Površine 2. reda: primjeri

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Zadnja izmjena: 2024-01-02 17:42

Student se najčešće susreće sa površinama 2. reda u prvoj godini. U početku, zadaci na ovu temu mogu izgledati jednostavni, ali kako proučavate višu matematiku i produbljujete u naučnu stranu, konačno možete prestati da se orijentirate u ono što se događa. Da se to ne bi dogodilo, potrebno je ne samo zapamtiti, već i razumjeti kako se dobija ova ili ona površina, kako promjena koeficijenata utiče na nju i njenu lokaciju u odnosu na originalni koordinatni sistem i kako pronaći novi sistem. (onaj u kojem se njegov centar poklapa sa koordinatama ishodišta, a osa simetrije je paralelna s jednom od koordinatnih osa). Počnimo od početka.

Definicija

GMT se naziva površina drugog reda, čije koordinate zadovoljavaju opću jednačinu sljedećeg oblika:

F(x, y, z)=0.

Jasno je da svaka tačka koja pripada površini mora imati tri koordinate u nekoj određenoj bazi. Iako u nekim slučajevima lokus tačaka može degenerirati, na primjer, u ravan. To samo znači da je jedna od koordinata konstantna i jednaka nuli u cijelom rasponu prihvatljivih vrijednosti.

Puna oslikana forma gore pomenute jednakosti izgleda ovako:

A₁₁x²+A₂₂y² +A₃₃z²+2A₁₂xy+2A_{23 yz+2A}13_xz+2A14_x+2A24_{y+2A 34}z+A₄₄=0.

A_{nm – neke konstante, x, y, z – varijable koje odgovaraju afinim koordinatama neke tačke. U ovom slučaju, barem jedan od konstantnih faktora ne smije biti jednak nuli, odnosno nijedna tačka neće odgovarati jednačini.}

U velikoj većini primjera, mnogi brojčani faktori su još uvijek identično jednaki nuli, a jednačina je uvelike pojednostavljena. U praksi nije teško utvrditi pripada li tačka nekoj površini (dovoljno je u jednadžbu zamijeniti njene koordinate i provjeriti da li se taj identitet poštuje). Ključna stvar u takvom radu je da se ovo potonje dovede u kanonski oblik.

Gore napisana jednačina definira sve (sve navedene ispod) površine 2. reda. U nastavku ćemo razmotriti primjere.

Vrste površina 2. reda

Jednačine površina 2. reda razlikuju se samo u vrijednostima koeficijenata A_{nm. Općenito gledano, za određene vrijednosti konstanti mogu se dobiti različite površine, klasificirane na sljedeći način:}

1. Cilindri.
2. Eliptični tip.
3. Hiperbolički tip.
4. konusni tip.
5. Parabolični tip.
6. Avioni.

Svaki od navedenih tipova ima prirodnu i imaginarnu formu: u imaginarnom obliku, lokus realnih tačaka ili degeneriše u jednostavniju figuru, ili je potpuno odsutan.

Cilindri

Ovo je najjednostavniji tip, budući da relativno složena kriva leži samo u osnovi i služi kao vodič. Generatori su prave linije okomite na ravan u kojoj leži baza.

Grafikon prikazuje kružni cilindar, poseban slučaj eliptičnog cilindra. U ravni XY, njena projekcija će biti elipsa (u našem slučaju krug) - vodilica, a u XZ - pravougaonik - budući da su generatori paralelni osi Z. Da biste to dobili iz opšte jednačine, potrebno je da se koeficijenti daju sljedeće vrijednosti:

Umjesto uobičajenih simbola x, y, z, x koristi se serijski broj - nije bitno.

U stvari, 1/a2i ostale konstante koje su ovdje naznačene su isti koeficijenti navedeni u opštoj jednačini, ali je uobičajeno pisati ih u ovom obliku - ovo je kanonska reprezentacija. Nadalje, koristit će se samo takva oznaka.

Ovako je definisan hiperbolički cilindar. Shema je ista - hiperbola će biti vodič.

y2=2px

Parabolički cilindar je definisan nešto drugačije: njegov kanonski oblik uključuje koeficijent p, koji se naziva parametar. U stvari, koeficijent je jednak q=2p, ali je uobičajeno da se podijeli na dva prikazana faktora.

Postoji još jedan tip cilindra: imaginarni. Takvom cilindru ne pripada stvarna tačka. Opisuje se jednadžbomeliptični cilindar, ali umjesto jedinice je -1.

Eliptični tip

Elipsoid se može rastegnuti duž jedne od osi (duž koje zavisi od vrijednosti konstanti a, b, c, gore navedenih; očito je da će veći koeficijent odgovarati većoj osi).

Postoji i imaginarni elipsoid - pod uslovom da je zbir koordinata pomnožen koeficijentima -1:

Hiperboloidi

Kada se u jednoj od konstanti pojavi minus, jednačina elipsoida se pretvara u jednačinu hiperboloida sa jednim listom. Mora se shvatiti da ovaj minus ne mora biti lociran prije x₃ koordinate! On samo određuje koja će od osi biti os rotacije hiperboloida (ili paralelna s njim, od kada se dodatni pojmovi pojave u kvadratu (na primjer, (x-2)^{2) središte figure se pomiče, kao rezultat toga, površina se kreće paralelno s koordinatnim osa). Ovo se odnosi na sve površine 2. reda.}

Osim toga, morate shvatiti da su jednačine predstavljene u kanonskom obliku i da se mogu mijenjati variranjem konstanti (sa očuvanim predznakom!); dok će njihov oblik (hiperboloid, konus i tako dalje) ostati isti.

Ovu jednačinu već daje hiperboloid sa dva lista.

Konična površina

Ne postoji jedinica u jednadžbi konusa - jednakost nuli.

Samo ograničena konusna površina naziva se konus. Slika ispod pokazuje da će, u stvari, na grafikonu biti dva takozvana konusa.

Važna napomena: u svim razmatranim kanonskim jednačinama, konstante se podrazumevano uzimaju kao pozitivne. U suprotnom, znak može uticati na konačni grafikon.

Koordinatne ravni postaju ravni simetrije stošca, centar simetrije se nalazi na početku.

Postoje samo plusevi u jednadžbi imaginarnog konusa; posjeduje jedan jedini pravi bod.

Paraboloidi

Površine 2. reda u prostoru mogu poprimiti različite oblike čak i sa sličnim jednadžbama. Na primjer, postoje dvije vrste paraboloida.

x²/a²+y²/b^2=2z

Eliptični paraboloid, kada je Z osa okomita na crtež, biće projektovan u elipsu.

x²/a²-y²/b^2=2z

Hiperbolički paraboloid: sekcije sa ravnima paralelnim sa ZY će proizvoditi parabole, a sekcije sa ravnima paralelnim sa XY će proizvoditi hiperbole.

ukrštanje ravni

Postoje slučajevi kada se površine 2. reda degenerišu u ravan. Ovi avioni se mogu rasporediti na razne načine.

Prvo razmotrite ravnine koje se seku:

x²/a²-y²/b²⁼⁰

Ova modifikacija kanonske jednadžbe rezultira samo dvije ravnine koje se sijeku (imaginarno!); sve realne tačke su na osi koordinata koja nedostaje u jednadžbi (u kanonskoj - Z osi).

Paralelne ravni

y²=a²

Kada postoji samo jedna koordinata, površine 2. reda degenerišu se u par paralelnih ravni. Zapamtite, bilo koja druga varijabla može zauzeti mjesto Y; tada će se dobiti ravni paralelne sa drugim osama.

y²=−a²

U ovom slučaju, oni postaju zamišljeni.

Koincidirajući avioni

y2=0

Sa tako jednostavnom jednačinom, par ravni se degeneriše u jednu - poklapaju se.

Ne zaboravite da u slučaju trodimenzionalne baze, gornja jednadžba ne definira pravu liniju y=0! Nedostaju mu druge dvije varijable, ali to samo znači da je njihova vrijednost konstantna i jednaka nuli.

Zgrada

Jedan od najtežih zadataka za studenta je izrada površina 2. reda. Još je teže kretati se iz jednog koordinatnog sistema u drugi, s obzirom na uglove krivine u odnosu na ose i pomak centra. Ponovimo kako dosljedno odrediti budući pogled na crtež pomoću analitikenačin.

Da biste izgradili površinu drugog reda, trebate:

• dovedite jednadžbu u kanonski oblik;
• odredite vrstu površine koja se proučava;
• konstruirajte na osnovu vrijednosti koeficijenata.

U nastavku su sve vrste koje se razmatraju:

Za konsolidaciju, opišimo detaljno jedan primjer ove vrste zadatka.

Primjeri

Pretpostavimo da postoji jednačina:

3(x²-2x+1)+6y²+2z^{2+ 60y+144=0}

Dovedite ga u kanonski oblik. Izdvojimo pune kvadrate, odnosno rasporedimo raspoložive članove na način da su proširenje kvadrata zbira ili razlike. Na primjer: ako (a+1)²=a²+2a+1 onda a²+2a +1=(a+1)^{2. Mi ćemo izvršiti drugu operaciju. U ovom slučaju nije potrebno otvarati zagrade, jer će to samo zakomplicirati proračune, već je potrebno izvaditi zajednički faktor 6 (u zagradama sa punim kvadratom Y):}

3(x-1)²+6(y+5)²+2z²⁼⁶

Varijabla z se pojavljuje u ovom slučaju samo jednom - možete je ostaviti na miru za sada.

U ovoj fazi analiziramo jednačinu: svim nepoznanicama prethodi znak plus; kada se podijeli sa šest, ostaje jedan. Dakle, imamo jednačinu koja definira elipsoid.

Primjetite da je 144 rastavljeno u 150-6, nakon čega je -6 pomjereno udesno. Zašto je to moralo da se uradi na ovaj način? Očigledno, najveći djelitelj u ovom primjeru je -6, tako da nakon dijeljenja s njimjedan je lijevo na desnoj strani, potrebno je "odgoditi" tačno 6 od 144 (na činjenicu da treba biti desno ukazuje prisustvo slobodnog pojma - konstanta koja nije pomnožena nepoznatom).

Podijelite sve sa šest i dobijete kanonsku jednačinu elipsoida:

(x-1)²/2+(y+5)²/1+z^{2 /3=1}

U prethodno korišćenoj klasifikaciji površina 2. reda, poseban slučaj se razmatra kada je centar figure u početku koordinata. U ovom primjeru je offset.

Pretpostavljamo da je svaka zagrada sa nepoznanicama nova varijabla. To jest: a=x-1, b=y+5, c=z. U novim koordinatama centar elipsoida se poklapa sa tačkom (0, 0, 0), dakle, a=b=c=0, odakle je: x=1, y=-5, z=0. U početnim koordinatama, centar figure leži u tački (1, -5, 0).

Elipsoid će se dobiti iz dvije elipse: prve u XY ravni i druge u XZ ravni (ili YZ - nije važno). Koeficijenti kojima se dijele varijable kvadriraju se u kanonskoj jednadžbi. Stoga bi u gornjem primjeru bilo ispravnije podijeliti korijenom dva, jedan i korijenom tri.

Manja osa prve elipse, paralelna sa Y osom, je dva. Glavna os paralelna sa x-osom je dva korijena od dva. Mala osa druge elipse, paralelna sa Y osom, ostaje ista - jednaka je dva. A glavna os, paralelna sa Z osom, jednaka je dvama korijenima od tri.

Uz pomoć podataka dobijenih iz originalne jednačine pretvaranjem u kanonski oblik, možemo nacrtati elipsoid.

Sumiranje

Obrađeno u ovom člankutema je prilično opsežna, ali, u stvari, kao što sada vidite, nije mnogo komplikovana. Njegov razvoj se, zapravo, završava u trenutku kada zapamtite nazive i jednačine površina (i, naravno, kako izgledaju). U gornjem primjeru, detaljno smo raspravljali o svakom koraku, ali dovođenje jednadžbe u kanonski oblik zahtijeva minimalno znanje više matematike i ne bi trebalo da uzrokuje bilo kakve poteškoće za studenta.

Analiza budućeg rasporeda o postojećoj ravnopravnosti je već teži zadatak. Ali za njegovo uspješno rješenje, dovoljno je razumjeti kako se grade odgovarajuće krive drugog reda - elipse, parabole i druge.

Slučajevi degeneracije - još jednostavniji dio. Zbog odsustva nekih varijabli, ne samo da su proračuni pojednostavljeni, kao što je ranije spomenuto, već i sama konstrukcija.

Čim budete mogli pouzdano da imenujete sve vrste površina, varirajte konstante, pretvarajući graf u jedan ili drugi oblik - tema će biti savladana.

Uspeh u učenju!