Diferencijacija i integracija: definicija, koncept, forme

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Zadnja izmjena: 2024-01-08 04:56

Diferencijacija i integracija su jednadžbe koje sadrže derivate. Potonji se, ako se držimo matematičkih svojstava, dijele na obične i privatne. Derivati predstavljaju stopu promjene, a diferencijalna jednačina opisuje odnos između veličine koja se stalno mijenja tokom procesa rješenja, formirajući nove varijable.

Univerzitetski profesor može lako da se kreće po složenim operacijama sa integralima, da ih pretvori u jednu celinu, a zatim da dokaže račun inverznom metodom. Međutim, mogućnost brzog prisjećanja detalja složenih formula nije dostupna svima, pa se preporučuje da osvježite pamćenje ili otkrijete novi materijal.

Značenje i glavna upotreba

U naučnoj literaturi, derivat je definiran kao stopa koja podliježe transformaciji funkcije na osnovu jedne od njenih varijabli. Diferencijacija je suština računa, koja se može uporediti sa početkom traženja tangente na tačku. Kao što znate, potonji ima različite vrste izahtijeva računske formule za pretraživanje. Pretpostavimo da trebate pronaći nagib tangente na graf u tački P. Kako to učiniti? Dovoljno je provući lučnu traku kroz označeni objekt i podići je dok ne dobijemo liniju cijepanja.

Funkcija f na x naziva se diferencijabilnom u tački x=a ako derivacija f '(a) postoji na svakoj oznaci njenog domena. Hajde da demonstriramo primjer:

f '(a)=lim (h=0) × f(a + h) – f(a)/h

Da bi se jednačina podvrgla diferencijaciji i integraciji funkcija tako da njena lokacija postane moguća u bilo kojoj tački x, ne smije se prekidati. Izgradnjom šematske slike unaprijed, možete provjeriti valjanost izjave. Iz tog razloga je domen f'(x) definisan postojanjem svojih granica.

Pretpostavimo da je y=f(x) funkcija od x, tada je derivacija f(x) data kao dy/dx. Definiše se i kao linearna jednačina, gdje je potrebno pronaći potrebne podatke o y.

Međutim, ako tražimo izvod od y u prvom slučaju, onda u sljedećem slučaju moramo pronaći f(x) od x.

d/dx × (f(x)) l_a ili df/dx l_a

Slijedom toga, oznaka brzine promjene funkcije f(x) u odnosu na x u tački a koja leži na njenoj površini.

Ako znamo izvod f', koji je diferencibilan u svom domenu, tada možemo pronaći njegovu vrijednost f. U integralnom računu, f nazivamo antiderivatom ili primitivom funkcije f'. Metoda njegovog izračunavanja poznata je kao antidiferencijacija.ili integracija.

Vrste i oblici

Jednačina sa jednim ili više pojmova koja uključuje derivate zavisne varijable u odnosu na nezavisnu je poznata kao diferencijal. Drugim riječima, sastoji se od skupa brojčanih vrijednosti, običnih ili privatnih, podložnih promjenama u procesu rješenja.

Trenutno postoje sljedeće vrste diferencijalnih jednačina.

Ordinary. Jednostavna jednakost direktno zavisna od varijable:

dy/dx + 5x=5y

Djelomični derivati:

dy/dx + dy/dt=x³-t³

d²y/dx² – c² × d² y/dt²

Najveći koeficijent. Ovu vrstu karakterizira učešće u redoslijedu diferencijalne jednadžbe, kao što je prikazano u primjeru ispod, gdje je jednako 3. Broj se smatra najvećim od prisutnih:

d³y/dx^{2 + 5 × dy/dx + y=√x}

Funkcije mogu imati nekoliko oblika, međutim, poželjno je koristiti jedan navodnik sa karakterističnim formulama integracije i diferencijacije.

y’=dy/dx

y''=d²y/dx²

y'''=d³y/dx³

Linear. Varijabla u jednadžbi je podignuta na stepen jedan. Grafikon ove vrste funkcije je obično prava linija. Na primjer, (3x + 5), ali (x³ + 4x^{2) nije ovog tipa jer zahtijeva drugačije rješenje.}

dy/dx + xy=5x

Nelinearno. Svaka integracija i diferencijacija nizova sa dvojnim načinima dobijanja jednakosti - pogledajte razmatrani oblik:

d²y/dx^{2- ln y=10}

Metode za brzo dobijanje rezultata

Nije dovoljno pogledati formular da bi shvatili kako se snaći i primijeniti stečeno znanje u praksi. Trenutno postoji nekoliko načina za rješavanje diferencijalne jednadžbe.

Ovo je:

1. Varijabilno razdvajanje. Izvršava se kada se primjer može nacrtati kao dy / dx=f(y) g(x). Posebnost je u činjenici da su f i g funkcije koje pripadaju njihovim vrijednostima. Zbog toga problem treba transformisati: 1/ f(y) dy=g(x) dx. I tek onda idite na sljedeću stavku.
2. Metoda integrativnog faktora. Koristi se kada je primjer dy / dx + p(x) y=q(x), gdje su p i q funkcije samo od x.

Diferencijalni proračuni prvog reda izgledaju kao y'+ P(x) y=Q(x) jer sadrže potrebne funkcije i derivaciju od y. Naknadno povećanje imena radi na istom principu. Na primjer, derivati nepoznate funkcije mogu biti i privatni i obični.

Neodređeni integrali

Ako vam je data brzina vašeg bicikla kada idete na vožnju, u zavisnosti od vremena - možete li izračunati pređenu udaljenost koristeći potrošene minute? Ovaj zadatak izgleda kao ogroman teret, ali integralnipomozite da se što efikasnije nosite sa ovim svojstvima, postižući rezultat.

Naučna literatura naglašava da su oni suprotna strana diferencijacije. Zaista, integracija je metoda zbrajanja stvari. On povezuje čestice zajedno, stvarajući nešto novo - cjelinu. Glavna stvar u svakom sličnom primjeru je pronaći neodređene integrale i provjeriti rezultate integracije diferencijacijom. Ovo će pomoći da se izbjegnu nepotrebne greške.

Ako ćete pronaći površinu bilo koje nasumične krive, na primjer, y=f(x), onda koristite ovu metodu. Zapamtite da će vas samo pažnja spasiti od greške.

Formule za rješenje

Dakle, nakon što smo se upoznali sa osnovnim konceptom diferencijacije i integracije - inverznim proračunom kroz funkcije, potrebno je ukratko osvrnuti se na neke od osnova. Oni su navedeni ispod.

Osnovna pravila izračuna

Integrisane funkcije kao što je f (x) mogu se lako prevesti u jednakost ako se jednačina izrazi kao:

∫ f(x) dx=F(x) + C.

Ovdje se F (x) naziva antiderivativnim ili primitivnim. f(x) - integrand. dx - djeluje kao dodatni numerički agent. C je integrisana ili proizvoljna konstanta. x - djeluje ovisno o strani jednakosti.

Iz gornje izjave možemo zaključiti da su integracija i diferencijacija nizova dva suprotna procesa. Zajedno djeluju kao jedna od vrsta operacija kojima je ciljdobijanje konačnog rezultata na samoj jednadžbi.

Sada kada znamo više o karakteristikama računice, preporučuje se da istaknemo primarne razlike neophodne za dalje razumijevanje:

1. Diferencijacija i integracija mogu istovremeno zadovoljiti pravila linearnosti.
2. Operacije imaju za cilj pronalaženje najtačnijeg rješenja, međutim, podrazumijevaju ograničenja za njihovo određivanje.
3. Prilikom diferenciranja polinomskog primjera rezultat je za 1 manji od stepena funkcije, dok se u slučaju integracije dobijeni rezultat transformira u drugi, djelujući na suprotan način.
4. Dva tipa rješenja, kao što je ranije spomenuto, suprotne su jedna drugoj. Izračunavaju se korištenjem formula za integraciju i diferencijaciju.
5. Izvod bilo koje funkcije je jedinstven, ali, s druge strane, dva integrala, u jednom primjeru, mogu se razlikovati za konstantu. Upravo ovo pravilo predstavlja glavnu poteškoću tokom izvršavanja zadataka.
6. Kada imamo posla sa derivatima, možemo uzeti u obzir derivate u jednom trenutku. Slično kao integrali, oni pružaju funkcije u intervalu.
7. Geometrijski, derivacija opisuje brzinu promjene veličine u odnosu na drugu, dok neodređeni integral predstavlja krivu. Položen je u paralelnom smjeru, a također ima tangente kada se nazubljene linije sijeku s drugim ortogonalnim na os koja predstavlja promjenljivu.

Načini dodavanja

Ako imate problema s načinom na koji se primjenjuje zbrajanjematematičke operacije diferencijacije integracije, trebali biste se pažljivo upoznati sa osnovnim formulama. Oni su aksiom u nastavi, stoga se koriste svuda. Imajte na umu, kada se primjenjuju na vaše vlastite primjere, formule su tačne samo ako počinju sa i=1.

rešenje po komadu

Ponekad funkcija zahtijeva nestandardan pristup da bi se došlo do konačnog rezultata i zadovoljile uvjete jednakosti. Terminska integracija i diferencijacija nizova zasnovana je na identitetu, koji se izražava sa: ∫ f(x) g'(x) dx=f (x) g(x) - ∫ f'(x) g(x) dx

Algoritam razmatrane tehnike izgleda ovako:

1. Izrazite integrisanu funkciju kao proizvod dva izraza. Označimo jedan od njih f (x), drugi g' (x).
2. Sada nastavite da identifikujete dve druge formule koje se mogu primeniti u prvom paragrafu. Linija će se promijeniti. Diferencijacijom transformiramo f '(x) da dobijemo izraze f(x). Pređimo na drugi dio - g (x) je integriran u g'(x). U ovom slučaju, dx ostaje u svom izvornom obliku i ne koristi se.
3. Ubacite primljene izraze u formulu po dijelovima. Ovim je procedura završena, a sada možete pokušati procijeniti novi integral na desnoj strani, jer je postalo mnogo lakše razumjeti.

Ranije, ova metoda je uključivala integraciju po dijelovima pomoću matrice. Metoda je bila uspješna, ali je oduzela dosta vremena, jer se trenutno koristi rjeđe, posebnoslučajevima u kojima je rješenje gotovo nemoguće pronaći. Da biste to učinili, samo stavite f i g' u prvi red i izračunajte f' i g u drugi.

Zašto nam je potrebna integracija po dijelovima?

Situacije se dešavaju drugačije. Ponekad su rješenja mnogo teža nego na prvi pogled. Stoga je potrebno izdvojiti glavne probleme koji se često susreću pri integraciji pojam i diferencijaciji redova stepena. Uzmite u obzir dva osnovna pravila.

Prvo, deo koji nameravamo da integrišemo, odnosno onaj koji je izabran za g '(x), moramo biti u stanju da transformišemo. Važno je to učiniti što je prije moguće. Poenta je da kompleksna integracija za g rijetko dovodi do poboljšanog integrala, povećavajući složenost. Sve to negativno utiče na slobodu našeg delovanja prilikom donošenja odluka, a zavisi i od moći, sinusa i kosinusa. Neka treba vremena da se pronađe pravi odgovor, ali vodite do pravog, a ne do zbunjujućeg.

Drugo, sve ostalo, odnosno onaj dio koji namjeravamo diferencirati i označiti F, trebalo bi da se primjetno ističe nakon transformacije. Nakon jednostavne procedure, primijetit ćemo da će novi integral biti pojednostavljen od svog prethodnika.

Dakle, kada kombinujemo dva pravila i koristimo ih za rešavanje, dobijamo priliku da koristimo diferencijaciju i integraciju funkcija moći, što ima smisla razmotriti u delovima.

Postoji i način uklanjanja x, koji vam omogućava da efikasno koristite transformacije u raznimsituacije. Na primjer, možemo lako integrirati množenjem funkcije polinomom, koji poništavamo diferencijacijom.

∫ x^{2 sin(3x) dx}

∫ x^{7 cos(x) dx}

∫x⁴ e^{4x dx}

Za f uzimamo stepen x (u opštijem slučaju, polinom), a takođe koristimo g’. Očigledno, svaka diferencijacija smanjuje stepen broja za jedan, stoga, ako je u primjeru dovoljno visok, primijenite integraciju pojam nekoliko puta. Ovo će pomoći u uštedi vremena.

Složenost nekih jednačina

U ovom slučaju govorimo o diferencijaciji i integraciji stepena niza. Funkcija se može smatrati kao da je x površina intervala konvergencije tačaka. Istina, metoda nije prikladna za sve. Činjenica je da se bilo koja funkcija može izraziti kao niz stepena, pretvarajući se u linearnu strukturu i obrnuto.

Na primjer, s obzirom na e_{x. Možemo to izraziti kao jednačinu, koja je zapravo samo beskonačan polinom. Niz snage je lako vidjeti izračunavanjem, ali nije uvijek efikasan.}

Definitivni integral kao granica sume

Pogledajte sljedeću grafičku integraciju i diferencijaciju.

Da biste lako razumjeli složenu funkciju, dovoljno je razumjeti je temeljno. Procijenimo površinu PRSQP između krive y=f (x), x-ose i koordinata "x=a" i "x=b". Sada podijelite interval [a, b] na 'n' jednakih podintervala, označenih sljedećimovako:

[x₀, x₁], [x₁, x ₂], [x₂, x₃]…. [x_{n - 1}, x_].

Gdje je x₀=a, x₁=a + h, x₂=a + 2h, x₃=a + 3h….. x_r=a + rh i x =b=a + nh ili n=(b - a) / h. (jedan).

Zapazite da kao n → ∞ h → 0.

Razmatrani PRSQP prostor je zbir svih "n" poddomena, gdje je svaki definiran na određenoj osrednjosti [x_r-1, x_{r], r=1, 2, 3…n. Uz pravi pristup, ove funkcije se mogu razlikovati i integrirati za brzo rješenje.}

Sada pogledajte ABDM na slici. Na osnovu toga, preporučljivo je napraviti sljedeća zapažanja o područjima: (ABLC) < (ABDCA) < (ABDM).

Takođe imajte na umu da kada h → 0 ili x_r - x_{r-1 → 0, sve tri oblasti postaju skoro jednake jedna drugoj prijatelju. Dakle, imamo:}

s =h [f(x₀) + f(x₁) + f (x₂) + …. f(x_{n – 1})]=h _r=0∑^n–1 f(x r_{) (2)}

ili S =h [f(x₁) + f(x₂) + f(x₃) + …. f(x)]=h _r=1∑ f(x_{r) (3)}

U ovom slučaju, s i S označavaju zbir površina svih donjih i gornjih pravougaonika podignutih iznad intervala [h _r–1, x_{r] za r=1, 2, 3, …, n respektivno. Da bismo ovo stavili u perspektivu, jednačina (1) se može prepisati kaooblik:}

s < područje (PRSQP) < S_{… (4)}

Osim toga, pretpostavlja se da su granične vrijednosti (2) i (3) iste u oba slučaja, a zajednička je samo površina ispod krive. Kao rezultat, imamo:

lim_{n → ∞} S =lim_{n → ∞} s=PRSQP područja=∫_a^{b f(x) dx … (5)}

Površina je takođe granica prostora između pravougaonika ispod i iznad krive. Radi praktičnosti, obratite pažnju na visinu figure, jednaku krivulji na lijevoj ivici svakog podintervala. Stoga se jednadžba prepisuje u konačnu verziju:

∫_a^b f(x) dx=lim _{→ ∞h [f(a) + f(a + h) + …. + f(a + {n - 1}h)}

ili ∫_a^b f(x) dx=(b – a) lim_{n → ∞(1/n) [f(a) + f(a + h) + …. + f(a + {n - 1}h)}

Zaključak

Diferencijacija i integracija se razlikuju jedna od druge po brojnim svojstvima, formulama i suprotnim promjenama. Jedno se ne može transformisati u drugo bez pomoći. Ako diferencijacija pomaže u pronalaženju derivacije, onda integracija izvodi potpuno drugačiju radnju. Ona dodaje neke dijelove, može pomoći sa diplomama tako što će ih smanjiti ili poboljšati primjer pojednostavljivanjem.

Također se koristi za testiranje diferenciranih jednačina. Drugim riječima, djeluju kao jedinstvena cjelina koja ne može koegzistirati odvojeno, jer se međusobno nadopunjuju. Primjenjujući pravila, poznavajući mnoge tehnike, sada ćete sigurno riješitiizazovni zadaci.