U matematici, inverzne funkcije su međusobno odgovarajući izrazi koji se pretvaraju jedan u drugi. Da bismo razumjeli što to znači, vrijedi razmotriti konkretan primjer. Recimo da imamo y=cos(x). Ako uzmemo kosinus iz argumenta, tada možemo pronaći vrijednost y. Očigledno, za ovo morate imati x. Ali šta ako je igrač na početku dat? Ovdje dolazi do srži stvari. Za rješavanje problema potrebna je upotreba inverzne funkcije. U našem slučaju, ovo je arc kosinus.
Nakon svih transformacija, dobijamo: x=arccos(y).
To jest, da biste pronašli funkciju inverznu datoj, dovoljno je samo izraziti argument iz nje. Ali ovo funkcionira samo ako će rezultat imati jednu vrijednost (više o tome kasnije).
Uopšteno govoreći, ova činjenica se može napisati na sljedeći način: f(x)=y, g(y)=x.
Definicija
Neka je f funkcija čija je domena skup X, iraspon vrijednosti je skup Y. Zatim, ako postoji g čije domene obavljaju suprotne zadatke, tada je f reverzibilno.
Osim toga, u ovom slučaju je g jedinstven, što znači da postoji tačno jedna funkcija koja zadovoljava ovo svojstvo (ni više, ni manje). Tada se naziva inverzna funkcija, a pismeno se označava na sljedeći način: g(x)=f -1(x).
Drugim riječima, oni se mogu posmatrati kao binarna relacija. Reverzibilnost se dešava samo kada jedan element skupa odgovara jednoj vrijednosti drugoj.
Ne postoji uvijek inverzna funkcija. Da bi se to uradilo, svaki element y ê Y mora odgovarati najviše jednom x ê X. Tada se f naziva jedan prema jedan ili injekcija. Ako f -1 pripada Y, tada svaki element ovog skupa mora odgovarati nekom x ∈ X. Funkcije sa ovim svojstvom nazivaju se surjekcije. Po definiciji vrijedi ako je Y slika f, ali to nije uvijek slučaj. Da bi bila inverzna, funkcija mora biti i injekcija i surjekcija. Takvi izrazi se nazivaju bijekcije.
Primjer: kvadratne i korijenske funkcije
Funkcija je definisana na [0, ∞) i data je formulom f (x)=x2.
Onda nije injektivan, jer svaki mogući ishod Y (osim 0) odgovara dva različita X - jedan pozitivan i jedan negativan, tako da nije reverzibilan. U ovom slučaju biće nemoguće dobiti početne podatke iz primljenih, što je u suprotnostiteorije. Neće biti injektivan.
Ako je domen definicije uslovno ograničen na nenegativne vrijednosti, onda će sve raditi kao i prije. Tada je bijektivan i stoga invertibilan. Inverzna funkcija se ovdje naziva pozitivnom.
Napomena o unosu
Neka oznaka f -1 (x) može zbuniti osobu, ali ni u kom slučaju se ne smije koristiti ovako: (f (x)) - 1 . Odnosi se na potpuno drugačiji matematički koncept i nema nikakve veze s inverznom funkcijom.
Kao opšte pravilo, neki autori koriste izraze kao što su sin-1 (x).
Međutim, drugi matematičari vjeruju da to može izazvati zabunu. Da bi se izbjegle takve poteškoće, inverzne trigonometrijske funkcije često se označavaju prefiksom "luk" (od latinskog luka). U našem slučaju govorimo o arksinusu. Također povremeno možete vidjeti prefiks "ar" ili "inv" za neke druge funkcije.
