Proučavanje svojstava plinovitog agregatnog stanja materije jedno je od važnih područja moderne fizike. Uzimajući u obzir gasove u mikroskopskoj skali, mogu se dobiti svi makroskopski parametri sistema. Ovaj članak će otkriti važno pitanje molekularne kinetičke teorije plinova: kakva je Maxwellova raspodjela molekula u smislu brzina.
Historijska pozadina
Ideja o gasu kao sistemu mikroskopskih pokretnih čestica nastala je u staroj Grčkoj. Nauci je trebalo više od 1700 godina da ga razvije.
Osnivač moderne molekularno-kinetičke teorije (MKT) plina je pošteno uzeti u obzir Daniila Bernoullija. Godine 1738. objavio je djelo pod nazivom "Hidrodinamika". U njemu je Bernoulli iznio ideje MKT-a koje se koriste do danas. Dakle, naučnik je vjerovao da se plinovi sastoje od čestica koje se nasumično kreću u svim smjerovima. Brojni sudaričestice sa zidovima posuda se percipiraju kao prisustvo pritiska u gasovima. Brzine čestica su usko povezane sa temperaturom sistema. Naučna zajednica nije prihvatila Bernulijeve smele ideje jer zakon održanja energije još nije bio uspostavljen.
Naknadno su mnogi naučnici bili angažovani na izgradnji kinetičkog modela gasova. Među njima treba istaknuti Rudolfa Clausiusa, koji je 1857. godine stvorio jednostavan model plina. U njemu je naučnik posebnu pažnju posvetio prisustvu translacionih, rotacionih i vibracionih stepena slobode u molekulima.
Godine 1859, proučavajući Clausiusov rad, James Maxwell je formulirao takozvanu Maxwellovu raspodjelu po molekularnim brzinama. U stvari, Maxwell je potvrdio ideje MKT-a, potkrijepivši ih matematičkim aparatom. Nakon toga, Ludwig Boltzmann (1871) je generalizirao zaključke Maxwellove raspodjele. On je postulirao opštiju statističku distribuciju molekula po brzinama i energijama. Trenutno je poznata kao Maxwell-Boltzmannova distribucija.
Idealan plin. Osnovni postulati ILC
Da biste razumjeli što je Maxwellova funkcija distribucije, morate jasno razumjeti sisteme za koje je ova funkcija primjenjiva. Govorimo o idealnom gasu. U fizici se ovaj koncept shvata kao fluidna supstanca, koja se sastoji od praktički bezdimenzionalnih čestica koje nemaju potencijalnu energiju. Te se čestice kreću velikom brzinom, pa je njihovo ponašanje u potpunosti određeno kinetičkom energijom. Štaviše, udaljenosti između čestica su prevelike zau odnosu na njihove veličine, tako da su ove druge zanemarene.
Idealni gasovi su opisani u MKT. Njegovi glavni postulati su sljedeći:
- gasni sistemi se sastoje od ogromnog broja slobodnih čestica;
- čestice se nasumično kreću različitim brzinama u različitim smjerovima duž pravih putanja;
- čestice se elastično sudaraju sa zidovima posuda (vjerovatnost da se čestice sudaraju jedna s drugom je mala zbog njihove male veličine);
- Temperatura sistema je jedinstveno određena prosječnom kinetičkom energijom čestica, koja se čuva u vremenu ako se uspostavi termodinamička ravnoteža u sistemu.
Maxwellov zakon o distribuciji
Kada bi osoba imala instrument kojim je bilo moguće izmjeriti brzinu jednog molekula plina, tada bi se, nakon sprovođenja odgovarajućeg eksperimenta, iznenadila. Eksperiment bi pokazao da se svaki molekul bilo kojeg plinovitog sistema kreće potpuno proizvoljnom brzinom. U ovom slučaju, u okviru jednog sistema u termalnoj ravnoteži sa okolinom, detektovali bi se i veoma spori i veoma brzi molekuli.
Maxwellov zakon o raspodjeli brzina molekula plina je alat koji vam omogućava da odredite vjerovatnoću detekcije čestica sa datom brzinom v u sistemu koji se proučava. Odgovarajuća funkcija izgleda ovako:
f(v)=(m/(2pikT))3/24piv2 exp(-mv2/(2kT)).
U ovom izrazu, m -masa čestice (molekula), k - Boltzmannova konstanta, T - apsolutna temperatura. Dakle, ako je poznata hemijska priroda čestica (vrijednost m), tada je funkcija f(v) jednoznačno određena apsolutnom temperaturom. Funkcija f(v) naziva se gustoća vjerovatnoće. Ako iz njega uzmemo integral za neko ograničenje brzine (v; v+dv), onda dobijamo broj čestica Ni, koje imaju brzine u određenom intervalu. Prema tome, ako uzmemo integral gustoće vjerovatnoće f(v) za granice brzine od 0 do ∞, onda ćemo dobiti ukupan broj molekula N u sistemu.
Grafički prikaz gustine vjerovatnoće f(v)
Funkcija gustine vjerovatnoće ima donekle složen matematički oblik, tako da nije lako predstaviti njeno ponašanje na datoj temperaturi. Ovaj problem se može riješiti ako ga prikažete na dvodimenzionalnom grafu. Šematski prikaz grafika Maxwellove distribucije prikazan je ispod na slici.
Vidimo da počinje od nule, pošto brzina v molekula ne može imati negativne vrijednosti. Graf završava negdje u području velikih brzina, glatko padajući na nulu (f(∞)->0). Sljedeća karakteristika je također upečatljiva: glatka kriva je asimetrična, oštrije se smanjuje za male brzine.
Važna karakteristika ponašanja funkcije gustine vjerovatnoće f(v) je prisustvo jednog izraženog maksimuma na njoj. Prema fizičkom značenju funkcije, ovaj maksimum odgovara najvjerojatnije vrijednosti brzina molekula u plinusistem.
Važne brzine za funkciju f(v)
Funkcija gustine vjerovatnoće f(v) i njen grafički prikaz omogućavaju nam da definiramo tri važna tipa brzine.
Prva vrsta brzine koja je očigledna i koja je gore spomenuta je najvjerovatnija brzina v1. Na grafu njena vrijednost odgovara maksimumu funkcije f(v). Upravo tu brzinu i njoj bliske vrijednosti imat će većina čestica sistema. Nije ga teško izračunati, za to je dovoljno uzeti prvi izvod u odnosu na brzinu funkcije f(v) i izjednačiti ga sa nulom. Kao rezultat ovih matematičkih operacija, dobijamo konačni rezultat:
v1=√(2RT/M).
Ovdje je R univerzalna plinska konstanta, M je molarna masa molekula.
Druga vrsta brzine je njena prosječna vrijednost za svih N čestica. Označimo ga v2. Može se izračunati integracijom funkcije vf(v) po svim brzinama. Rezultat navedene integracije bit će sljedeća formula:
v2=√(8RT/(piM)).
Budući da je omjer 8/pi>2, prosječna brzina je uvijek nešto veća od najvjerovatnije.
Svaka osoba koja malo zna o fizici razumije da prosječna brzina v2 molekula mora biti od velike važnosti u gasnom sistemu. Međutim, ovo je pogrešna pretpostavka. Mnogo važnija je RMS brzina. Označimo gav3.
Prema definiciji, srednja kvadratna brzina je zbir kvadrata pojedinačnih brzina svih čestica, podeljen sa brojem ovih čestica, i uzet kao kvadratni koren. Može se izračunati za Maxwellovu distribuciju ako definiramo integral po svim brzinama funkcije v2f(v). Formula za prosječnu kvadratnu brzinu imat će oblik:
v3=√(3RT/M).
Jednakost pokazuje da je ova brzina veća od v2 i v1 za bilo koji gasni sistem.
Dakle, sve razmatrane vrste brzina na grafu Maxwellove distribucije leže ili na ekstremumu ili desno od njega.
Važnost v3
Iznad je napomenuto da je srednja kvadratna brzina važnija za razumijevanje fizičkih procesa i svojstava gasnog sistema od prosječne prosječne brzine v2. Ovo je tačno, pošto kinetička energija idealnog gasa zavisi upravo od v3, a ne od v2.
Ako uzmemo u obzir jednoatomski idealni gas, onda je za njega tačan sljedeći izraz:
mv32/2=3/2kT.
Ovdje, svaki dio jednačine predstavlja kinetičku energiju jedne čestice mase m. Zašto izraz sadrži upravo vrijednost v3, a ne prosječnu brzinu v2? Vrlo jednostavno: kada se određuje kinetička energija svake čestice, njena pojedinačna brzina v se kvadrira, a zatim sve brzinese sabiraju i dijele sa brojem čestica N. To jest, sam postupak određivanja kinetičke energije dovodi do vrijednosti srednje kvadratne brzine.
Zavisnost funkcije f(v) o temperaturi
Iznad smo utvrdili da gustina vjerovatnoće molekularnih brzina jedinstveno zavisi od temperature. Kako će se funkcija promijeniti ako se T poveća ili smanji? Tabela ispod će pomoći da se odgovori na ovo pitanje.
Vidi se da zagrijavanje zatvorenog sistema dovodi do razmazivanja vrha i njegovog pomjeranja ka većim brzinama. Povećanje temperature dovodi do povećanja svih vrsta brzina i do smanjenja gustoće vjerovatnoće svake od njih. Vršna vrijednost se smanjuje zbog očuvanja broja čestica N u zatvorenom sistemu.
Sljedeće ćemo riješiti nekoliko problema kako bismo konsolidirali primljeni teorijski materijal.
Problem sa molekulima azota u vazduhu
Potrebno je izračunati brzine v1, v2 i v3 za azot iz vazduha na temperaturi od 300 K (oko 27 oC).
Molarna masa azota N2 je 28 g/mol. Koristeći gornje formule, dobijamo:
v1=√(2RT/M)=√(28, 314300/0, 028)=422 m/s;
v2=√(8RT/(piM))=√(88, 314300/(3, 140, 028))=476 m/s;
v3=√(3RT/M)=√(38, 314300/0, 028)=517 m/s.
Problem sa rezervoarom za kiseonik
Kisnik u cilindru je bio na određenoj temperaturi T1. Zatim je balon stavljen u hladniju prostoriju. Kako će se promijeniti grafikon Maxwellove raspodjele brzine za molekule kisika kada sistem dođe u termodinamičku ravnotežu?
Sjećajući se teorije, na pitanje problema možemo odgovoriti na ovaj način: vrijednosti svih vrsta brzina molekula će se smanjiti, vrh funkcije f(v) će se pomjeriti ulijevo, postaju sve uži i viši.
