Da bismo razumjeli koje su tačke ekstrema funkcije, uopće nije potrebno znati o prisutnosti prvog i drugog izvoda i razumjeti njihovo fizičko značenje. Prvo morate razumjeti sljedeće:
- ekstremi funkcije maksimiziraju ili, obrnuto, minimiziraju vrijednost funkcije u proizvoljno malom susjedstvu;
- Ne bi trebalo biti prekida funkcije na tački ekstrema.
A sada isto, samo na prostom jeziku. Pogledajte vrh hemijske olovke. Ako je olovka postavljena okomito, s krajem za pisanje prema gore, tada će sama sredina lopte biti krajnja tačka - najviša tačka. U ovom slučaju govorimo o maksimumu. Sada, ako okrenete olovku s krajem za pisanje prema dolje, tada će na sredini lopte već biti minimum funkcije. Uz pomoć ovdje date slike, možete zamisliti navedene manipulacije za olovku za papir. Dakle, ekstremi funkcije su uvijek kritične tačke: njeni maksimumi ili minimumi. Susedni deo grafikona može biti proizvoljno oštar ili gladak, ali mora postojati sa obe strane, samo u ovom slučaju tačka je ekstrem. Ako je grafikon prisutan samo na jednoj strani, ova tačka neće biti ekstrem, čak ni na jednoj straniispunjeni su ekstremni uslovi. Proučimo sada ekstreme funkcije sa naučne tačke gledišta. Da bi se tačka smatrala ekstremom, potrebno je i dovoljno da:
- prvi izvod je bio jednak nuli ili nije postojao u tački;
- prvi derivat je promijenio predznak u ovom trenutku.
Uslov se tumači nešto drugačije sa stanovišta izvoda višeg reda: za funkciju diferencibilnu u tački, dovoljno je da postoji izvod neparnog reda koji nije jednak nuli, dok su svi derivati nižeg reda moraju postojati i biti jednaki nuli. Ovo je najjednostavnija interpretacija teorema iz udžbenika više matematike. Ali za najobičnije ljude, vrijedno je objasniti ovu stvar na primjeru. Osnova je obična parabola. Odmah rezervišite, na nultoj tački ima minimum. Samo malo matematike:
- prvi derivat (X2)|=2X, za nultu tačku 2X=0;
- drugi derivat (2X)|=2, za nultu tačku 2=2.
Ovo je jednostavna ilustracija uslova koji određuju ekstreme funkcije i za derivate prvog reda i za derivate višeg reda. Ovome možemo dodati da je drugi izvod upravo isti izvod neparnog reda, nejednak nuli, o čemu je bilo riječi malo više. Kada su u pitanju ekstremi funkcije dvije varijable, uslovi moraju biti ispunjeni za oba argumenta. Kadadolazi do generalizacije, zatim se koriste parcijalni derivati. Odnosno, neophodno je za prisustvo ekstremuma u tački da su oba izvoda prvog reda jednaka nuli, ili da barem jedan od njih ne postoji. Za dovoljnost prisustva ekstremuma istražuje se izraz, koji je razlika između umnoška izvoda drugog reda i kvadrata mješovitog izvoda drugog reda funkcije. Ako je ovaj izraz veći od nule, onda postoji ekstremum, a ako je nula, onda pitanje ostaje otvoreno i potrebno je dodatno istraživanje.
