Pitagora je tvrdio da broj leži u osnovi svijeta zajedno sa osnovnim elementima. Platon je vjerovao da broj povezuje fenomen i noumen, pomaže u spoznaji, mjerenju i donošenju zaključaka. Aritmetika dolazi od riječi "arithmos" - broj, početak početaka u matematici. Može opisati bilo koji objekt - od elementarne jabuke do apstraktnih prostora.
Potrebe kao razvojni faktor
U ranim fazama formiranja društva, potrebe ljudi su bile ograničene na potrebu da se broje - jedna vreća žita, dvije vreće žita, itd. Za to su bili dovoljni prirodni brojevi čiji je skup beskonačan pozitivan niz cijelih brojeva N.
Kasnije, razvojem matematike kao nauke, pojavila se potreba za posebnim poljem cijelih brojeva Z - ono uključuje negativne vrijednosti i nulu. Njegovu pojavu na nivou domaćinstva izazvala je činjenica da je u primarnom računovodstvu bilo potrebno nekako popravitidugove i gubitke. Na naučnom nivou, negativni brojevi su omogućili rješavanje najjednostavnijih linearnih jednačina. Između ostalog, sada je moguća slika trivijalnog koordinatnog sistema, pošto se pojavila referentna tačka.
Sljedeći korak bila je potreba za uvođenjem razlomaka, budući da nauka nije mirovala, sve više i više otkrića zahtijevalo je teorijsku osnovu za novi poticaj rasta. Ovako se pojavilo polje racionalnih brojeva Q.
Konačno, racionalnost je prestala da zadovoljava zahtjeve, jer su svi novi zaključci zahtijevali opravdanje. Pojavilo se polje realnih brojeva R, Euklidovi radovi o nesamerljivosti određenih veličina zbog njihove iracionalnosti. Odnosno, drevni grčki matematičari pozicionirali su broj ne samo kao konstantu, već i kao apstraktnu veličinu, koju karakterizira omjer nesamjerljivih veličina. Zbog činjenice da su se pojavili realni brojevi, veličine kao što su "pi" i "e" "ugledale su svjetlo", bez kojih se moderna matematika ne bi mogla održati.
Posljednja inovacija bio je kompleksni broj C. On je odgovorio na brojna pitanja i opovrgao prethodno uvedene postulate. Zbog brzog razvoja algebre, ishod je bio predvidljiv - sa realnim brojevima, rješavanje mnogih problema bilo je nemoguće. Na primjer, zahvaljujući kompleksnim brojevima, teorija struna i haosa se istakla, a jednadžbe hidrodinamike su se proširile.
Teorija skupova. Cantor
Koncept beskonačnosti u svakom trenutkuizazvalo je kontroverzu, jer se nije moglo ni dokazati ni opovrgnuti. U kontekstu matematike, koja je operisala sa strogo verifikovanim postulatima, to se najjasnije ispoljavalo, pogotovo što je teološki aspekt još uvek imao težinu u nauci.
Međutim, zahvaljujući radu matematičara Georga Kantora, sve je s vremenom sjelo na svoje mjesto. On je dokazao da postoji beskonačan broj beskonačnih skupova i da je polje R veće od polja N, čak i ako oba nemaju kraj. Sredinom 19. veka njegove ideje su glasno nazivane besmislicom i zločinom protiv klasičnih, nepokolebljivih kanona, ali vreme je sve stavilo na svoje mesto.
Osnovna svojstva polja R
Realni brojevi ne samo da imaju ista svojstva kao podskupovi koji su uključeni u njih, već su i dopunjeni drugim zbog skale njihovih elemenata:
- Nula postoji i pripada polju R. c + 0=c za bilo koje c iz R.
- Nula postoji i pripada polju R. c x 0=0 za bilo koje c iz R.
- Relacija c: d za d ≠ 0 postoji i vrijedi za bilo koje c, d iz R.
- Polje R je uređeno, odnosno ako je c ≦ d, d ≦ c, tada je c=d za bilo koje c, d iz R.
- Sabiranje u polju R je komutativno, tj. c + d=d + c za bilo koje c, d iz R.
- Množenje u polju R je komutativno, tj. c x d=d x c za bilo koje c, d iz R.
- Sabiranje u polju R je asocijativno, tj. (c + d) + f=c + (d + f) za bilo koje c, d, f iz R.
- Množenje u polju R je asocijativno, tj. (c x d) x f=c x (d x f) za bilo koje c, d, f iz R.
- Za svaki broj u polju R postoji suprotnost, takva da je c + (-c)=0, gdje je c, -c iz R.
- Za svaki broj iz polja R postoji njegov inverz, tako da je c x c-1 =1, gdje je c, c-1 od R.
- Jedinica postoji i pripada R, tako da je c x 1=c, za bilo koje c iz R.
- Zakon distribucije je važeći, pa c x (d + f)=c x d + c x f, za bilo koje c, d, f iz R.
- U polju R, nula nije jednaka jedan.
- Polje R je tranzitivno: ako je c ≦ d, d ≦ f, onda c ≦ f za bilo koje c, d, f iz R.
- U polju R, poredak i sabiranje su povezani: ako je c ≦ d, onda c + f ≦ d + f za bilo koje c, d, f iz R.
- U polju R, poredak i množenje su povezani: ako je 0 ≦ c, 0 ≦ d, onda je 0 ≦ c x d za bilo koje c, d iz R.
- I negativni i pozitivni realni brojevi su kontinuirani, to jest, za bilo koje c, d iz R postoji f iz R tako da je c ≦ f ≦ d.
Modul u polju R
Realni brojevi uključuju modul.
Označeno kao |f| za bilo koje f iz R. |f|=f ako je 0 ≦ f i |f|=-f ako je 0 > f. Ako modul smatramo geometrijskom veličinom, onda je to pređeni put - nije važno da li ste "prešli" nulu na minus ili naprijed na plus.
Kompleksni i realni brojevi. Koje su sličnosti, a koje razlike?
Uglavnom, kompleksni i realni brojevi su jedan te isti, osim togaimaginarna jedinica i, čiji je kvadrat -1. Elementi polja R i C mogu se predstaviti sljedećom formulom:
c=d + f x i, gdje d, f pripadaju polju R i i je imaginarna jedinica
Da biste dobili c od R u ovom slučaju, f je jednostavno postavljeno na nulu, to jest, ostaje samo pravi dio broja. Zbog činjenice da polje kompleksnih brojeva ima isti skup svojstava kao polje realnih brojeva, f x i=0 ako je f=0.
Što se tiče praktičnih razlika, na primjer, u polju R, kvadratna jednačina se ne rješava ako je diskriminanta negativna, dok polje C ne nameće takvo ograničenje zbog uvođenja imaginarne jedinice i.
Rezultati
"Cigle" aksioma i postulata na kojima se temelji matematika se ne mijenjaju. Zbog povećanja informiranosti i uvođenja novih teorija, na neke od njih se postavljaju sljedeće "cigle", koje u budućnosti mogu postati osnova za sljedeći korak. Na primjer, prirodni brojevi, uprkos činjenici da su podskup realnog polja R, ne gube svoju relevantnost. Na njima se zasniva sva elementarna aritmetika, s kojom počinje ljudsko poznavanje svijeta.
S praktične tačke gledišta, realni brojevi izgledaju kao prava linija. Na njemu možete odabrati smjer, označiti ishodište i korak. Prava linija se sastoji od beskonačnog broja tačaka, od kojih svaka odgovara jednom realnom broju, bez obzira da li je racionalan ili ne. Iz opisa je jasno da je riječ o konceptu na kojem se grade i matematika općenito i matematička analiza općenito.posebno.
