Važan geometrijski objekat koji se proučava u ravnom prostoru je prava linija. U trodimenzionalnom prostoru, pored prave linije, postoji i ravan. Oba objekta su prikladno definirana korištenjem vektora smjera. Šta je to, kako se ti vektori koriste za određivanje jednačina prave i ravni? Ova i druga pitanja obrađena su u članku.
Direktna linija i kako je definirati
Svaki učenik ima dobru ideju o kojem geometrijskom objektu govori. Sa stanovišta matematike, prava linija je skup tačaka, koje u slučaju njihove proizvoljne parne veze vode do skupa paralelnih vektora. Ova definicija linije se koristi za pisanje jednačine za nju u dvije i tri dimenzije.
Za opisivanje razmatranog jednodimenzionalnog objekta koriste se različite vrste jednačina, koje su navedene u listi ispod:
- opći pogled;
- parametric;
- vektor;
- kanonski ili simetrični;
- u segmentima.
Svaka od ovih vrsta ima neke prednosti u odnosu na druge. Na primjer, jednadžba u segmentima je zgodna za korištenje pri proučavanju ponašanja prave linije u odnosu na koordinatne osi, opća jednadžba je zgodna za pronalaženje smjera okomitog na datu pravu liniju, kao i pri izračunavanju ugla njenog presek sa x-osom (za ravno kućište).
Pošto se tema ovog članka odnosi na usmjeravajući vektor prave linije, dalje ćemo razmatrati samo jednačinu gdje je ovaj vektor fundamentalan i sadržan je eksplicitno, odnosno vektorski izraz..
Određivanje prave linije kroz vektor
Pretpostavimo da imamo neki vektor v¯ sa poznatim koordinatama (a; b; c). Pošto postoje tri koordinate, vektor je dat u prostoru. Kako to prikazati u pravougaonom koordinatnom sistemu? To se radi vrlo jednostavno: na svakoj od tri ose iscrtava se segment čija je dužina jednaka odgovarajućoj koordinati vektora. Točka presjeka tri okomite vraćene na ravnine xy, yz i xz bit će kraj vektora. Njegov početak je tačka (0; 0; 0).
Ipak, data pozicija vektora nije jedina. Slično, može se nacrtati v¯ postavljanjem njegovog početka u proizvoljnu tačku u prostoru. Ovi argumenti govore da je nemoguće postaviti određenu liniju pomoću vektora. Definira porodicu od beskonačnog broja paralelnih linija.
Sadafiksirajte neku tačku P(x0; y0; z0) prostora. I postavljamo uslov: prava linija mora proći kroz P. U ovom slučaju, vektor v¯ također mora sadržavati ovu tačku. Posljednja činjenica znači da se jedna jedina linija može definirati pomoću P i v¯. To će biti zapisano kao sljedeća jednačina:
Q=P + λ × v¯
Ovdje Q je bilo koja tačka koja pripada pravoj. Ova točka se može dobiti odabirom odgovarajućeg parametra λ. Napisana jednačina naziva se vektorska jednačina, a v¯ se naziva vektor smjera prave linije. Ako ga uredimo tako da prolazi kroz P i promijenimo njegovu dužinu parametrom λ, dobijamo svaku tačku Q kao pravu liniju.
U koordinatnom obliku, jednačina će biti napisana na sljedeći način:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + λ × (a; b; c)
I u eksplicitnom (parametarskom) obliku, možete napisati:
x=x0+ λ × a;
y=y0+ λ × b;
z=z0+ λ × c
Ako izuzmemo treću koordinatu u gornjim izrazima, onda ćemo dobiti vektorske jednačine prave linije na ravni.
Za koje zadatke je korisno znati vektor smjera ?
Po pravilu, ovo su zadaci za određivanje paralelnosti i okomitosti pravih. Takođe, direktni vektor koji određuje pravac se koristi prilikom izračunavanja udaljenosti između pravih linija i tačke i prave linije, da opiše ponašanje prave linije u odnosu na ravan.
Dvaprave će biti paralelne ako su njihovi vektori smjera. U skladu s tim, okomitost pravih se dokazuje korištenjem okomitosti njihovih vektora. U ovakvim vrstama zadataka, dovoljno je izračunati skalarni proizvod razmatranih vektora da bi se dobio odgovor.
U slučaju zadataka za izračunavanje udaljenosti između linija i tačaka, vektor pravca je eksplicitno uključen u odgovarajuću formulu. Hajde da to zapišemo:
d=|[P1P2¯ × v¯] | / |v¯|
Ovdje P1P2¯ - izgrađeno na tačkama P1 i P 2 usmjeren segment. Tačka P2 je proizvoljna, leži na pravoj sa vektorom v¯, dok je tačka P1 ona do koje treba udaljenost biti odlučan. Može biti nezavisno ili pripadati drugoj liniji ili ravni.
Imajte na umu da ima smisla izračunati udaljenost između linija samo kada su one paralelne ili seku. Ako se sijeku, tada je d nula.
Gorenja formula za d važi i za izračunavanje udaljenosti između ravni i prave paralelne sa njom, samo u ovom slučaju P1 treba da pripada ravni.
Rešimo nekoliko problema da bolje pokažemo kako se koristi razmatrani vektor.
Problem vektorske jednačine
Poznato je da se prava linija opisuje sljedećom jednačinom:
y=3 × x - 4
Trebalo bi upisati odgovarajući izrazvektorski oblik.
Ovo je tipična jednačina prave linije, poznata svakom školarcu, napisana u opštem obliku. Hajde da pokažemo kako to prepisati u vektorskom obliku.
Izraz se može predstaviti kao:
(x; y)=(x; 3 × x - 4)
Vidi se da ako ga otvorite, dobijate originalnu jednakost. Sada dijelimo njegovu desnu stranu na dva vektora tako da samo jedan od njih sadrži x, imamo:
(x; y)=(x; 3 × x) + (0; -4)
Ostaje izvaditi x iz zagrada, označiti ga grčkim simbolom i zamijeniti vektori sa desne strane:
(x; y)=(0; -4) + λ × (1; 3)
Dobili smo vektorski oblik originalnog izraza. Vektorske koordinate pravca su (1; 3).
Zadatak određivanja relativnog položaja linija
Dva reda su data u razmaku:
(x; y; z)=(1; 0; -2) + λ × (-1; 3; 1);
(x; y; z)=(3; 2; 2) + γ × (1; 2; 0)
Da li su paralelni, ukrštaju ili seku?
Vektori koji nisu nula (-1; 3; 1) i (1; 2; 0) će biti vodiči za ove linije. Izrazimo ove jednačine u parametarskom obliku i zamijenimo koordinate prve u drugu. Dobijamo:
x=1 - λ;
y=3 × λ;
z=-2 + λ;
x=3 + γ=1 - λ=>γ=-2 - λ;
y=2 + 2 × γ=3 × λ=> γ=3 / 2 × λ - 1;
z=2=-2 + λ=> λ=4
Zamenimo pronađeni parametar λ u dve gornje jednačine, dobijamo:
γ=-2 - λ=-6;
γ=3 / 2 × λ - 1=5
Parametar γ ne može uzeti dvije različite vrijednosti u isto vrijeme. To znači da prave nemaju jednu zajedničku tačku, odnosno da se ukrštaju. Oni nisu paralelni, jer vektori različiti od nule nisu međusobno paralelni (za njihov paralelizam mora postojati broj koji bi množenjem sa jednim vektorom doveo do koordinata drugog).
Matematički opis aviona
Da postavimo ravan u prostoru, dajemo opštu jednačinu:
A × x + B × y + C × z + D=0
Ovdje latinična velika slova predstavljaju određene brojeve. Prva tri od njih definiraju koordinate vektora normale ravnine. Ako je označeno sa n¯, tada:
n¯=(A; B; C)
Ovaj vektor je okomit na ravan, pa se naziva vodičem. Njegovo znanje, kao i poznate koordinate bilo koje tačke koja pripada ravni, jednoznačno određuju potonju.
Ako tačka P(x1; y1; z1) pripada ravni, tada se presjek D izračunava na sljedeći način:
D=-1 × (A × x1+ B × y1 + C × z1)
Rešimo nekoliko problema koristeći opštu jednačinu za ravan.
Zadatak zapronalaženje vektora normale ravni
Ravan je definisan na sledeći način:
(y - 3) / 2 + (x + 1) / 3 - z / 4=1
Kako pronaći vektor smjera za nju?
Iz gornje teorije slijedi da su koordinate vektora normale n¯ koeficijenti ispred varijabli. S tim u vezi, da bismo pronašli n¯, jednačinu treba napisati u opštem obliku. Imamo:
1 / 3 × x + 1 / 2 × y - 1 / 4 × z - 13 / 6=0
Tada je normalni vektor ravni:
n¯=(1/3; 1/2; -1/4)
Problem sastavljanja jednadžbe ravni
Date su koordinate tri tačke:
M1(1; 0; 0);
M2(2; -1; 5);
M3(0; -2; -2)
Kako će izgledati jednačina ravnine koja sadrži sve ove tačke.
Kroz tri tačke koje ne pripadaju istoj pravoj, može se povući samo jedna ravan. Da bismo pronašli njegovu jednačinu, prvo izračunamo vektor smjera ravnine n¯. Da bismo to učinili, postupimo na sljedeći način: pronađemo proizvoljna dva vektora koji pripadaju ravni i izračunamo njihov vektorski proizvod. To će dati vektor koji će biti okomit na ovu ravan, odnosno n¯. Imamo:
M1M2¯=(1; -1; 5); M1M3¯=(-1; -2; -2);
n¯=[M1M2¯ × M1M 3¯]=(12; -3; -3)
Uzmi tačku M1za izvlačenjeravni izrazi. Dobijamo:
D=-1 × (12 × 1 + (-3) × 0 + (-3) × 0)=-12;
12 × x - 3 × y - 3 × z - 12=0=>
4 × x - y - z - 4=0
Dobili smo opšti izraz tipa za ravan u prostoru tako što smo prvo definisali vektor pravca za nju.
Svojstvo unakrsnog proizvoda treba imati na umu kada rješavate probleme s ravninama, jer vam omogućava da odredite koordinate normalnog vektora na jednostavan način.
