Jedno od karakterističnih svojstava bilo kog talasa je njegova sposobnost difrakcije na preprekama, čija je veličina uporediva sa talasnom dužinom ovog talasa. Ovo svojstvo se koristi u takozvanim difrakcionim rešetkama. Šta su oni i kako se mogu koristiti za analizu spektra emisije i apsorpcije različitih materijala, raspravlja se u članku.
Fenomen difrakcije
Ovaj fenomen se sastoji u promeni putanje pravolinijskog prostiranja talasa kada se na njegovom putu pojavi prepreka. Za razliku od refrakcije i refleksije, difrakcija je uočljiva samo na vrlo malim preprekama, čije su geometrijske dimenzije reda valne dužine. Postoje dvije vrste difrakcije:
- val koji se savija oko objekta kada je talasna dužina mnogo veća od veličine ovog objekta;
- rasipanje talasa pri prolasku kroz rupe različitih geometrijskih oblika, kada su dimenzije rupa manje od talasne dužine.
Fenomen difrakcije karakterističan je za zvučne, morske i elektromagnetne talase. Dalje u članku ćemo razmotriti difrakcijsku rešetku samo za svjetlost.
Fenomen interferencije
Difrakcijski obrasci koji se pojavljuju na raznim preprekama (okrugle rupe, prorezi i rešetke) rezultat su ne samo difrakcije, već i interferencije. Suština potonjeg je superpozicija valova jedan na drugi, koje emituju različiti izvori. Ako ovi izvori zrače talase dok održavaju faznu razliku između sebe (osobina koherencije), tada se može uočiti stabilan interferentni obrazac u vremenu.
Položaj maksimuma (svetle oblasti) i minimuma (tamne zone) objašnjava se na sledeći način: ako dva talasa stignu u datu tačku u antifazi (jedan sa maksimumom, a drugi sa minimalnom apsolutnom amplitudom), tada se "uništavaju" jedni druge, a na tački se posmatra minimum. Naprotiv, ako dva talasa dođu u istoj fazi u jednu tačku, onda će se međusobno pojačati (maksimalno).
Obje pojave je prvi opisao Englez Thomas Young 1801. godine, kada je proučavao difrakciju na dva proreza. Međutim, Italijan Grimaldi prvi je uočio ovaj fenomen 1648. godine, kada je proučavao difrakcijski obrazac koji daje sunčeva svjetlost koja prolazi kroz malu rupu. Grimaldi nije mogao objasniti rezultate svojih eksperimenata.
Matematička metoda korištena za proučavanje difrakcije
Ova metoda se zove Huygens-Fresnel princip. Sastoji se u tvrdnji da u procesuširenja fronta talasa, svaka od njegovih tačaka je izvor sekundarnih talasa, čija interferencija određuje rezultujuću oscilaciju u proizvoljnoj tački koja se razmatra.
Opisani princip razvio je Augustin Fresnel u prvoj polovini 19. vijeka. Istovremeno, Fresnel je pošao od ideja talasne teorije Christiana Huygensa.
Iako Huygens-Fresnelov princip nije teoretski rigorozan, uspješno je korišten za matematički opis eksperimenata sa difrakcijom i interferencijom.
Difrakcija u bližem i daljem polju
Difrakcija je prilično složen fenomen, za čije tačno matematičko rješenje je potrebno razmotriti Maxwellovu teoriju elektromagnetizma. Stoga se u praksi razmatraju samo posebni slučajevi ovog fenomena, koristeći različite aproksimacije. Ako je talasni front koji pada na prepreku ravan, razlikuju se dva tipa difrakcije:
- u bliskom polju, ili Fresnelova difrakcija;
- u dalekom polju, ili Fraunhoferova difrakcija.
Reči "daleko i blisko polje" znače rastojanje do ekrana na kojem se posmatra difrakcioni uzorak.
Prijelaz između Fraunhoferove i Fresnelove difrakcije može se procijeniti izračunavanjem Fresnelovog broja za određeni slučaj. Ovaj broj je definiran na sljedeći način:
F=a2/(Dλ).
Ovdje λ je talasna dužina svjetlosti, D je udaljenost do ekrana, a je veličina objekta na kojem se javlja difrakcija.
Ako je F<1, onda razmotriteveć aproksimacije bliskog polja.
Mnogi praktični slučajevi, uključujući upotrebu difrakcione rešetke, razmatraju se u aproksimaciji dalekog polja.
Koncept rešetke na kojoj se valovi lome
Ova rešetka je mali ravan objekt, na koji je na neki način primijenjena periodična struktura, kao što su pruge ili žljebovi. Važan parametar takve rešetke je broj traka po jedinici dužine (obično 1 mm). Ovaj parametar se naziva konstanta rešetke. Dalje ćemo ga označiti simbolom N. Recipročna vrijednost N određuje udaljenost između susjednih traka. Označimo ga slovom d, a zatim:
d=1/N.
Kada ravni talas padne na takvu rešetku, on doživljava periodične perturbacije. Potonji se prikazuju na ekranu u obliku određene slike, koja je rezultat interferencije talasa.
Vrste rešetki
Postoje dvije vrste difrakcijskih rešetki:
- prolazno, ili transparentno;
- reflektirajuće.
Prvi su napravljeni nanošenjem neprozirnih poteza na staklo. Sa takvim pločama rade u laboratorijama, koriste se u spektroskopima.
Drugi tip, odnosno reflektirajuće rešetke, izrađuju se primjenom periodičnih žljebova na polirani materijal. Upečatljiv svakodnevni primjer takve rešetke je plastični CD ili DVD disk.
jednačina rešetke
S obzirom na Fraunhoferovu difrakciju na rešetki, sljedeći izraz se može napisati za intenzitet svjetlosti u uzorku difrakcije:
I(θ)=I0(sin(β)/β)2[sin(Nα) /sin(α)]2, gdje je
α=pid/λ(sin(θ)-sin(θ0));
β=pia/λ(sin(θ)-sin(θ0)).
Parametar a je širina jednog slota, a parametar d je udaljenost između njih. Važna karakteristika u izrazu za I(θ) je ugao θ. Ovo je ugao između centralne okomice na ravan rešetke i određene tačke u difrakcijskom uzorku. U eksperimentima se mjeri pomoću goniometra.
U prikazanoj formuli, izraz u zagradi određuje difrakciju od jednog proreza, a izraz u uglastim zagradama je rezultat interferencije talasa. Analizirajući ga za uslove maksimuma interferencije, možemo doći do sljedeće formule:
sin(θm)-sin(θ0)=mλ/d.
Ugao θ0 karakterizira upadni talas na rešetku. Ako je front talasa paralelan sa njim, tada je θ0=0, a poslednji izraz postaje:
sin(θm)=mλ/d.
Ova formula se zove jednačina difrakcijske rešetke. Vrijednost m poprima bilo koje cijele brojeve, uključujući negativne i nulu, naziva se red difrakcije.
Analiza jednadžbe rešetke
U prethodnom pasusu smo saznalida je položaj glavnih maksimuma opisan jednadžbom:
sin(θm)=mλ/d.
Kako se to može primijeniti u praksi? Uglavnom se koristi kada se svjetlost koja pada na difrakcijsku rešetku s periodom d razloži na pojedinačne boje. Što je valna dužina λ duža, to će biti veća ugaona udaljenost do maksimuma koji joj odgovara. Mjerenje odgovarajućeg θm za svaki talas omogućava vam da izračunate njegovu dužinu, a samim tim i odredite cijeli spektar zračijućeg objekta. Upoređujući ovaj spektar sa podacima iz poznate baze podataka, možemo reći koji hemijski elementi su ga emitovali.
Navedeni proces se koristi u spektrometrima.
Rezolucija mreže
Podrazumeva se tolika razlika između dve talasne dužine koje se pojavljuju u dijagramu difrakcije kao zasebne linije. Činjenica je da svaka linija ima određenu debljinu, kada se dva vala sa bliskim vrijednostima λ i λ + Δλ difraktiraju, tada se linije koje im odgovaraju na slici mogu spojiti u jednu. U potonjem slučaju, kaže se da je rezolucija rešetke manja od Δλ.
Izostavljajući argumente u vezi izvođenja formule za rezoluciju rešetke, predstavljamo njen konačni oblik:
Δλ>λ/(mN).
Ova mala formula nam omogućava da zaključimo: pomoću rešetke možete odvojiti bliže talasne dužine (Δλ), što je talasna dužina svetlosti λ duža, to je veći broj udaraca po jedinici dužine(konstanta rešetke N), a što je veći red difrakcije. Zadržimo se na posljednjem.
Ako pogledate uzorak difrakcije, onda sa povećanjem m, zaista dolazi do povećanja udaljenosti između susjednih valnih dužina. Međutim, da bi se koristili visoki redovi difrakcije, potrebno je da intenzitet svjetlosti na njima bude dovoljan za mjerenja. Na konvencionalnoj difrakcionoj rešetki, brzo opada s povećanjem m. Stoga se u ove svrhe koriste posebne rešetke koje su napravljene tako da se intenzitet svjetlosti preraspodijeli u korist velikih m. Po pravilu, to su reflektirajuće rešetke, na kojima se difrakcioni uzorak dobija za velike θ0.
Dalje, razmislite o korištenju jednadžbe rešetke za rješavanje nekoliko problema.
Zadaci za određivanje uglova difrakcije, reda difrakcije i konstante rešetke
Dajmo primjere rješavanja nekoliko problema:
Da bi se odredio period difrakcione rešetke, sprovodi se sledeći eksperiment: uzima se monohromatski izvor svetlosti čija je talasna dužina poznata vrednost. Uz pomoć sočiva formira se paralelni talasni front, odnosno stvaraju se uslovi za Fraunhoferovu difrakciju. Zatim se ovaj front usmjerava na difrakcijsku rešetku čiji je period nepoznat. Na rezultirajućoj slici, uglovi za različite redove mjere se pomoću goniometra. Tada formula izračunava vrijednost nepoznatog perioda. Izvršimo ovaj proračun na konkretnom primjeru
Neka talasna dužina svetlosti bude 500 nm, a ugao za prvi red difrakcije 21o. Na osnovu ovih podataka potrebno je odrediti period difrakcione rešetke d.
Koristeći jednadžbu rešetke, izrazite d i uključite podatke:
d=mλ/sin(θm)=150010-9/sin(21 o) ≈ 1,4 µm.
Tada je konstanta rešetke N:
N=1/d ≈ 714 linija po 1 mm.
Svjetlost normalno pada na difrakcionu rešetku koja ima period od 5 mikrona. Znajući da je talasna dužina λ=600 nm, potrebno je pronaći uglove pod kojima će se pojaviti maksimumi prvog i drugog reda
Za prvi maksimum dobijamo:
sin(θ1)=λ/d=>θ1=arcsin(λ/d) ≈ 6, 9 o.
Drugi maksimum će se pojaviti za ugao θ2:
θ2=arcsin(2λ/d) ≈ 13, 9o.
Monohromatska svetlost pada na difrakcionu rešetku sa periodom od 2 mikrona. Njegova talasna dužina je 550 nm. Potrebno je pronaći koliko će se redova difrakcije pojaviti u rezultirajućoj slici na ekranu
Ova vrsta problema se rješava na sljedeći način: prvo treba odrediti zavisnost ugla θm od reda difrakcije za uslove problema. Nakon toga, bit će potrebno uzeti u obzir da funkcija sinusa ne može imati vrijednosti veće od jedan. Posljednja činjenica će nam omogućiti da odgovorimo na ovaj problem. Uradimo opisane radnje:
sin(θm)=mλ/d=0, 275m.
Ova jednakost pokazuje da kada je m=4, izraz na desnoj strani postaje jednak 1,1, a pri m=3 to će biti jednako 0,825. To znači da koristeći difrakcijsku rešetku s periodom od 2 μm na talasnoj dužini od 550 nm, možete dobiti maksimalan 3. red difrakcije.
Problem izračunavanja rezolucije rešetke
Pretpostavimo da će za eksperiment koristiti difrakcionu rešetku s periodom od 10 mikrona. Potrebno je izračunati za koju minimalnu talasnu dužinu se talasi u blizini λ=580 nm mogu razlikovati tako da se na ekranu pojavljuju kao zasebni maksimumi.
Odgovor na ovaj problem je vezan za određivanje rezolucije razmatrane rešetke za datu talasnu dužinu. Dakle, dva talasa se mogu razlikovati za Δλ>λ/(mN). Pošto je konstanta rešetke obrnuto proporcionalna periodu d, ovaj izraz se može napisati na sljedeći način:
Δλ>λd/m.
Sada za talasnu dužinu λ=580 nm pišemo jednačinu rešetke:
sin(θm)=mλ/d=0, 058m.
Tamo dobijamo da će maksimalni red od m biti 17. Zamjenom ovog broja u formulu za Δλ, imamo:
Δλ>58010-91010-6/17=3, 410- 13 ili 0,00034 nm.
Dobili smo veoma visoku rezoluciju kada je period difrakcione rešetke 10 mikrona. U praksi se to po pravilu ne postiže zbog niskih intenziteta maksimuma visokih difrakcijskih redova.
