Polinom, ili polinom - jedna od osnovnih algebarskih struktura, koja se nalazi u školi i višoj matematici. Proučavanje polinoma je najvažnija tema u kursu algebre, jer su, s jedne strane, polinomi prilično jednostavni u usporedbi s drugim vrstama funkcija, a s druge strane se široko koriste u rješavanju problema matematičke analize.. Dakle, šta je polinom?
Definicija
Definicija pojma polinom se može dati kroz koncept monoma, ili monoma.
Monom je izraz oblika cx1i1x2 i2 …x u. Ovdje s je konstanta, x1, x2, … x - varijable, i1, i2, … u - eksponenti varijabli. Tada je polinom bilo koji konačan zbir monoma.
Da biste razumjeli šta je polinom, možete pogledati konkretne primjere.
Kvadratni trinom, o kojem se detaljno govori u predmetu matematike 8. razreda, je polinom: ax2+bx+c.
Polinom sa dvije varijable može izgledati ovako: x2-xy+y2. Takvepolinom se također naziva nepotpunim kvadratom razlike između x i y.
Polinomske klasifikacije
Polinomski stepen
Za svaki monom u polinomu, pronađite zbir eksponenata i1+i2+…+in. Najveći zbir naziva se eksponent polinoma, a monom koji odgovara ovom zbiru naziva se najviši član.
Uzgred, svaka konstanta se može smatrati polinomom nulte stope.
Smanjeni i nereducirani polinomi
Ako je koeficijent c jednak 1 za najviši član, tada se daje polinom, inače nije.
Na primjer, izraz x2+2x+1 je redukovani polinom, a 2x2+2x+1 nije smanjen.
Homogeni i nehomogeni polinomi
Ako su stepeni svih članova polinoma jednaki, onda kažemo da je takav polinom homogen. Svi ostali polinomi se smatraju nehomogenim.
Homogeni polinomi: x2-xy+y2, xyz+x3 +y 3. Heterogeno: x+1, x2+y.
Postoje posebni nazivi za polinom od dva i tri člana: binom i trinom, redom.
Polinomi jedne varijable se dodeljuju u posebnu kategoriju.
Primjena polinoma jedne varijable
Polinomi jedne varijable aproksimiraju dobro kontinuirane funkcije različite složenosti iz jednog argumenta.
Činjenica je da se takvi polinomi mogu smatrati parcijalnim zbirom stepena niza, a kontinuirana funkcija može biti predstavljena kao niz sa proizvoljno malom greškom. Redovi proširenja funkcije nazivaju se Taylorovi redovi i njihoviparcijalne sume u obliku polinoma - Taylor polinomi.
Grafičko proučavanje ponašanja funkcije aproksimiranjem nekim polinomom je često lakše nego direktno istraživanje iste funkcije ili korištenje niza.
Lako je tražiti derivate polinoma. Za pronalaženje korijena polinoma stepena 4 i niže postoje gotove formule, a za rad sa višim stupnjevima koriste se aproksimativni algoritmi visoke preciznosti.
Takođe postoji generalizacija opisanih polinoma za funkcije nekoliko varijabli.
Njutnov binom
Poznati polinomi su Njutnovi polinomi, koje su naučnici izveli da bi pronašli koeficijente izraza (x + y).
Dovoljno je pogledati prvih nekoliko stepena binomske dekompozicije da bismo bili sigurni da formula nije trivijalna:
(x+y)2=x2+2xy+y2;
(x+y)3=x3+3x2y+3xy2+y3;
(x+y)4=x4+4x3y+6x2y2+4xy3+y4;
(x+y)5=x5+5x4y+10x3y2+10x2y3+5xy4+y5.
Za svaki koeficijent postoji izraz koji vam omogućava da ga izračunate. Međutim, pamćenje glomaznih formula i izvođenje potrebnih aritmetičkih operacija svaki put bilo bi krajnje nezgodno za one matematičare kojima su takva proširenja često potrebna. Pascalov trougao im je znatno olakšao život.
Figura je izgrađena prema sljedećem principu. 1 se upisuje na vrhu trougla, au svakom sljedećem redu postaje još jedna cifra, 1 se stavlja na ivice, a sredina reda se popunjava zbirom dva susjedna broja iz prethodnog.
Kada pogledate ilustraciju, sve postaje jasno.
Naravno, upotreba polinoma u matematici nije ograničena na navedene primjere, one najšire poznate.
