Za određivanje paralelizma i okomitosti ravnina, kao i za izračunavanje udaljenosti između ovih geometrijskih objekata, zgodno je koristiti jednu ili drugu vrstu numeričkih funkcija. Za koje je probleme zgodno koristiti jednadžbu ravnine u segmentima? U ovom članku ćemo pogledati šta je to i kako ga koristiti u praktičnim zadacima.
Šta je jednadžba u segmentima?
Ravan se može definisati u 3D prostoru na nekoliko načina. U ovom članku će se dati neki od njih prilikom rješavanja problema različitih vrsta. Ovdje dajemo detaljan opis jednačine u segmentima ravnine. Obično ima sljedeći oblik:
x/p + y/q + z/r=1.
Gdje simboli p, q, r označavaju neke specifične brojeve. Ova jednačina se može lako prevesti u opšti izraz i u druge oblike numeričkih funkcija za ravan.
Pogodnost pisanja jednadžbe u segmentima leži u činjenici da sadrži eksplicitne koordinate presjeka ravnine sa okomitim koordinatnim osa. Na x-osiu odnosu na ishodište, ravan odsijeca segment dužine p, na y osi - jednak q, na z - dužine r.
Ako bilo koja od tri varijable nije sadržana u jednačini, onda to znači da ravan ne prolazi kroz odgovarajuću osu (matematičari kažu da se ukršta u beskonačnosti).
Sljedeće, evo nekih problema u kojima ćemo pokazati kako se radi sa ovom jednačinom.
Komunikacija opšteg i u segmentima jednačina
Poznato je da je ravan data sljedećom jednakošću:
2x - 3y + z - 6=0.
Ovu opštu jednačinu ravnine potrebno je zapisati u segmentima.
Kada se pojavi sličan problem, morate slijediti ovu tehniku: prenosimo slobodni pojam na desnu stranu jednakosti. Zatim cijelu jednačinu podijelimo ovim članom, pokušavajući je izraziti u obliku datom u prethodnom pasusu. Imamo:
2x - 3y + z=6=>
2x/6 - 3y/6 + z/6=1=>
x/3 + y/(-2) + z/6=1.
U segmentima smo dobili jednačinu ravni, datu u početku u opštem obliku. Primjetno je da ravan odsijeca segmente dužine 3, 2 i 6 za ose x, y i z. Y-osa siječe ravan u području negativnih koordinata.
Prilikom sastavljanja jednadžbe u segmentima, važno je da svim varijablama prethodi znak "+". Samo u ovom slučaju, broj kojim je ova varijabla podijeljena će pokazati odsječene koordinate na osi.
Normalni vektor i tačka na ravni
Poznato je da neka ravan ima vektor pravca (3; 0; -1). Također je poznato da prolazi kroz tačku (1; 1; 1). Za ovu ravan, napišite jednačinu u segmentima.
Da biste riješili ovaj problem, prvo trebate koristiti opći oblik za ovaj dvodimenzionalni geometrijski objekt. Opšti oblik se piše kao:
Ax + By + Cz + D=0.
Prva tri koeficijenta ovdje su koordinate vodećeg vektora, koji je specificiran u iskazu problema, odnosno:
A=3;
B=0;
C=-1.
Ostaje pronaći slobodni termin D. Može se odrediti sljedećom formulom:
D=-1(Ax1+ By1+ Cz1).
Gdje vrijednosti koordinata sa indeksom 1 odgovaraju koordinatama tačke koja pripada ravni. Zamijenimo njihove vrijednosti iz uslova problema, dobijemo:
D=-1(31 + 01 + (-1)1)=-2.
Sada možete napisati punu jednačinu:
3x - z - 2=0.
Tehnika za pretvaranje ovog izraza u jednačinu u segmentima ravni je već demonstrirana gore. Primijenite:
3x - z=2=>
x/(2/3) + z/(-2)=1.
Odgovor na problem je primljen. Imajte na umu da ova ravan siječe samo x i z ose. Za y je paralelno.
Dvije ravne linije koje definiraju ravan
Iz predmeta prostorna geometrija, svaki student zna da dvije proizvoljne prave jedinstveno definiraju ravan utrodimenzionalni prostor. Hajde da riješimo sličan problem.
Poznate su dvije jednačine pravih:
(x; y; z)=(1; 0; 0) + α(2; -1; 0);
(x; y; z)=(1; -1; 0) + β(-1; 0; 1).
Potrebno je zapisati jednačinu ravni u segmentima, prolazeći kroz ove prave.
Pošto obe prave moraju ležati u ravni, to znači da njihovi vektori (vodilice) moraju biti okomiti na vektor (vodiče) za ravan. Istovremeno, poznato je da vektorski proizvod proizvoljna dva usmjerena segmenta daje rezultat u obliku koordinata trećeg, okomitog na dva originalna segmenta. S obzirom na ovo svojstvo, dobijamo koordinate vektora normalne na željenu ravan:
[(2; -1; 0)(-1; 0; 1)]=(-1; -2; -1).
Pošto se može pomnožiti sa proizvoljnim brojem, ovo formira novi usmjereni segment paralelan originalnom, znak dobijenih koordinata možemo zamijeniti suprotnim (pomnožiti sa -1), dobijamo:
(1; 2; 1).
Znamo vektor smjera. Ostaje uzeti proizvoljnu tačku jedne od pravih i nacrtati opštu jednačinu ravnine:
A=1;
B=2;
C=1;
D=-1(11 + 20 + 30)=-1;
x + 2y + z -1=0.
Prevodeći ovu jednakost u izraz u segmentima, dobijamo:
x + 2y + z=1=>
x/1 + y/(1/2) + z/1=1.
Dakle, ravan siječe sve tri ose u pozitivnom području koordinatnog sistema.
Tri boda i avion
Baš kao dve prave, tri tačke definišu ravan na jedinstven način u trodimenzionalnom prostoru. Odgovarajuću jednačinu pišemo u segmentima ako su poznate sljedeće koordinate tačaka koje leže u ravni:
Q(1;-2;0);
P(2;-3;0);
M(4; 1; 0).
Učinimo sljedeće: izračunajmo koordinate dva proizvoljna vektora koji povezuju ove tačke, zatim pronađemo vektor n¯ normalan na ravan izračunavanjem proizvoda pronađenih usmjerenih segmenata. Dobijamo:
QP¯=P - Q=(1; -1; 0);
QM¯=M - Q=(2; 4; 0);
n¯=[QP¯QM¯]=[(1; -1; 0)(2; 4; 0)]=(0; 0; 6).
Uzmite tačku P kao primjer, sastavite jednadžbu ravnine:
A=0;
B=0;
C=6;
D=-1(02 + 0(-3) + 60)=0;
6z=0 ili z=0.
Dobili smo jednostavan izraz koji odgovara xy ravni u datom pravougaonom koordinatnom sistemu. Ne može se pisati u segmentima, jer ose x i y pripadaju ravni, a dužina odsečenog segmenta na z osi je nula (tačka (0; 0; 0) pripada ravni).
