je faktor proporcionalnosti).

Koje sile postoje

Već je gore pokazano da sile mogu biti statične i dinamičke. Ovdje kažemo da pored ove karakteristike mogu biti kontaktne ili dalekometne sile. Na primjer, sila trenja, reakcije oslonca su kontaktne sile. Razlog njihovog pojavljivanja je valjanost Paulijevog principa. Potonji kaže da dva elektrona ne mogu zauzeti isto stanje. Zato dodir dva atoma dovodi do njihovog odbijanja.

Sile velikog dometa pojavljuju se kao rezultat interakcije tijela kroz određeno noseće polje. Na primjer, takve su sila gravitacije ili elektromagnetna interakcija. Obje moći imaju beskonačan raspon,međutim, njihov intenzitet opada kao kvadrat udaljenosti (Coulombovi zakoni i gravitacija).

Snaga je vektorska količina

Kada smo se pozabavili značenjem razmatrane fizičke veličine, možemo preći na proučavanje pitanja projekcije sile na osu. Prije svega, napominjemo da je ova veličina vektor, odnosno karakterizira je modul i smjer. Pokazat ćemo kako izračunati modul sile i njegov smjer.

Poznato je da se svaki vektor može jedinstveno definirati u datom koordinatnom sistemu ako su poznate vrijednosti koordinata njegovog početka i kraja. Pretpostavimo da postoji neki usmjereni segment MN¯. Tada se njegov smjer i modul mogu odrediti korištenjem sljedećih izraza:

MN¯=(x₂-x₁; y₂-y 1_{; z}2_-z1_);

|MN¯|=√((x₂-x₁)²+ (y_{2 -y}1₎2^{+ (z}2_-z1 ₎2^).

Ovdje koordinate sa indeksima 2 odgovaraju tački N, one sa indeksima 1 odgovaraju tački M. Vektor MN¯ je usmjeren od M do N.

Radi generalnosti, pokazali smo kako pronaći modul i koordinate (smjer) vektora u trodimenzionalnom prostoru. Slične formule bez treće koordinate važe za slučaj na ravni.

Dakle, modul sile je njegova apsolutna vrijednost, izražena u njutnima. Sa stanovišta geometrije, modul je dužina usmjerenog segmenta.

Na šta je projekcija sileosovina?

Najpogodnije je govoriti o projekcijama usmjerenih segmenata na koordinatne ose i ravni ako se odgovarajući vektor prvo postavi u ishodište, odnosno u tačku (0; 0; 0). Pretpostavimo da imamo neki vektor sile F¯. Postavimo njegov početak u tačku (0; 0; 0), tada se koordinate vektora mogu napisati na sljedeći način:

F¯=((x₁- 0); (y₁- 0); (z₁ - 0))=(x₁; y₁; z₁).

Vektor F¯ pokazuje smjer sile u prostoru u datom koordinatnom sistemu. Sada nacrtajmo okomite segmente od kraja F¯ na svaku od osa. Udaljenost od točke presjeka okomice s odgovarajućom osom do ishodišta naziva se projekcija sile na osu. Nije teško pretpostaviti da će u slučaju sile F¯, njene projekcije na ose x, y i z biti x₁, y_{1i z 1}, respektivno. Imajte na umu da ove koordinate pokazuju module projekcija sila (dužine segmenata).

Uglovi između sile i njenih projekcija na koordinatne ose

Izračunavanje ovih uglova nije teško. Sve što je potrebno da se to riješi je poznavanje svojstava trigonometrijskih funkcija i sposobnost primjene Pitagorine teoreme.

Na primjer, definirajmo ugao između smjera sile i njene projekcije na x-osu. Odgovarajući pravougaoni trokut formirat će hipotenuza (vektor F¯) i krak (segment x₁). Drugi krak je rastojanje od kraja vektora F¯ do x-ose. Ugao α između F¯ i x-ose izračunava se po formuli:

α=arccos(|x₁|/|F¯|)=arccos(x₁/√(x ₁²+y₁²+z₁ ²)).

Kao što vidite, za određivanje ugla između ose i vektora potrebno je i dovoljno znati koordinate kraja usmjerenog segmenta.

Za uglove sa drugim osama (y i z), možete napisati slične izraze:

β=arccos(|y₁|/|F¯|)=arccos(y₁/√(x 12^+y12^+z 12^));

γ=arccos(|z₁|/|F¯|)=arccos(z₁/√(x 12^+y12^+z 12^)).

Imajte na umu da u svim formulama postoje moduli u brojiocima, što eliminiše pojavu tupih uglova. Između sile i njenih aksijalnih projekcija, uglovi su uvek manji ili jednaki 90^o.

Sila i njene projekcije na koordinatnu ravan

Definicija projekcije sile na ravan je ista kao i za osu, samo u ovom slučaju okomicu treba spustiti ne na osu, već na ravan.

U slučaju prostornog pravougaonog koordinatnog sistema, imamo tri međusobno okomite ravni xy (horizontalna), yz (frontalna vertikalna), xz (bočna vertikalna). Točke presjeka okomica spuštenih sa kraja vektora na imenovane ravni su:

(x₁; y₁; 0) za xy;

(x₁; 0; z₁) za xz;

(0; y₁; z₁) za zy.

Ako je svaka od označenih tačaka povezana sa ishodištem, onda dobijamo projekciju sile F¯ na odgovarajuću ravan. Koliki je modul sile, znamo. Da biste pronašli modul svake projekcije, morate primijeniti Pitagorinu teoremu. Označimo projekcije na ravan kao F_xy, F_xz i F_zy. Tada će jednakosti vrijediti za njihove module:

F_xy=√(x₁²+y₁ ²);

F_xz=√(x₁²+ z₁ ²);

F_zy=√(y₁²+ z₁ ²).

Uglovi između projekcija na ravan i vektora sile

U gornjem pasusu date su formule za module projekcija na ravan razmatranog vektora F¯. Ove projekcije, zajedno sa segmentom F¯ i rastojanjem od njegovog kraja do ravni, formiraju pravougaone trouglove. Stoga, kao iu slučaju projekcija na osu, možete koristiti definiciju trigonometrijskih funkcija za izračunavanje dotičnih uglova. Možete napisati sljedeće jednakosti:

α=arccos(F_xy/|F¯|)=arccos(√(x₁^{2 +y}12^{) /√(x}12 +y¹₂+z¹₂));

β=arccos(F_xz/|F¯|)=arccos(√(x₁^{2 +z}12^)/√(x12 +y¹₂+z¹₂));

γ=arccos(F_zy/|F¯|)=arccos(√(y₁²+z₁²)/√(x₁²+y₁² +z₁²)).

Važno je shvatiti da je ugao između smjera sile F¯ i njene odgovarajuće projekcije na ravan jednak kutu između F¯ i ove ravni. Ako ovaj problem razmotrimo sa gledišta geometrije, onda možemo reći da je usmjereni segment F¯ nagnut u odnosu na ravnine xy, xz i zy.

Gdje se koriste projekcije sile?

Gore formule za projekcije sila na koordinatne ose i na ravan nisu samo od teoretskog interesa. Često se koriste u rješavanju fizičkih problema. Sam proces pronalaženja projekcija naziva se dekompozicijom sile na njene komponente. Potonji su vektori, čiji bi zbir trebao dati originalni vektor sile. U opštem slučaju, moguće je razložiti silu na proizvoljne komponente, međutim, za rješavanje problema zgodno je koristiti projekcije na okomite ose i ravni.

Problemi kod kojih se primjenjuje koncept projekcije sile mogu biti vrlo različiti. Na primjer, isti drugi Newtonov zakon pretpostavlja da vanjska sila F¯ koja djeluje na tijelo mora biti usmjerena na isti način kao i vektor brzine v¯. Ako se njihovi pravci razlikuju za neki ugao, onda, da bi jednakost ostala važeća, treba u nju zamijeniti ne samu silu F¯, već njenu projekciju na pravac v¯.

U nastavku ćemo dati par primjera, gdje ćemo pokazati kako se koristi snimljeniformule.

Zadatak određivanja projekcija sila na ravan i na koordinatne ose

Pretpostavimo da postoji neka sila F¯, koja je predstavljena vektorom koji ima sljedeće koordinate kraja i početka:

(2; 0; 1);

(-1; 4; -1).

Potrebno je odrediti modul sile, kao i sve njene projekcije na koordinatne ose i ravni, te uglove između F¯ i svake njene projekcije.

Počnimo rješavati problem izračunavanjem koordinata vektora F¯. Imamo:

F¯=(-1; 4; -1) - (2; 0; 1)=(-3; 4; -2).

Tada će modul sile biti:

|F¯|=√(9 + 16 + 4)=√29 ≈ 5, 385 N.

Projekcije na koordinatne ose jednake su odgovarajućim koordinatama vektora F¯. Izračunajmo uglove između njih i smjera F¯. Imamo:

α=arccos(|-3 |/5, 385) ≈ 56, 14^o;

β=arccos(|4|/5, 385) ≈ 42, 03^o;

γ=arccos(|-2|/5, 385) ≈ 68, 20^o.

Pošto su koordinate vektora F¯ poznate, moguće je izračunati module projekcija sila na koordinatnu ravan. Koristeći gornje formule, dobijamo:

F_xy=√(9 +16)=5 N;

F_xz=√(9 + 4)=3, 606 N;

F_zy=√(16 + 4)=4, 472 N.

Konačno, ostaje izračunati uglove između pronađenih projekcija na ravan i vektora sile. Imamo:

α=arccos(F_xy/|F¯|)=arccos(5/5, 385) ≈ 21, 8^o;

β=arccos(F_xz/|F¯|)=arccos(3, 606/5, 385) ≈ 48, 0^o;

γ=arccos(F_zy/|F¯|)=arccos(4, 472/5, 385) ≈ 33, 9^o.

Dakle, vektor F¯ je najbliži xy koordinatnoj ravni.

Problem sa kliznom šipkom na kosoj ravni

Sada riješimo fizički problem gdje će biti potrebno primijeniti koncept projekcije sile. Neka je data drvena nagnuta ravan. Ugao njenog nagiba prema horizontu je 45^o. Na avionu je drveni blok mase 3 kg. Potrebno je odrediti kojim ubrzanjem će se ova šipka kretati niz ravan ako se zna da je koeficijent trenja klizanja 0,7.

Prvo, napravimo jednačinu kretanja tijela. Pošto će na njega djelovati samo dvije sile (projekcija gravitacije na ravan i sila trenja), jednačina će imati oblik: