Maclaurin serija i proširenje nekih funkcija

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Zadnja izmjena: 2023-12-17 05:19

Studenti više matematike trebaju biti svjesni da se zbir nekog stepena reda koji pripada intervalu konvergencije datog niza ispostavlja kao kontinuirana i neograničen broj puta diferencirana funkcija. Postavlja se pitanje: da li je moguće tvrditi da je data proizvoljna funkcija f(x) zbir nekog stepena niza? Odnosno, pod kojim uslovima se funkcija f(x) može predstaviti nizom stepena? Važnost ovog pitanja leži u činjenici da je funkciju f(x) moguće približno zamijeniti zbirom prvih nekoliko članova niza stepena, odnosno polinomom. Takva zamjena funkcije prilično jednostavnim izrazom - polinomom - također je zgodna pri rješavanju nekih problema matematičke analize, naime: kod rješavanja integrala, kod izračunavanja diferencijalnih jednačina, itd.

Dokazano je da se za neku funkciju f(h) gdje se derivacije do (n+1)-og reda, uključujući i posljednji, mogu izračunati u susjedstvu (α _{- R; x}0 _{+ R) neke tačke x=α formula je važeća:}

Ova formula je dobila ime po poznatom naučniku Brook Taylor. Serija koja se dobije iz prethodnog naziva se Maclaurin serija:

Pravilo koje omogućava proširenje Maclaurin serije:

1. Odredite derivate prvog, drugog, trećeg… reda.
2. Izračunajte čemu su jednaki derivati na x=0.
3. Snimite Maclaurinov niz za ovu funkciju, a zatim odredite interval njene konvergencije.
4. Odredite interval (-R;R) u kojem je ostatak Maclaurin formule

R (x) -> 0 za n -> beskonačnost. Ako postoji, funkcija f(x) u njoj mora se poklapati sa zbirom Maclaurinovog reda.

Sada razmotrite Maclaurin seriju za pojedinačne funkcije.

1. Dakle, prvi će biti f(x)=e^x. Naravno, prema svojim karakteristikama, takva funkcija ima derivate različitih redova, a f^(k)(x)=e^x, gdje je k jednako svim prirodni brojevi. Zamenimo x=0. Dobijamo f^(k)(0)=e⁰=1, k=1, 2… ^{bi izgledalo ovako:}

2. Maclaurinov red za funkciju f(x)=sin x. Odmah pojasnite da će funkcija za sve nepoznate imati derivate, osim f^'(x)=cos x=sin(x+n/2), f ^{'' (x)=-sin x=sin(x+2n/2)…, f}(k)^{(x)=sin(x+k n/2), gdje je k jednako bilo kojem prirodnom broju. Odnosno, nakon jednostavnih proračuna, možemo doći do zaključka da će niz za f(x)=sin x izgledati ovako:}

3. Pokušajmo sada razmotriti funkciju f(x)=cos x. Ona je za sve nepoznatoima derivate proizvoljnog reda, i |f^(k)(x)|=|cos(x+kp/2)|<=1, k=1, 2… Opet, nakon nekih proračuna, dobijamo da će niz za f(x)=cos x izgledati ovako:

Dakle, naveli smo najvažnije funkcije koje se mogu proširiti u Maclaurin seriji, ali su za neke funkcije dopunjene Taylor serijom. Sada ćemo ih navesti. Također je vrijedno napomenuti da su Taylor i Maclaurin nizovi važan dio prakse rješavanja nizova u višoj matematici. Dakle, Taylor serija.

1. Prvi će biti niz za f-ii f(x)=ln(1+x). Kao iu prethodnim primjerima, s obzirom na f (x)=ln (1 + x), možemo dodati niz koristeći opći oblik Maclaurinovog reda. međutim, za ovu funkciju, Maclaurinov red se može dobiti mnogo jednostavnije. Nakon integracije određene geometrijske serije, dobijamo niz za f(x)=ln(1+x) ovog uzorka:

2. A drugi, koji će biti konačan u našem članku, bit će niz za f (x)=arctg x. Za x koji pripada intervalu [-1;1], proširenje je važeće:

To je to. Ovaj članak je ispitao najčešće korištene serije Taylor i Maclaurin u višoj matematici, posebno na ekonomskim i tehničkim univerzitetima.