Prilikom proučavanja svojstava kvadratne jednačine, postavljeno je ograničenje - za diskriminant manji od nule, nema rješenja. Odmah je propisano da je riječ o skupu realnih brojeva. Radoznali um matematičara će se zanimati - koja je tajna sadržana u klauzuli o stvarnim vrijednostima?
S vremenom su matematičari uveli koncept kompleksnih brojeva, gdje se uslovna vrijednost drugog korijena od minus jedan uzima kao jedinica.
Historijska pozadina
Matematička teorija se razvija uzastopno, od jednostavnog do složenog. Hajde da shvatimo kako je nastao koncept nazvan "kompleksni broj" i zašto je potreban.
Od pamtivijeka, osnova matematike bila je uobičajena računica. Istraživači su poznavali samo prirodni skup vrijednosti. Sabiranje i oduzimanje bili su jednostavni. Kako su ekonomski odnosi postali složeniji, množenje se počelo koristiti umjesto zbrajanja istih vrijednosti. Postoji obrnuta operacijamnoženje - dijeljenje.
Koncept prirodnog broja ograničio je upotrebu aritmetičkih operacija. Nemoguće je riješiti sve probleme dijeljenja na skupu cjelobrojnih vrijednosti. Rad sa razlomcima doveo je prvo do koncepta racionalnih vrijednosti, a potom i do iracionalnih vrijednosti. Ako je za racionalno moguće naznačiti tačnu lokaciju tačke na pravoj, onda je za iracionalno nemoguće naznačiti takvu tačku. Možete samo aproksimirati interval. Unija racionalnih i iracionalnih brojeva formirala je realan skup, koji se može predstaviti kao određena linija sa datom skalom. Svaki korak duž linije je prirodan broj, a između njih su racionalne i iracionalne vrijednosti.
Počela je era teorijske matematike. Razvoj astronomije, mehanike, fizike zahtijevao je rješavanje sve složenijih jednačina. Općenito, pronađeni su korijeni kvadratne jednadžbe. Prilikom rješavanja složenijeg kubnog polinoma, naučnici su naišli na kontradikciju. Koncept kubnog korijena iz negativnog ima smisla, ali za kvadratni korijen se dobiva nesigurnost. Štaviše, kvadratna jednačina je samo poseban slučaj kubične.
Godine 1545. Italijan J. Cardano je predložio uvođenje koncepta imaginarnog broja.
Ovaj broj je drugi korijen od minus jedan. Termin kompleksni broj konačno je formiran tek tri stotine godina kasnije, u radovima poznatog matematičara Gausa. Predložio je formalno proširenje svih zakona algebre na imaginarni broj. Prava linija je proširena naavioni. Svijet je veći.
Osnovni koncepti
Pozovite brojne funkcije koje imaju ograničenja na pravi skup:
- y=arcsin(x), definirano između negativnog i pozitivnog 1.
- y=ln(x), decimalni logaritam ima smisla s pozitivnim argumentima.
- kvadratni korijen y=√x, izračunato samo za x ≧ 0.
Označavajući i=√(-1), uvodimo takav koncept kao imaginarni broj, što će ukloniti sva ograničenja iz domena definicije gore navedenih funkcija. Izrazi poput y=arcsin(2), y=ln(-4), y=√(-5) imaju smisla u nekom prostoru kompleksnih brojeva.
Algebarski oblik se može napisati kao izraz z=x + i×y na skupu realnih x i y vrijednosti, i i2 =-1.
Novi koncept uklanja sva ograničenja u korištenju bilo koje algebarske funkcije i podsjeća na grafik prave linije u koordinatama realnih i imaginarnih vrijednosti.
Složeni avion
Geometrijski oblik kompleksnih brojeva vizuelno nam omogućava da predstavimo mnoga njihova svojstva. Na osi Re(z) označavamo realne x vrijednosti, na Im(z) - imaginarne vrijednosti y, zatim z tačka na ravni će prikazati traženu kompleksnu vrijednost.
Definicije:
- Re(z) - realna os.
- Im(z) - znači imaginarnu osu.
- z - uslovna tačka kompleksnog broja.
- Poziva se numerička vrijednost dužine vektora od nule do zmodul.
- Realne i imaginarne ose dele avion na četvrtine. Sa pozitivnom vrijednošću koordinata - I kvart. Kada je argument realne ose manji od 0, a imaginarne ose veći od 0 - II četvrtina. Kada su koordinate negativne - III kvart. Posljednje, četvrto tromjesečje sadrži mnogo pozitivnih stvarnih vrijednosti i negativnih imaginarnih vrijednosti.
Dakle, na ravni sa vrijednostima x i y koordinata, uvijek se može vizualizirati tačka kompleksnog broja. Znak i se uvodi kako bi se odvojio pravi dio od imaginarnog.
Properties
- Kada je vrijednost imaginarnog argumenta nula, dobijamo samo broj (z=x), koji se nalazi na realnoj osi i pripada realnom skupu.
- Poseban slučaj kada vrijednost realnog argumenta postane nula, izraz z=i×y odgovara lokaciji tačke na imaginarnoj osi.
- Opšti oblik z=x + i×y bit će za vrijednosti argumenata koji nisu nula. Označava lokaciju tačke koja karakteriše kompleksni broj u jednoj od četvrtina.
Trigonometrijska notacija
Prisjetite se polarnog koordinatnog sistema i definicije trigonometrijskih funkcija sin i cos. Očigledno je da je uz pomoć ovih funkcija moguće opisati lokaciju bilo koje tačke na ravni. Da biste to učinili, dovoljno je znati dužinu polarnog snopa i ugao nagiba prema realnoj osi.
Definicija. Unos oblika ∣z ∣ pomnožen sumom trigonometrijskih funkcija cos(ϴ) i imaginarnog dijela i ×sin(ϴ) naziva se trigonometrijski kompleksni broj. Ovdje je oznaka ugao nagiba prema realnoj osi
ϴ=arg(z) i r=∣z∣, dužina snopa.
Iz definicije i svojstava trigonometrijskih funkcija, slijedi vrlo važna Moivreova formula:
zn =r × (cos(n × ϴ) + i × sin(n × ϴ)).
Koristeći ovu formulu, zgodno je riješiti mnoge sisteme jednačina koje sadrže trigonometrijske funkcije. Pogotovo kada se pojavi problem uzdizanja na potenciju.
Modul i faza
Da bismo završili opis složenog skupa, predlažemo dvije važne definicije.
Poznavajući Pitagorinu teoremu, lako je izračunati dužinu snopa u polarnom koordinatnom sistemu.
r=∣z∣=√(x2 + y2), takva notacija na kompleksnom prostoru naziva se " modul" i karakterizira udaljenost od 0 do tačke na ravni.
Ugao nagiba kompleksnog snopa prema realnoj liniji ϴ se obično naziva faza.
Definicija pokazuje da su stvarni i imaginarni dijelovi opisani korištenjem cikličkih funkcija. Naime:
- x=r × cos(ϴ);
- y=r × sin(ϴ);
Obrnuto, faza je povezana sa algebarskim vrijednostima kroz formulu:
ϴ=arctan(x / y) + µ, korekcija µ se uvodi kako bi se uzela u obzir periodičnost geometrijskih funkcija.
Eulerova formula
Matematičari često koriste eksponencijalni oblik. Kompleksni brojevi ravni se zapisuju kao izrazi
z=r × ei×ϴ , što slijedi iz Eulerove formule.
Ovaj zapis se široko koristi za praktično izračunavanje fizičkih veličina. Forma prezentacije u formiEksponencijalni kompleksni brojevi su posebno pogodni za inženjerske proračune, gdje postaje potrebno izračunati kola sa sinusoidnim strujama i potrebno je znati vrijednost integrala funkcija sa datim periodom. Sami proračuni služe kao alat u projektovanju raznih mašina i mehanizama.
Definiraj operacije
Kao što je već napomenuto, svi algebarski zakoni rada sa osnovnim matematičkim funkcijama važe za kompleksne brojeve.
Operacija suma
Prilikom dodavanja kompleksnih vrijednosti, dodaju se i njihovi stvarni i imaginarni dijelovi.
z=z1 + z2 gdje je z1 i z2 - opšti kompleksni brojevi. Transformacijom izraza, nakon otvaranja zagrada i pojednostavljenja zapisa, dobijamo pravi argument x=(x1 + x2), imaginarni argument y=(y 1 + y2).
Na grafu izgleda kao sabiranje dva vektora, prema dobro poznatom pravilu paralelograma.
Operacija oduzimanja
Smatra se posebnim slučajem sabiranja, kada je jedan broj pozitivan, drugi negativan, odnosno nalazi se u četvrtini ogledala. Algebarska notacija izgleda kao razlika između stvarnih i imaginarnih dijelova.
z=z1 - z2, ili, uzimajući u obzir vrijednosti argumenata, slično sabiranju operacijom, dobijamo za realne vrijednosti x=(x1 - x2) i imaginarne y=(y1- y2).
Množenje na kompleksnoj ravni
Koristeći pravila za rad sa polinomima, izvodimo formulurješavati kompleksne brojeve.
Slijedeći opšta algebarska pravila z=z1×z2, opišite svaki argument i navedite slične. Realni i imaginarni dijelovi se mogu napisati ovako:
- x=x1 × x2 - y1 × y2,
- y=x1 × y2 + x2 × y 1.
Izgleda ljepše ako koristimo eksponencijalne kompleksne brojeve.
Izraz izgleda ovako: z=z1 × z2 =r1 × eiϴ1 × r2 × eiϴ2=r1 × r2 × ei(ϴ1+ϴ2).
Dalje jednostavno, moduli se množe i faze se dodaju.
Division
Kada se operacija dijeljenja smatra inverznom od množenja, dobijamo jednostavan izraz u eksponencijalnoj notaciji. Dijeljenje vrijednosti z1 sa z2 rezultat je podjele njihovih modula i fazne razlike. Formalno, kada se koristi eksponencijalni oblik kompleksnih brojeva, to izgleda ovako:
z=z1 / z2 =r1 × e iϴ1 / r2 × ei ϴ2=r1 / r2× ei(ϴ1-ϴ 2).
U obliku algebarske notacije, operacija dijeljenja brojeva kompleksne ravni je napisana malo komplikovanije:
z=z1 / z2.
Opisivanjem argumenata i izvođenjem polinomskih transformacija, lako je dobiti vrijednostix=x1 × x2 + y1 × y2, odnosno y=x2 × y1 - x1 × y2 , međutim, unutar opisanog prostora, ovaj izraz ima smisla ako z2 ≠ 0.
Izvucite korijen
Sve gore navedeno može se primijeniti kod definiranja složenijih algebarskih funkcija - podizanje na bilo koji stepen i obrnuto od njega - izdvajanje korijena.
Koristeći opšti koncept dizanja na stepen n, dobijamo definiciju:
zn =(r × eiϴ).
Koristeći uobičajena svojstva, prepišite kao:
zn =rn × eiϴ.
Dobili smo jednostavnu formulu za podizanje kompleksnog broja na stepen.
Iz definicije stepena dobijamo veoma važnu posljedicu. Parna snaga imaginarne jedinice je uvijek 1. Bilo koja neparna snaga imaginarne jedinice je uvijek -1.
Sada proučimo inverznu funkciju - izdvajanje korijena.
Radi lakšeg označavanja, uzmimo n=2. Kvadratni korijen w kompleksne vrijednosti z na kompleksnoj ravni C smatra se izrazom z=±, koji vrijedi za bilo koji realni argument veći ili jednak nula. Za w ≦ 0, ne postoji rješenje.
Pogledajmo najjednostavniju kvadratnu jednačinu z2 =1. Koristeći formule složenih brojeva, prepišite r2 × ei2ϴ =r2 × ei2ϴ=ei0. Iz zapisa se može vidjeti da je r2 =1 i ϴ=0, dakle, imamo jedinstveno rješenje jednako 1. Ali ovo je u suprotnosti s idejom da z=-1 također odgovara definiciji kvadratnog korijena.
Hajde da shvatimo šta ne uzimamo u obzir. Ako se prisjetimo trigonometrijske notacije, tada vraćamo izjavu - s periodičnom promjenom faze ϴ, kompleksni broj se ne mijenja. Neka p označava vrijednost perioda, tada imamo r2 × ei2ϴ =ei(0+p), odakle je 2ϴ=0 + p, ili ϴ=p / 2. Prema tome, ei0 =1 i eip/2 =-1. Dobili smo drugo rješenje, koje odgovara općem razumijevanju kvadratnog korijena.
Dakle, da bismo pronašli proizvoljan korijen kompleksnog broja, slijedit ćemo proceduru.
- Napišite eksponencijalni oblik w=∣w∣ × ei(arg (w) + pk), k je proizvoljan cijeli broj.
- Željeni broj je takođe predstavljen u Ojlerovom obliku z=r × eiϴ.
- Koristite opću definiciju funkcije izvlačenja korijena r ei ϴ =∣w∣ × ei(arg(w) + pk).
- Iz opštih svojstava jednakosti modula i argumenata, pišemo rn =∣w∣ i nϴ=arg (w) + p×k.
- Konačni zapis korijena kompleksnog broja opisan je formulom z=√∣w∣ × ei ( arg (w) + pk ) / .
- Napomena. Vrijednost ∣w∣, po definiciji,je pozitivan realan broj, tako da korijen svakog stepena ima smisla.
Polje i konjugacija
U zaključku, dajemo dvije važne definicije koje su od malog značaja za rješavanje primijenjenih problema s kompleksnim brojevima, ali su bitne za daljnji razvoj matematičke teorije.
Rečeno je da izrazi za sabiranje i množenje formiraju polje ako zadovoljavaju aksiome za bilo koji element kompleksne ravni z:
- Složena suma se ne mijenja od promjene mjesta složenih pojmova.
- Izjava je tačna - u složenom izrazu, bilo koji zbir dva broja može se zamijeniti njihovom vrijednošću.
- Postoji neutralna vrijednost 0 za koju je z + 0=0 + z=z istina.
- Za bilo koji z postoji suprotnost - z, čiji dodatak daje nulu.
- Prilikom promjene mjesta složenih faktora, složeni proizvod se ne mijenja.
- Množenje bilo koja dva broja može se zamijeniti njihovom vrijednošću.
- Postoji neutralna vrijednost 1, množenje s kojom se ne mijenja kompleksni broj.
- Za svaki z ≠ 0, postoji inverz od z-1, koji se množi sa 1.
- Množenje zbira dva broja sa trećinom je ekvivalentno operaciji množenja svakog od njih ovim brojem i zbrajanja rezultata.
- 0 ≠ 1.
Brojevi z1 =x + i×y i z2 =x - i×y nazivaju se konjugati.
Teorema. Za konjugaciju, tvrdnja je tačna:
- Konjugacija zbira jednaka je zbiru konjugiranih elemenata.
- Konjugat proizvoda jeproizvod konjugacija.
- Konjugacija konjugacije je jednaka samom broju.
U općoj algebri, takva svojstva se nazivaju automorfizmi polja.
Primjeri
Slijedeći data pravila i formule kompleksnih brojeva, lako možete raditi s njima.
Razmotrimo najjednostavnije primjere.
Zadatak 1. Koristeći jednačinu 3y +5 x i=15 - 7i, odredite x i y.
Odluka. Prisjetimo se definicije kompleksnih jednakosti, tada je 3y=15, 5x=-7. Dakle, x=-7 / 5, y=5.
Zadatak 2. Izračunajte vrijednosti 2 + i28 i 1 + i135.
Odluka. Očigledno, 28 je paran broj, iz posledice definicije kompleksnog broja na stepenu imamo i28 =1, što znači da je izraz 2 + i 28 =3. Druga vrijednost, i135 =-1, zatim 1 + i135 =0.
Zadatak 3. Izračunajte umnožak vrijednosti 2 + 5i i 4 + 3i.
Odluka. Iz opštih svojstava množenja kompleksnih brojeva dobijamo (2 + 5i)X(4 + 3i)=8 - 15 + i(6 + 20). Nova vrijednost će biti -7 + 26i.
Zadatak 4. Izračunajte korijene jednačine z3 =-i.
Odluka. Postoji nekoliko načina za pronalaženje kompleksnog broja. Razmotrimo jedan od mogućih. Po definiciji, ∣ - i∣=1, faza za -i je -p / 4. Originalna jednačina se može prepisati kao r3ei3ϴ =e-p/4+pk, odakle je z=e-p / 12 + pk/3, za bilo koji cijeli broj k.
Skup rješenja ima oblik (e-ip/12,eip/4, ei2 p/3).
Zašto su nam potrebni kompleksni brojevi
Istorija poznaje mnogo primera kada naučnici, radeći na teoriji, i ne razmišljaju o praktičnoj primeni svojih rezultata. Matematika je, prije svega, igra uma, striktno pridržavanje uzročno-posljedičnih veza. Gotovo sve matematičke konstrukcije svode se na rješavanje integralnih i diferencijalnih jednadžbi, a one se, pak, uz određenu aproksimaciju, rješavaju pronalaženjem korijena polinoma. Ovdje se prvi put susrećemo s paradoksom imaginarnih brojeva.
Naučnici prirodnjaci, rješavajući potpuno praktične probleme, pribjegavajući rješenjima raznih jednačina, otkrivaju matematičke paradokse. Tumačenje ovih paradoksa vodi do apsolutno nevjerovatnih otkrića. Dvostruka priroda elektromagnetnih valova jedan je od takvih primjera. Kompleksni brojevi igraju ključnu ulogu u razumijevanju njihovih svojstava.
Ovo je zauzvrat našlo praktičnu primenu u optici, radio elektronici, energetici i mnogim drugim tehnološkim poljima. Još jedan primjer, mnogo teže razumljivi fizički fenomen. Antimaterija je bila predviđena na vrhu pera. I tek mnogo godina kasnije počinju pokušaji da se fizički sintetiše.
Nemojte misliti da samo u fizici postoje takve situacije. Ništa manje zanimljiva otkrića su napravljena u divljini, u sintezi makromolekula, tokom proučavanja umjetne inteligencije. I sve je to zahvaljujućiproširenje naše svijesti, udaljavanje od jednostavnog sabiranja i oduzimanja prirodnih vrijednosti.
