Algebarske nejednakosti ili njihovi sistemi sa racionalnim koeficijentima čija se rješenja traže u integralnim ili cijelim brojevima. Po pravilu, broj nepoznanica u Diofantovim jednačinama je veći. Stoga su poznate i kao neodređene nejednakosti. U modernoj matematici, gornji koncept se primjenjuje na algebarske jednadžbe čija se rješenja traže u algebarskim cijelim brojevima nekog proširenja polja Q-racionalnih varijabli, polja p-adičnih varijabli, itd.
Porijeklo ovih nejednakosti
Proučavanje Diofantovih jednačina je na granici između teorije brojeva i algebarske geometrije. Pronalaženje rješenja u cjelobrojnim varijablama jedan je od najstarijih matematičkih problema. Već početkom drugog milenijuma pr. stari Babilonci su uspeli da reše sisteme jednačina sa dve nepoznanice. Ova grana matematike najviše je procvala u staroj Grčkoj. Diofantova aritmetika (oko 3. vek nove ere) je značajan i glavni izvor koji sadrži različite vrste i sisteme jednačina.
U ovoj knjizi, Diofant je predvidio brojne metode za proučavanje nejednakosti druge i trećestepena koji su se u potpunosti razvili u 19. veku. Stvaranje teorije racionalnih brojeva od strane ovog istraživača antičke Grčke dovelo je do analize logičkih rješenja neodređenih sistema, koja se sistematski prate u njegovoj knjizi. Iako njegov rad sadrži rješenja specifičnih Diofantovih jednačina, postoji razlog za vjerovanje da je bio upoznat s nekoliko općih metoda.
Proučavanje ovih nejednakosti obično je povezano sa ozbiljnim poteškoćama. Zbog činjenice da sadrže polinome sa cjelobrojnim koeficijentima F (x, y1, …, y). Na osnovu ovoga su izvučeni zaključci da ne postoji jedinstven algoritam koji bi se mogao koristiti za određivanje za bilo koji dati x da li je jednačina F (x, y1, …., y ). Situacija je rješiva za y1, …, y . Primjeri takvih polinoma se mogu napisati.
Najjednostavnija nejednakost
ax + by=1, gdje su a i b relativno cijeli i prosti brojevi, ima ogroman broj izvršenja (ako je x0, y0 formira se rezultat, tada se formira par varijabli x=x0 + b i y=y0 -an, gdje je n proizvoljno, također će se smatrati nejednakošću). Drugi primjer Diofantovih jednačina je x2 + y2 =z2. Pozitivna integralna rješenja ove nejednakosti su dužine malih stranica x, y i pravokutnih trokuta, kao i hipotenuza z s cjelobrojnim dimenzijama stranica. Ovi brojevi su poznati kao Pitagorini brojevi. Navedene su sve trojke u odnosu na prostgornje varijable su date sa x=m2 – n2, y=2mn, z=m2+ n2, gdje su m i n cijeli brojevi i prosti brojevi (m>n>0).
Diofant u svojoj Aritmetici traži racionalna (ne nužno integralna) rješenja posebnih tipova svojih nejednakosti. Opću teoriju za rješavanje diofantovih jednačina prvog stepena razvio je C. G. Baschet u 17. stoljeću. Drugi naučnici početkom 19. veka uglavnom su proučavali slične nejednakosti kao ax2 +bxy + cy2 + dx +ey +f=0, gde su a, b, c, d, e i f opšte, heterogene, sa dve nepoznate drugog stepena. Lagrange je u svojoj studiji koristio kontinuirane razlomke. Gauss je za kvadratne oblike razvio opću teoriju koja leži u osnovi nekih vrsta rješenja.
U proučavanju ovih drugostepenih nejednakosti značajan napredak je postignut tek u 20. veku. A. Thue je otkrio da je Diofantova jednačina a0x + a1xn- 1 y +…+a y =c, gdje je n≧3, a0, …, a , c su cijeli brojevi, i a0tn + …+ a ne može imati beskonačan broj cjelobrojnih rješenja. Međutim, Thueova metoda nije bila pravilno razvijena. A. Baker je stvorio efikasne teoreme koje daju procene performansi nekih jednačina ove vrste. BN Delaunay je predložio drugu metodu istraživanja koja je primjenjiva na užu klasu ovih nejednakosti. Konkretno, oblik ax3 + y3 =1 je potpuno razrješiv na ovaj način.
Diofantove jednadžbe: metode rješenja
Diofantova teorija ima mnogo pravaca. Dakle, dobro poznati problem u ovom sistemu je hipoteza da ne postoji netrivijalno rješenje Diofantovih jednačina xn + y =z n ako je n ≧ 3 (Fermatovo pitanje). Proučavanje cjelobrojnih ispunjenja nejednakosti je prirodna generalizacija problema Pitagorinih trojki. Euler je dobio pozitivno rješenje Fermatovog problema za n=4. Na osnovu ovog rezultata, on se odnosi na dokaz nedostajućeg cijelog broja, različitog od nule proučavanja jednačine ako je n neparan prost broj.
Studija o odluci nije završena. Poteškoće s njegovom implementacijom povezane su s činjenicom da prosta faktorizacija u prstenu algebarskih cijelih brojeva nije jedinstvena. Teorija djelitelja u ovom sistemu za mnoge klase prostih eksponenata n omogućava da se potvrdi valjanost Fermatove teoreme. Dakle, linearna Diofantova jednačina sa dvije nepoznate ispunjena je postojećim metodama i načinima.
Vrste i vrste opisanih zadataka
Aritmetika prstenova algebarskih cijelih brojeva se također koristi u mnogim drugim problemima i rješenjima Diofantovih jednačina. Na primjer, takve metode su primijenjene prilikom ispunjavanja nejednakosti oblika N(a1 x1 +…+ a x)=m, gdje je N(a) norma a, a x1, …, xn pronađene su integralne racionalne varijable. Ova klasa uključuje Pellovu jednačinu x2–dy2=1.
Vrijednosti a1, …, a koje se pojavljuju, ove jednačine su podijeljene u dvije vrste. Prvi tip - takozvani potpuni oblici - obuhvataju jednadžbe u kojima među a ima m linearno nezavisnih brojeva nad poljem racionalnih varijabli Q, gdje je m=[Q(a1, …, a):Q], u kojem postoji stepen algebarskih eksponenata Q (a1, …, a ) nad Q. Nepotpune vrste su one u čiji je maksimalni broj a i manji od m.
Puni obrasci su jednostavniji, njihovo proučavanje je završeno, a sva rješenja se mogu opisati. Druga vrsta, nepotpuna vrsta, je složenija, a razvoj takve teorije još nije završen. Takve jednačine se proučavaju korištenjem Diofantovih aproksimacija, koje uključuju nejednakost F(x, y)=C, gdje je F (x, y) nesvodljivi, homogeni polinom stepena n≧3. Dakle, možemo pretpostaviti da je yi→∞. Prema tome, ako je yi dovoljno veliko, tada će nejednakost biti u suprotnosti sa teoremom Thuea, Siegela i Rotha, iz koje slijedi da je F(x, y)=C, gdje je F oblik trećeg ili višeg stepena, nesvodivo ne može imati beskonačan broj rješenja.
Kako riješiti Diofantovu jednačinu?
Ovaj primjer je prilično uska klasa među svima. Na primjer, uprkos njihovoj jednostavnosti, x3 + y3 + z3=N, i x2 +y 2 +z2 +u2 =N nisu uključeni u ovu klasu. Proučavanje rješenja je prilično pažljivo proučavana grana Diofantovih jednačina, gdje je osnova predstavljanje kvadratnim oblicima brojeva. Lagrangestvorio teoremu koja kaže da ispunjenje postoji za sva prirodna N. Svaki prirodni broj može se predstaviti kao zbir tri kvadrata (Gaussova teorema), ali ne bi trebao biti oblika 4a (8K- 1), gdje su a i k nenegativni cjelobrojni eksponenti.
Racionalna ili integralna rješenja sistema Diofantove jednadžbe tipa F (x1, …, x)=a, gdje je F (x 1, …, x) je kvadratni oblik sa cjelobrojnim koeficijentima. Dakle, prema Minkowski-Hasse teoremi, nejednakost ∑aijxixj=b iji b je racionalan, ima integralno rješenje u realnim i p-adskim brojevima za svaki prosti broj p samo ako je rješiv u ovoj strukturi.
Zbog inherentnih poteškoća, proučavanje brojeva sa proizvoljnim oblicima trećeg i višeg stepena proučavano je u manjoj mjeri. Glavni metod izvršenja je metoda trigonometrijskih suma. U ovom slučaju, broj rješenja jednačine je eksplicitno zapisan u terminima Fourierovog integrala. Nakon toga, metoda okruženja se koristi za izražavanje broja ispunjenja nejednakosti odgovarajućih kongruencija. Metoda trigonometrijskih suma zavisi od algebarskih karakteristika nejednačina. Postoji veliki broj elementarnih metoda za rješavanje linearnih Diofantovih jednačina.
Diofantska analiza
Odsjek za matematiku, čiji je predmet izučavanje integralnih i racionalnih rješenja sistema jednadžbi algebre metodama geometrije, iz istogsfere. U drugoj polovini 19. veka, pojava ove teorije brojeva dovela je do proučavanja Diofantovih jednačina iz proizvoljnog polja sa koeficijentima, a rešenja su razmatrana ili u njoj ili u njenim prstenovima. Sistem algebarskih funkcija razvijao se paralelno sa brojevima. Osnovna analogija između njih dvoje, koju su naglasili D. Hilbert i, posebno, L. Kronecker, dovela je do uniformne konstrukcije različitih aritmetičkih koncepata, koji se obično nazivaju globalnim.
Ovo je posebno uočljivo ako su algebarske funkcije koje se proučavaju nad konačnim poljem konstanti jedna varijabla. Koncepti kao što su teorija polja klasa, djelitelj i grananje i rezultati su dobra ilustracija gore navedenog. Ovo gledište je tek kasnije usvojeno u sistemu Diofantovih nejednakosti, a sistematska istraživanja ne samo numeričkih koeficijenata, već i koeficijenata koji su funkcije, počela su tek 1950-ih godina. Jedan od odlučujućih faktora u ovom pristupu bio je razvoj algebarske geometrije. Istovremeno proučavanje polja brojeva i funkcija, koji nastaju kao dva podjednako važna aspekta istog predmeta, ne samo da je dalo elegantne i uvjerljive rezultate, već je dovelo do međusobnog obogaćivanja dvije teme.
U algebarskoj geometriji, pojam varijeteta je zamijenjen neinvarijantnim skupom nejednačina nad datim poljem K, a njihova rješenja su zamijenjena racionalnim tačkama sa vrijednostima u K ili u njegovom konačnom proširenju. Shodno tome, može se reći da je fundamentalni problem diofantske geometrije proučavanje racionalnih tačakaalgebarskog skupa X(K), dok su X određeni brojevi u polju K. Celobrojno izvršavanje ima geometrijsko značenje u linearnim Diofantovim jednačinama.
Studije nejednakosti i opcije izvršenja
Kada se proučavaju racionalne (ili integralne) tačke na algebarskim varijetetima, javlja se prvi problem, a to je njihovo postojanje. Hilbertov deseti problem je formulisan kao problem pronalaženja opšte metode za rešavanje ovog problema. U procesu kreiranja tačne definicije algoritma i nakon što je dokazano da za veliki broj zadataka nema takvih izvođenja, problem je dobio očigledan negativan rezultat, a najzanimljivije pitanje je definicija klasa Diofantovih jednačina. za koje postoji gore navedeni sistem. Najprirodniji pristup, sa algebarske tačke gledišta, je takozvani Hasseov princip: početno polje K se proučava zajedno sa njegovim dopunama Kv preko svih mogućih procjena. Pošto je X(K)=X(Kv) neophodan uslov za postojanje, a K tačka uzima u obzir da je skup X(Kv) nije prazan za sve v.
Važnost leži u činjenici da spaja dva problema. Drugi je mnogo jednostavniji, rješiv je poznatim algoritmom. U konkretnom slučaju kada je varijetet X projektivan, Hanselova lema i njene generalizacije omogućavaju daljnju redukciju: problem se može svesti na proučavanje racionalnih tačaka nad konačnim poljem. Tada odlučuje da izgradi koncept ili kroz dosljedno istraživanje ili učinkovitije metode.
Posljednjivažno razmatranje je da skupovi X(Kv) nisu prazni za sve osim za konačan broj v, tako da je broj uslova uvijek konačan i mogu se efikasno testirati. Međutim, Hasseov princip se ne primjenjuje na krivulje stupnjeva. Na primjer, 3x3 + 4y3=5 ima bodove u svim poljima p-adičnih brojeva i u sistemu realnih brojeva, ali nema racionalnih tačaka.
Ova metoda je poslužila kao polazna tačka za konstruisanje koncepta koji opisuje klase glavnih homogenih prostora Abelovih varijeteta kako bi se izvršilo "odstupanje" od Hasseovog principa. Opisuje se u smislu posebne strukture koja se može povezati sa svakom mnogostrukošću (Tate-Shafarevich grupa). Glavna poteškoća teorije leži u činjenici da je metode za izračunavanje grupa teško dobiti. Ovaj koncept je takođe proširen na druge klase algebarskih varijeteta.
Traži algoritam za ispunjavanje nejednakosti
Još jedna heuristička ideja koja se koristi u proučavanju Diofantovih jednačina je da ako je broj varijabli uključenih u skup nejednakosti velik, onda sistem obično ima rješenje. Međutim, to je vrlo teško dokazati za svaki konkretan slučaj. Opšti pristup problemima ovog tipa koristi analitičku teoriju brojeva i zasniva se na procjenama za trigonometrijske sume. Ova metoda je prvobitno primijenjena na posebne vrste jednadžbi.
Međutim, kasnije je uz njegovu pomoć dokazano da ako je oblik neparnog stepena F, u di n varijabli i sa racionalnim koeficijentima, onda je n dovoljno veliko u poređenju sa d, tako da projektivna hiperpovršina F=0 ima racionalnu tačku. Prema Artinovoj pretpostavci, ovaj rezultat je istinit čak i ako je n > d2. Ovo je dokazano samo za kvadratne forme. Slični problemi se mogu postaviti i za druga polja. Centralni problem diofantske geometrije je struktura skupa cjelobrojnih ili racionalnih tačaka i njihovo proučavanje, a prvo pitanje koje treba razjasniti je da li je ovaj skup konačan. U ovom problemu situacija obično ima konačan broj izvršenja ako je stepen sistema mnogo veći od broja varijabli. Ovo je osnovna pretpostavka.
Nejednakosti na linijama i krivuljama
Grupa X(K) se može predstaviti kao direktan zbir slobodne strukture ranga r i konačne grupe reda n. Od 1930-ih godina proučava se pitanje da li su ovi brojevi ograničeni na skup svih eliptičkih krivulja nad datim poljem K. Ograničenost torzije n je demonstrirana sedamdesetih godina. U funkcionalnom slučaju postoje krive proizvoljno visokog ranga. U brojčanom slučaju još uvijek nema odgovora na ovo pitanje.
Konačno, Mordellova pretpostavka kaže da je broj integralnih tačaka konačan za krivu roda g>1. U funkcionalnom slučaju, ovaj koncept je demonstrirao Yu. I. Manin 1963. godine. Glavni alat koji se koristi u dokazivanju teorema konačnosti u diofantovoj geometriji je visina. Od algebarskih varijeteta, dimenzije iznad jedne su abelovemnogostrukosti, koje su višedimenzionalni analozi eliptičkih krivulja, su najtemeljnije proučavane.
A. Weil je generalizirao teoremu o konačnosti broja generatora grupe racionalnih tačaka na Abelove varijetete bilo koje dimenzije (Mordell-Weil koncept), proširivši je. Šezdesetih godina prošlog vijeka pojavila se pretpostavka Bircha i Swinnerton-Dyera, koja je poboljšala ovu i grupu i zeta funkcije mnogostrukosti. Numerički dokazi podržavaju ovu hipotezu.
Problem rješivosti
Problem pronalaženja algoritma koji se može koristiti za određivanje da li bilo koja Diofantova jednačina ima rješenje. Bitna karakteristika postavljenog problema je potraga za univerzalnom metodom koja bi bila prikladna za svaku nejednakost. Takav metod bi omogućio i rješavanje navedenih sistema, jer je ekvivalentan P21+⋯+P2k=0.p1=0, …, PK=0p=0, …, pK=0 ili p21+ ⋯ + P2K=0. n12+⋯+pK2=0. Problem pronalaženja takvog univerzalnog načina za pronalaženje rješenja za linearne nejednakosti u cijelim brojevima postavio je D. Gilbert.
Početkom 1950-ih pojavile su se prve studije s ciljem dokazivanja nepostojanja algoritma za rješavanje Diofantovih jednačina. U to vrijeme se pojavila Davisova pretpostavka, koja je govorila da svaki nabrojiv skup također pripada grčkom naučniku. Jer su primjeri algoritamski neodlučivih skupova poznati, ali su rekurzivno nabrojivi. Iz toga slijedi da je Davisova pretpostavka tačna i problem rješivosti ovih jednačinaima negativno izvršenje.
Nakon toga, za Davisovu pretpostavku, ostaje dokazati da postoji metoda za transformaciju nejednakosti koja također (ili nije) u isto vrijeme ima rješenje. Pokazalo se da je takva promjena Diofantove jednačine moguća ako ima gornja dva svojstva: 1) u bilo kojem rješenju ovog tipa v ≦ uu; 2) za bilo koji k, postoji izvršenje sa eksponencijalnim rastom.
Primjer linearne Diofantove jednadžbe ove klase je završio dokaz. Problem postojanja algoritma za rješivost i prepoznavanje ovih nejednakosti u racionalnim brojevima još uvijek se smatra važnim i otvorenim pitanjem koje nije dovoljno proučeno.
