Aksiomatska metoda je način izgradnje naučnih teorija koje su već uspostavljene. Zasniva se na argumentima, činjenicama, izjavama koje ne zahtijevaju dokaz ili pobijanje. Zapravo, ova verzija znanja je predstavljena u obliku deduktivne strukture, koja u početku uključuje logičku potkrepu sadržaja iz osnova - aksioma.
Ova metoda ne može biti otkriće, već je samo koncept klasifikacije. Pogodnije je za nastavu. Osnova sadrži početne odredbe, a ostale informacije slijede kao logična posljedica. Gdje je aksiomatska metoda izgradnje teorije? Ona leži u srži najsavremenijih i etabliranih nauka.
Formiranje i razvoj koncepta aksiomatske metode, definicija riječi
Pre svega, ovaj koncept je nastao u staroj Grčkoj zahvaljujući Euklidu. Postao je osnivač aksiomatske metode u geometriji. Danas je to uobičajeno u svim naukama, ali najviše u matematici. Ova metoda je formirana na osnovu utvrđenih izjava, a naknadne teorije su izvedene logičkom konstrukcijom.
Ovo se objašnjava na sljedeći način: postoje riječi i koncepti kojidefinisane drugim terminima. Kao rezultat toga, istraživači su došli do zaključka da postoje elementarni zaključci koji su opravdani i konstantni - osnovni, odnosno aksiomi. Na primjer, kada dokazuju teoremu, obično se oslanjaju na činjenice koje su već dobro utvrđene i ne zahtijevaju pobijanje.
Međutim, prije toga ih je trebalo potkrijepiti. U tom procesu ispada da se nerazumna izjava uzima kao aksiom. Na osnovu skupa konstantnih koncepata, dokazuju se i druge teoreme. Oni čine osnovu planimetrije i logička su struktura geometrije. Utemeljeni aksiomi u ovoj nauci se definišu kao objekti bilo koje prirode. Oni, zauzvrat, imaju svojstva koja su specificirana u konstantnim konceptima.
Dalje istraživanje aksioma
Metoda se smatrala idealnom sve do devetnaestog veka. Logička sredstva traženja osnovnih pojmova tada se nisu proučavala, ali se u Euklidskom sistemu može uočiti struktura dobijanja smislenih posledica iz aksiomatske metode. Istraživanje naučnika pokazalo je ideju kako doći do kompletnog sistema geometrijskog znanja zasnovanog na čisto deduktivnom putu. Ponuđen im je relativno mali broj potvrđenih aksioma koji su dokazano istiniti.
Zasluge starogrčkih umova
Euklid je dokazao mnoge koncepte, a neki od njih su bili opravdani. Međutim, većina ove zasluge pripisuje Pitagori, Demokritu i Hipokratu. Potonji je sastavio kompletan kurs geometrije. Istina, kasnije u Aleksandriji izašaozbirka "Početak", čiji je autor bio Euklid. Zatim je preimenovana u "Elementarna geometrija". Nakon nekog vremena počeli su da ga kritikuju iz nekih razloga:
- sve vrijednosti su izgrađene samo pomoću ravnala i šestara;
- geometrija i aritmetika su razdvojeni i dokazani validnim brojevima i konceptima;
- aksiomi, neki od njih, posebno peti postulat, predloženo je da se izbrišu sa opšte liste.
Kao rezultat, neeuklidska geometrija se pojavljuje u 19. veku, u kojoj ne postoji objektivno istinit postulat. Ova akcija dala je podsticaj daljem razvoju geometrijskog sistema. Tako su matematički istraživači došli do deduktivnih metoda konstrukcije.
Razvoj matematičkog znanja na osnovu aksioma
Kada je počeo da se razvija novi sistem geometrije, promenila se i aksiomatska metoda. U matematici su se počeli sve češće okretati čisto deduktivnoj teorijskoj konstrukciji. Kao rezultat toga, u modernoj numeričkoj logici nastao je čitav sistem dokaza, koji je glavni dio cijele nauke. U matematičkoj strukturi počeo je shvaćati potrebu za opravdanjem.
Tako su do kraja stoljeća formirani jasni zadaci i konstrukcija složenih koncepata, koji su iz složene teoreme svedeni na najjednostavniji logički iskaz. Tako je neeuklidska geometrija stimulisala čvrst temelj za dalje postojanje aksiomatske metode, kao i za rešavanje problema opšte prirode.matematičke konstrukcije:
- konzistentnost;
- puna;
- nezavisnost.
U tom procesu pojavila se i uspješno razvijena metoda interpretacije. Ova metoda je opisana na sljedeći način: za svaki izlazni koncept u teoriji postavlja se matematički objekt čija se sveukupnost naziva polje. Izjava o navedenim elementima može biti lažna ili istinita. Kao rezultat toga, izjave se imenuju u zavisnosti od zaključaka.
Karakteristike teorije interpretacije
Po pravilu, polje i svojstva se takođe razmatraju u matematičkom sistemu, a on zauzvrat može postati aksiomatičan. Tumačenje dokazuje iskaze u kojima postoji relativna konzistentnost. Dodatna opcija je niz činjenica u kojima teorija postaje kontradiktorna.
Zapravo, uslov je u nekim slučajevima ispunjen. Kao rezultat toga, ispada da ako postoje dva lažna ili istinita koncepta u izjavama jedne od izjava, onda se ona smatra negativnim ili pozitivnim. Ova metoda je korištena za dokazivanje konzistentnosti Euklidove geometrije. Koristeći interpretativni metod, može se riješiti pitanje nezavisnosti sistema aksioma. Ako trebate opovrgnuti bilo koju teoriju, onda je dovoljno dokazati da jedan od koncepata nije izveden iz drugog i da je pogrešan.
Međutim, pored uspješnih izjava, metoda ima i slabosti. Konzistentnost i nezavisnost sistema aksioma rešavaju se kao pitanja koja dobijaju relativne rezultate. Jedino važno dostignuće interpretacije jeotkriće uloge aritmetike kao strukture u kojoj se pitanje konzistentnosti svodi na niz drugih nauka.
Savremeni razvoj aksiomatske matematike
Aksiomatska metoda počela se razvijati u Gilbertovom radu. U njegovoj školi je razjašnjen sam pojam teorije i formalnog sistema. Kao rezultat toga, nastao je opći sistem, a matematički objekti su postali precizni. Osim toga, postalo je moguće riješiti pitanja opravdanosti. Dakle, formalni sistem je konstruisan pomoću tačno određene klase, koja sadrži podsisteme formula i teorema.
Da biste izgradili ovu strukturu, samo trebate biti vođeni tehničkom pogodnošću, jer nemaju semantičko opterećenje. Mogu biti ispisane znakovima, simbolima. Naime, sam sistem je izgrađen na način da se formalna teorija može adekvatno i u potpunosti primijeniti.
Kao rezultat toga, određeni matematički cilj ili zadatak se sipa u teoriju zasnovanu na činjeničnom sadržaju ili deduktivnom zaključivanju. Jezik numeričke nauke se prenosi u formalni sistem, pri čemu se svaki konkretan i smislen izraz određuje formulom.
Metoda formalizacije
U prirodnom stanju stvari, takav metod će moći da reši takva globalna pitanja kao što je doslednost, kao i da izgradi pozitivnu suštinu matematičkih teorija prema izvedenim formulama. A u suštini sve će to biti riješeno formalnim sistemom zasnovanim na dokazanim izjavama. Matematičke teorije su se stalno komplikovale opravdanjima, iGilbert je predložio da se ova struktura istraži korištenjem konačnih metoda. Ali ovaj program nije uspio. Gedelovi rezultati već u dvadesetom veku doveli su do sledećih zaključaka:
- prirodna konzistentnost je nemoguća zbog činjenice da će formalizovana aritmetika ili druga slična nauka iz ovog sistema biti nepotpuna;
- pojavile su se nerješive formule;
- tvrdnje su nedokazive.
Istinite prosudbe i razumna konačna završna obrada se smatraju formalizacijskim. Imajući ovo na umu, aksiomatska metoda ima određene i jasne granice i mogućnosti unutar ove teorije.
Rezultati razvoja aksioma u radovima matematičara
Uprkos činjenici da su neki sudovi opovrgnuti i nisu pravilno razvijeni, metoda konstantnih koncepata igra značajnu ulogu u oblikovanju temelja matematike. Osim toga, interpretacija i aksiomatska metoda u nauci su otkrili fundamentalne rezultate konzistentnosti, nezavisnosti izjava o izboru i hipoteza u višestrukoj teoriji.
U rješavanju pitanja konzistentnosti, glavna stvar je primijeniti ne samo utvrđene koncepte. Također ih je potrebno dopuniti idejama, konceptima i sredstvima konačne završne obrade. U ovom slučaju se razmatraju različiti pogledi, metode, teorije, koje treba da uzmu u obzir logički smisao i opravdanost.
Doslednost formalnog sistema ukazuje na sličnu doradu aritmetike, koja se zasniva na indukciji, brojanju, transfinitnom broju. U naučnom polju aksiomatizacija je najvažnijaalat koji ima nepobitne koncepte i izjave koje se uzimaju kao osnova.
Suština početnih izjava i njihova uloga u teorijama
Evaluacija aksiomatske metode ukazuje da neka struktura leži u njenoj suštini. Ovaj sistem je izgrađen od identifikacije osnovnog koncepta i osnovnih izjava koje su nedefinirane. Ista stvar se dešava sa teoremama koje se smatraju originalnim i prihvataju se bez dokaza. U prirodnim naukama takve izjave su potkrijepljene pravilima, pretpostavkama, zakonima.
Tada se odvija proces fiksiranja uspostavljenih osnova rasuđivanja. Po pravilu se odmah ukazuje da se iz jedne pozicije izvodi drugi, a pritom izlaze ostali, koji se, u suštini, poklapaju sa deduktivnim metodom.
Karakteristike sistema u modernim vremenima
Aksiomatski sistem uključuje:
- logični zaključci;
- izrazi i definicije;
- djelimično netačne izjave i koncepti.
U modernoj nauci, ova metoda je izgubila svoju apstraktnost. Euklidska geometrijska aksiomatizacija bila je zasnovana na intuitivnim i istinitim propozicijama. I teorija je interpretirana na jedinstven, prirodan način. Danas je aksiom odredba koja je sama po sebi očigledna, a sporazum, i svaki sporazum, može djelovati kao početni koncept koji ne zahtijeva opravdanje. Kao rezultat toga, izvorne vrijednosti mogu biti daleko od opisnih. Ova metoda zahtijeva kreativnost, poznavanje odnosa i temeljne teorije.
Osnovni principi izvođenja zaključaka
Deduktivno aksiomatska metoda je naučno znanje, izgrađeno prema određenoj shemi, koje se zasniva na ispravno realizovanim hipotezama, izvodeći iskaze o empirijskim činjenicama. Takav zaključak se gradi na osnovu logičkih struktura, čvrstim izvođenjem. Aksiomi su u početku nepobitne tvrdnje koje ne zahtijevaju dokaz.
Tokom dedukcije, određeni zahtjevi se primjenjuju na početne koncepte: konzistentnost, potpunost, nezavisnost. Kao što praksa pokazuje, prvi uslov je zasnovan na formalnom logičkom znanju. Odnosno, teorija ne bi trebala imati značenja istine i laži, jer više neće imati značenje i vrijednost.
Ako ovaj uslov nije ispunjen, onda se smatra nekompatibilnim i gubi se svako značenje u njemu, jer se gubi semantičko opterećenje između istine i laži. Deduktivno, aksiomatska metoda je način izgradnje i potvrđivanja naučnog znanja.
Praktična primjena metode
Aksiomatska metoda konstruisanja naučnog znanja ima praktičnu primenu. Zapravo, ovaj način utiče i ima globalni značaj za matematiku, iako je ovo znanje već dostiglo svoj vrhunac. Primjeri aksiomatske metode su sljedeći:
- afine ravni imaju tri izjave i definiciju;
- teorija ekvivalencije ima tri dokaza;
- binarni odnosi su podijeljeni u sistem definicija, koncepata i dodatnih vježbi.
Ako želite da formulišete originalno značenje, morate znati prirodu skupova i elemenata. U suštini, aksiomatska metoda je formirala osnovu različitih oblasti nauke.
