U matematici postoji koncept "skupa", kao i primjeri međusobnog poređenja ovih istih skupova. Nazivi tipova poređenja skupova su sledeće reči: bijekcija, injekcija, surjekcija. Svaki od njih je detaljnije opisan u nastavku.
Bijekcija je… šta je to?
Jedna grupa elemenata prvog skupa se poklapa sa drugom grupom elemenata iz drugog skupa u ovom obliku: svaki element prve grupe se direktno poklapa sa drugim elementom druge grupe, i postoji nema situacije sa manjkom ili nabrajanjem elemenata bilo kojeg ili iz dvije grupe skupova.
Formulacija glavnih svojstava:
- Jedan element prema jednom.
- Nema dodatnih elemenata prilikom podudaranja i prvo svojstvo je sačuvano.
- Moguće je obrnuti mapiranje uz održavanje opšteg pogleda.
- Bijekcija je funkcija koja je i injektivna i surjektivna.
Bijekcija sa naučne tačke gledišta
Bijektivne funkcije su upravo izomorfizmi u kategoriji "skup i skup funkcija". Međutim, bijekcije nisu uvijek izomorfizmi za složenije kategorije. Na primjer, u određenoj kategoriji grupa morfizmi moraju biti homomorfizmi, jer moraju sačuvati strukturu grupe. Prema tome, izomorfizmi su grupni izomorfizmi, koji su bijektivni homomorfizmi.
Koncept "jedan-na-jedan korespondencije" je generaliziran na parcijalne funkcije, gdje se one nazivaju parcijalne bijekcije, iako je djelomična bijekcija ono što bi trebalo biti injekcija. Razlog za ovo opuštanje je taj što parcijalna (pravilna) funkcija više nije definirana za dio svoje domene. Dakle, nema dobrog razloga da se njena inverzna funkcija ograniči na potpunu, tj. definisanu svuda u svom domenu. Skup svih parcijalnih bijekcija na dati osnovni skup naziva se simetrična inverzna polugrupa.
Drugi način definiranja istog koncepta: vrijedi reći da je parcijalna bijekcija skupova od A do B bilo koja relacija R (djelimična funkcija) sa svojstvom da je R bijekcioni graf f:A'→B ' gdje je A' podskup od A i B' je podskup od B.
Kada je parcijalna bijekcija na istom skupu, ponekad se naziva parcijalna transformacija jedan-na-jedan. Primjer je Möbiusova transformacija upravo definirana na kompleksnoj ravni, a ne njen završetak u proširenoj kompleksnoj ravni.
Injekcija
Jedna grupa elemenata prvog skupa se poklapa sa drugom grupom elemenata iz drugog skupa u ovom obliku: svaki element prve grupe se poklapa sa drugim elementom drugog, ali ne sa svim pretvaraju se u parove. Broj nesparenih elemenata zavisi od razlike u broju ovih elemenata u svakom od skupova: ako se jedan skup sastoji od trideset i jednog elementa, a drugi ima još sedam, onda je broj nesparenih elemenata sedam. Usmjereno ubrizgavanje u set. Bijekcija i injekcija su slične, ali ništa više od sličnog.
Surjection
Jedna grupa elemenata prvog skupa se poklapa sa drugom grupom elemenata iz drugog skupa na ovaj način: svaki element bilo koje grupe čini par, čak i ako postoji razlika između broja elemenata. Iz toga slijedi da se jedan element iz jedne grupe može upariti sa nekoliko elemenata iz druge grupe.
Ni bijektivna, ni injektivna, ni surjektivna funkcija
Ovo je funkcija bijektivnog i surjektivnog oblika, ali sa ostatkom (nesparenim)=> injekcijom. U takvoj funkciji postoji jasna veza između bijekcije i surjekcije, jer direktno uključuje ove dvije vrste poređenja skupova. Dakle, ukupnost svih vrsta ovih funkcija nije jedna od njih u izolaciji.
Objašnjenje svih vrsta funkcija
Na primjer, posmatrač je fasciniran sljedećim. Postoje takmičenja u streljaštvu. Svaki odučesnik želi da pogodi metu (kako bi se olakšao zadatak: ne uzima se u obzir tačno gde strelica pogađa). Samo tri učesnika i tri mete - ovo je prva lokacija (sajt) za turnir. U narednim odjeljcima broj strijelaca je sačuvan, ali se broj meta mijenja: na drugom - četiri mete, na sljedećem - također četiri, a na četvrtom - pet. Svaki učesnik puca u svaku metu.
- Prvo mjesto održavanja turnira. Prvi strijelac pogađa samo jednu metu. Drugi pogađa samo jednu metu. Treći se ponavlja za ostalima, a svi strijelci pogađaju različite mete: one koje su nasuprot njima. Kao rezultat toga, 1 (prvi strijelac) je pogodio metu (a), 2 - u (b), 3 - u (c). Uočava se sljedeća zavisnost: 1 – (a), 2 – (b), 3 – (c). Zaključak će biti sud da je takvo poređenje skupova bijekcija.
- Druga platforma za turnir. Prvi strijelac pogađa samo jednu metu. Drugi takođe pogađa samo jednu metu. Treći se baš i ne trudi i ponavlja sve za ostalima, ali uvjet je isti - svi strijelci pogađaju različite mete. Ali, kao što je ranije spomenuto, na drugoj platformi već postoje četiri mete. Zavisnost: 1 - (a), 2 - (b), 3 - (c), (d) - nespareni element skupa. U ovom slučaju, zaključak će biti prosudba da je takvo poređenje skupa injekcija.
- Treće mjesto održavanja turnira. Prvi strijelac pogađa samo jednu metu. Drugi opet pogađa samo jednu metu. Treći odlučuje da se sabere i pogađa treću i četvrtu metu. Kao rezultat, ovisnost: 1 -(a), 2 - (b), 3 - (c), 3 - (d). Ovdje će zaključak biti sud da je takvo poređenje skupova surjekcija.
- Četvrta platforma za turnir. Sa prvim je već sve jasno, pogađa samo jednu metu, u kojoj uskoro više neće biti mjesta za već dosadne pogotke. Sada drugi preuzima ulogu još nedavnog trećeg i opet pogađa samo jednu metu, ponavljajući se za prvim. Treći nastavlja da se kontroliše i ne prestaje da uvodi svoju strelu u treću i četvrtu metu. Peti je, međutim, još uvijek bio izvan njegove kontrole. Dakle, zavisnost: 1 - (a), 2 - (b), 3 - (c), 3 - (d), (e) - neupareni element skupa ciljeva. Zaključak: takvo poređenje skupova nije surjekcija, nije injekcija i nije bijekcija.
Sada konstruisanje bijekcije, injekcije ili surjekcije neće biti problem, kao ni pronalaženje razlika između njih.
