Slušajući nastavnika matematike, većina učenika uzima materijal kao aksiom. Istovremeno, malo ljudi pokušava doći do dna i shvatiti zašto “minus” na “plus” daje znak “minus”, a kada se množe dva negativna broja, dobije se pozitivan.
Zakoni matematike
Većina odraslih nije u stanju objasniti sebi ili svojoj djeci zašto se to događa. Oni su u školi dobro upijali ovo gradivo, ali nisu ni pokušali da otkriju odakle takva pravila. Ali uzalud. Često moderna djeca nisu toliko lakovjerna, moraju doći do dna stvari i razumjeti, na primjer, zašto "plus" na "minus" daje "minus". A ponekad dječaci namjerno postavljaju škakljiva pitanja kako bi uživali u trenutku kada odrasli ne mogu dati razumljiv odgovor. I zaista je katastrofa ako mladi učitelj upadne u haos…
Usput, treba napomenuti da gore navedeno pravilo vrijedi i za množenje i za dijeljenje. Umnožak negativnog i pozitivnog broja dat će samo minus. Ako govorimo o dvije znamenke sa znakom "-", tada će rezultat biti pozitivan broj. Isto važi i za podjelu. Ako ajedan od brojeva je negativan, tada će i količnik biti sa znakom “-”.
Da bismo objasnili ispravnost ovog zakona matematike, potrebno je formulisati aksiome prstena. Ali prvo morate razumjeti šta je to. U matematici je uobičajeno da se prstenom naziva skup u kojem su uključene dvije operacije sa dva elementa. Ali bolje je pozabaviti se ovim primjerom.
Aksiom prstena
Postoji nekoliko matematičkih zakona.
- Prvi je komutativan, po njemu C + V=V + C.
- Drugi se zove asocijativni (V + C) + D=V + (C + D).
Oni takođe poštuju množenje (V x C) x D=V x (C x D).
Niko nije poništio pravila po kojima se otvaraju zagrade (V + C) x D=V x D + C x D, takođe je tačno da je C x (V + D)=C x V + C x D.
Osim toga, ustanovljeno je da se u prsten može uvesti poseban element, neutralan u smislu sabiranja, pomoću kojeg će biti tačno: C + 0=C. Osim toga, za svaki C postoji suprotan element, koji se može označiti kao (-C). U ovom slučaju, C + (-C)=0.
Izvođenje aksioma za negativne brojeve
Prihvatajući gornje izjave, možemo odgovoriti na pitanje: ""Plus" do "minus" daje koji znak? Poznavajući aksiom o množenju negativnih brojeva, potrebno je potvrditi da je zaista (-C) x V=-(C x V). I takođe da je tačna sljedeća jednakost: (-(-C))=C.
Da bismo to učinili, prvo ćemo morati dokazati da svaki od elemenata ima samo jedannasuprot bratu. Razmotrite sljedeći primjer dokaza. Pokušajmo zamisliti da su dva broja suprotna za C - V i D. Iz ovoga slijedi da je C + V=0 i C + D=0, odnosno C + V=0=C + D. Prisjećajući se zakona pomaka a o svojstvima broja 0, možemo razmotriti zbir sva tri broja: C, V i D. Pokušajmo odgonetnuti vrijednost V. Logično je da je V=V + 0=V + (C + D)=V + C + D, jer je vrijednost C + D, kako je gore prihvaćeno, jednaka 0. Dakle, V=V + C + D.
Vrijednost za D je izvedena na potpuno isti način: D=V + C + D=(V + C) + D=0 + D=D. Na osnovu ovoga postaje jasno da je V=D.
Da biste razumjeli zašto "plus" na "minus" daje "minus", morate razumjeti sljedeće. Dakle, za element (-C), suprotnosti su C i (-(-C)), to jest, jednaki su jedan drugom.
Onda je očigledno da je 0 x V=(C + (-C)) x V=C x V + (-C) x V. Iz toga slijedi da je C x V suprotno od (-)C x V, dakle (-C) x V=-(C x V).
Za potpunu matematičku strogost, također je potrebno potvrditi da je 0 x V=0 za bilo koji element. Ako slijedite logiku, tada je 0 x V=(0 + 0) x V=0 x V + 0 x V. To znači da dodavanje proizvoda 0 x V ni na koji način ne mijenja postavljeni iznos. Na kraju krajeva, ovaj proizvod je jednak nuli.
Poznavajući sve ove aksiome, možete zaključiti ne samo koliko daje "plus" sa "minusom", već i šta se dešava kada množite negativne brojeve.
Množenje i dijeljenje dva broja sa znakom "-"
Ako ne idete duboko u matematikunijanse, možete pokušati objasniti pravila operacija s negativnim brojevima na jednostavniji način.
Pretpostavimo da je C - (-V)=D, dakle C=D + (-V), tj. C=D - V. Prenesite V i dobijete C + V=D. To jest, C + V=C - (-V). Ovaj primjer objašnjava zašto u izrazu u kojem postoje dva "minusa" u nizu, pomenute znakove treba promijeniti u "plus". Sada se pozabavimo množenjem.
(-C) x (-V)=D, možete dodati i oduzeti dva identična proizvoda izrazu, koji neće promijeniti njegovu vrijednost: (-C) x (-V) + (C x V)) - (C x V)=D.
Prisjećajući se pravila za rad sa zagradama, dobijamo:
1) (-C) x (-V) + (C x V) + (-C) x V=D;
2) (-C) x ((-V) + V) + C x V=D;
3) (-C) x 0 + C x V=D;
4) C x V=D.
Slijedi da je C x V=(-C) x (-V).
Slično, možemo dokazati da će dijeljenje dva negativna broja rezultirati pozitivnim.
Opšta matematička pravila
Naravno, ovo objašnjenje nije prikladno za učenike osnovne škole koji tek počinju da uče apstraktne negativne brojeve. Bolje im je da objašnjavaju na vidljivim objektima, manipulišući poznatim pojmom kroz ogledalo. Na primjer, tamo se nalaze izmišljene, ali ne postojeće igračke. Mogu se prikazati sa znakom "-". Umnožavanje dva zrcalna objekta prenosi ih u drugi svijet, koji je izjednačen sa sadašnjošću, odnosno kao rezultat imamo pozitivne brojeve. Ali množenje apstraktnog negativnog broja pozitivnim daje samo svima poznat rezultat. jer "plus"množenjem sa "minusom" dobija se "minus". Istina, u osnovnoškolskom uzrastu djeca baš i ne pokušavaju da uđu u sve matematičke nijanse.
Iako, ako se suočite sa istinom, za mnoge ljude, čak i sa visokim obrazovanjem, mnoga pravila ostaju misterija. Svi uzimaju zdravo za gotovo ono što ih nastavnici uče, ne libeći se da se udube u svu složenost kojom je matematika bremenita. "Minus" na "minus" daje "plus" - svi znaju za ovo bez izuzetka. Ovo vrijedi i za cijele i za razlomke.
