Da bi čitaocu bilo lakše da zamisli šta je hiperboloid - trodimenzionalni objekat - prvo treba da razmotrite zakrivljenu hiperbolu istog imena, koja se uklapa u dvodimenzionalni prostor.
Hiperbola ima dvije ose: realnu, koja se na ovoj slici poklapa sa osom apscise, i imaginarnu, sa y-osom. Ako mentalno počnete da okrećete jednadžbu hiperbole oko njene imaginarne ose, tada će površina "viđena" krivuljom biti hiperboloid sa jednim listom.
Ako, međutim, počnemo rotirati hiperbolu oko njene realne ose na ovaj način, tada će svaka od dvije "polovine" krive formirati svoju zasebnu površinu, a zajedno će se zvati dvo- hiperboloid sa limom.
Dobiveni rotacijom odgovarajuće ravnine krive, nazivaju se hiperboloidi rotacije. Imaju parametre u svim smjerovima okomitim na os rotacije,koji pripada rotiranoj krivulji. Generalno, ovo nije slučaj.
Hiperboloidna jednačina
Općenito, površina se može definirati sljedećim jednadžbama u kartezijanskim koordinatama (x, y, z):
U slučaju hiperboloida okretanja, njegova simetrija oko ose oko koje se rotira izražava se jednakošću koeficijenata a=b.
Hiperboloidne karakteristike
On ima trik. Znamo da krivulje na ravni imaju žarišta - u slučaju hiperbole, na primjer, modul razlike udaljenosti od proizvoljne tačke na hiperboli do jednog fokusa, a drugi je konstantan po definiciji, zapravo, fokusa bodovi.
Prilikom prelaska u trodimenzionalni prostor, definicija se praktično ne mijenja: fokusi su opet dvije tačke, a razlika u udaljenostima od njih do proizvoljne tačke koja pripada hiperboloidnoj površini je konstantna. Kao što vidite, od promjena za sve moguće tačke pojavila se samo treća koordinata, jer su sada postavljene u prostoru. Općenito govoreći, definiranje fokusa je ekvivalentno identificiranju tipa krive ili površine: govoreći o tome kako se tačke površine nalaze u odnosu na žarišta, mi zapravo odgovaramo na pitanje šta je hiperboloid i kako izgleda.
Vrijedi zapamtiti da hiperbola ima asimptote - prave linije, kojima njene grane teže u beskonačnost. Ako se prilikom konstruiranja hiperboloida okretanja mentalno zarotiraju asimptote zajedno sa hiperbolom, tada će se osim hiperboloida dobiti i konus koji se zove asimptotski. Asimptotski konus jeza hiperboloide sa jednim i dva lista.
Još jedna važna karakteristika koju ima samo hiperboloid sa jednim listom su pravolinijski generatori. Kao što naziv implicira, to su linije, i potpuno leže na datoj površini. Dva pravolinijska generatora prolaze kroz svaku tačku hiperboloida sa jednim listom. One pripadaju dvije porodice linija koje su opisane sljedećim sistemima jednačina:
Dakle, hiperboloid sa jednim listom može biti u potpunosti sastavljen od beskonačnog broja pravih linija dve porodice, a svaka linija jedne od njih će se preseći sa svim linijama druge. Površine koje odgovaraju takvim svojstvima nazivaju se ravnali; mogu se konstruisati rotacijom jedne prave linije. Definicija kroz međusobni raspored linija (pravolinijskih generatora) u prostoru može poslužiti i kao nedvosmislena oznaka šta je hiperboloid.
Zanimljiva svojstva hiperboloida
Krive drugog reda i njihove odgovarajuće površine okretanja svaka imaju zanimljiva optička svojstva povezana sa žarištima. U slučaju hiperboloida, to je formulirano na sljedeći način: ako je zrak ispaljen iz jednog fokusa, tada će, nakon odbijanja od najbližeg "zida", poprimiti takav smjer kao da dolazi iz drugog fokusa.
Hiperboloidi u životu
Najvjerovatnije, većina čitatelja je svoje upoznavanje s analitičkom geometrijom i površinama drugog reda započela iz naučnofantastičnog romana Alekseja Tolstoja"Hiperboloidni inženjer Garin". Međutim, sam pisac ili nije dobro znao šta je hiperboloid, ili je žrtvovao preciznost zarad umetnosti: opisani izum, po fizičkim karakteristikama, pre je paraboloid koji sve zrake sakuplja u jednom fokusu (dok optička svojstva hiperboloida su povezana sa rasipanjem zraka).
Takozvane hiperboloidne strukture su veoma popularne u arhitekturi: to su strukture koje su u obliku hiperboloida sa jednim slojem ili hiperboličnog paraboloida. Činjenica je da samo ove okretne površine drugog reda imaju pravolinijske generatore: tako se zakrivljena konstrukcija može izgraditi samo od pravih greda. Prednosti takvih konstrukcija su u sposobnosti da izdrže teška opterećenja, na primjer, od vjetra: hiperboloidni oblik se koristi u izgradnji visokih konstrukcija, na primjer, televizijskih tornjeva.
