Kolika je simetrala ugla trougla? Na ovo pitanje nekima izbija poznata izreka: "Ovo je pacov koji trči po uglovima i dijeli ugao na pola." Ako bi odgovor trebao biti "sa humorom", onda je možda i tačan. Ali sa naučne tačke gledišta, odgovor na ovo pitanje trebao je zvučati otprilike ovako: "Ovo je zraka koja počinje od vrha ugla i dijeli ga na dva jednaka dijela." U geometriji se ova figura također doživljava kao segment simetrale sve dok se ne siječe sa suprotnom stranom trougla. Ovo nije pogrešno mišljenje. Šta se još zna o simetrali ugla, osim njene definicije?
Kao i svaki lokus tačaka, on ima svoje karakteristike. Prvi od njih prije nije čak ni znak, već teorema koja se može ukratko izraziti na sljedeći način: "Ako simetrala podijeli suprotnu stranu na dva dijela, tada će njihov omjer odgovarati omjeru stranica velikogtrokut".
Drugo svojstvo koje ima: presečna tačka simetrala svih uglova naziva se centar.
Treći znak: simetrale jednog unutrašnjeg i dva vanjska ugla trougla seku se u centru jednog od tri upisana kruga u njemu.
Četvrto svojstvo simetrale ugla trougla je da ako je svaki od njih jednak, onda je posljednji jednakokračan.
Peti znak se takođe odnosi na jednakokraki trokut i glavna je smjernica za njegovo prepoznavanje na crtežu po simetralama, naime: u jednakokračnom trouglu on istovremeno djeluje kao medijana i visina.
Simetrala ugla može se konstruisati pomoću šestara i ravnala:
Šesto pravilo kaže da je nemoguće konstruisati trokut koristeći potonje samo sa dostupnim simetralama, kao što je nemoguće konstruirati udvostručenje kocke, kvadrata kruga i trisekcije ugla na ovaj način. Strogo govoreći, ovo su sva svojstva simetrale ugla trougla.
Ako pažljivo pročitate prethodni pasus, možda vas zanima jedna fraza. "Šta je trisekcija ugla?" - sigurno ćete pitati. Trisektrisa je malo slična simetrali, ali ako nacrtate potonju, tada će ugao biti podijeljen na dva jednaka dijela, a kada se konstruira trisekcija, natri. Naravno, simetralu ugla je lakše zapamtiti, jer se trisekcija ne uči u školi. Ali radi kompletnosti, ispričat ću vam o njoj.
Trisektor, kao što rekoh, ne može se izgraditi samo sa šestarom i ravnalom, ali se može napraviti koristeći Fujita pravila i neke krivulje: Pascalove puževe, kvadrature, Nikomedove konhoide, konusne preseke, Arhimedove spirale.
Problemi sa trisekcijom ugla su jednostavno riješeni korištenjem nevsis-a.
U geometriji postoji teorema o trisektorima ugla. Zove se Morleyeva (Morleyeva) teorema. Ona kaže da će tačke preseka trisektora srednje tačke svakog ugla biti vrhovi jednakostraničnog trougla.
Mali crni trokut unutar velikog će uvijek biti jednakostraničan. Ovu teoremu je otkrio britanski naučnik Frank Morley 1904.
Evo svega što treba naučiti o dijeljenju ugla: trisektor i simetrala ugla uvijek zahtijevaju detaljna objašnjenja. Ali ovdje su date mnoge definicije koje još nisam otkrio: Pascalov puž, Nikomedov konhoid itd. Ne budite zabune, o njima se može više pisati.
