Tako neverovatan i poznat kvadrat. Simetrična je oko svog centra i osa povučenih duž dijagonala i kroz središta stranica. A tražiti površinu kvadrata ili njegov volumen nije nimalo teško. Pogotovo ako se zna dužina njegove stranice.
Nekoliko riječi o figuri i njenim svojstvima
Prva dva svojstva su povezana sa definicijom. Sve strane figure su jednake jedna drugoj. Na kraju krajeva, kvadrat je pravilan četverougao. Štaviše, mora imati sve strane jednake, a uglovi imaju istu vrijednost, odnosno 90 stepeni. Ovo je druga nekretnina.
Treći se odnosi na dužinu dijagonala. Takođe se ispostavlja da su jednaki jedni drugima. Štaviše, oni se seku pod pravim uglom i na sredini.
Formula koja koristi samo bočnu dužinu
Prvo, o notaciji. Za dužinu stranice uobičajeno je odabrati slovo "a". Tada se kvadratna površina izračunava po formuli: S=a2.
Lako se dobija od onog poznatog po pravougaoniku. U njemu se dužina i širina množe. Za kvadrat, ova dva elementa su jednaka. Dakle, u formulipojavljuje se kvadrat ove jedne vrijednosti.
Formula u kojoj se pojavljuje dužina dijagonale
To je hipotenuza u trouglu čiji su kraci stranice figure. Stoga, možete koristiti formulu Pitagorine teoreme i izvesti jednakost u kojoj je strana izražena kroz dijagonalu.
Nakon takvih jednostavnih transformacija, dobijamo da se kvadratna površina kroz dijagonalu izračunava po sljedećoj formuli:
S=d2 / 2. Ovdje slovo d označava dijagonalu kvadrata.
Formula perimetra
U takvoj situaciji, potrebno je izraziti stranu kroz perimetar i zamijeniti je u formulu površine. Pošto figura ima četiri identične strane, perimetar će se morati podijeliti sa 4. Ovo će biti vrijednost stranice, koja se zatim može zamijeniti početnom i izračunati površinu kvadrata.
Opća formula izgleda ovako: S=(R/4)2.
Problemi za kalkulacije
1. Postoji kvadrat. Zbir njegove dvije strane je 12 cm. Izračunajte površinu kvadrata i njegov obim.
Odluka. Pošto je zadan zbir dviju stranica, moramo pronaći dužinu jedne. Pošto su isti, poznati broj samo treba podijeliti sa dva. Odnosno, strana ove figure je 6 cm.
Onda se njegov obim i površina lako izračunavaju pomoću gornjih formula. Prvi je 24cm, a drugi 36cm2.
Odgovor. Opseg kvadrata je 24 cm, a njegova površina je 36 cm2.
2. Pronađite površinu kvadrata sa obimom od 32 mm.
Odluka. Dovoljno je samo zamijeniti vrijednost perimetra u formuli koja je gore napisana. Iako prvo možete saznati stranu kvadrata, a tek onda njegovu površinu.
U oba slučaja, radnje će prvo uključivati dijeljenje, a zatim eksponencijaciju. Jednostavni proračuni dovode do činjenice da je površina predstavljenog kvadrata 64 mm2.
Odgovor. Željena površina je 64 mm2.
3. Strana kvadrata je 4 dm. Veličine pravougaonika: 2 i 6 dm. Koja od dvije figure ima veću površinu? Koliko?
Odluka. Neka strana kvadrata bude označena slovom a1, tada su dužina i širina pravougaonika a2 i 2 . Da bi se odredila površina kvadrata, vrijednost a1 treba kvadrirati, a vrijednost pravokutnika treba pomnožiti sa 2i 2 . Lako je.
Ispostavilo se da je površina kvadrata 16 dm2, a pravougaonika 12 dm2. Očigledno je da je prva figura veća od druge. To je uprkos činjenici da su jednaki, odnosno imaju isti perimetar. Da biste provjerili, možete izbrojati perimetre. Na kvadratu se strana mora pomnožiti sa 4, dobićete 16 dm. Dodajte stranice pravougaonika i pomnožite sa 2. Biće isti broj.
U zadatku morate odgovoriti i koliko se površine razlikuju. Da biste to učinili, oduzmite manji broj od većeg broja. Ispada da je razlika 4 dm2.
Odgovor. Površine su 16 dm2 i 12 dm2. Kvadrat ima još 4 dm2.
Problem sa dokazom
Stanje. Na kraku jednakokračnog pravokutnog trokuta izgrađen je kvadrat. Nadmorska visina se gradi na njegovoj hipotenuzi, na kojoj je izgrađen još jedan kvadrat. Dokažite da je površina prve duplo veća od druge.
Odluka. Hajde da uvedemo notaciju. Neka je katet jednak a, a visina povučena hipotenuzi je x. Površina prvog kvadrata je S1, drugog kvadrata je S2.
Površinu kvadrata izgrađenog na nozi je lako izračunati. Ispada da je jednako a2. Sa drugom vrijednošću stvari nisu tako jednostavne.
Prvo morate saznati dužinu hipotenuze. Za ovo je korisna formula Pitagorine teoreme. Jednostavne transformacije dovode do ovog izraza: a√2.
Budući da je visina u jednakokračnom trouglu povučenom do osnove ujedno i medijana i visina, ona dijeli veliki trougao na dva jednaka jednakokračna pravougla trougla. Dakle, visina je polovina hipotenuze. To jest, x \u003d (a √ 2) / 2. Odavde je lako pronaći područje S2. Ispada da je jednako a2/2.
Očigledno, snimljene vrijednosti se razlikuju tačno za faktor dva. A drugi je mnogo manje. Kao što je potrebno za dokazivanje.
Neobična slagalica - tangram
Napravljen je od kvadrata. Mora se rezati u različite oblike prema određenim pravilima. Ukupni dijelovi bi trebali biti 7.
Pravila pretpostavljaju da će se tokom igre koristiti svi rezultujući dijelovi. Od njih morate napraviti druge geometrijske oblike. Na primjer,pravougaonik, trapez ili paralelogram.
Ali još je zanimljivije kada se iz komada dobiju siluete životinja ili predmeta. Štaviše, ispada da je površina svih izvedenih figura jednaka površini početnog kvadrata.
