Proučavanju polinoma drugog stepena posvećuje se velika pažnja u predmetu algebre osmog razreda. Ako student slabo savlada ovo gradivo, onda su neizbježni problemi na ispitima OGE i Jedinstvenom državnom ispitu, kako na nivou profila tako i na bazi. Obavezne vještine vezane za kvadratne funkcije uključuju crtanje i analizu grafova, rješavanje jednačina.
Faktorizacija kvadratnog trinoma je jedan od standardnih školskih problema. Pomoćna je u rješavanju nejednakosti metodom intervala.
Pronalaženje korijena jednačine
Prva stvar za faktorizaciju polinoma je pronaći njegove korijene.
Korijeni su brojevi koji pretvaraju zbir monoma u polinomu na nulu, što grafički izgleda kao sjecište s horizontalnom osom. One se određuju korištenjem diskriminanta ili Vietine teoreme.
Diskriminanta trinomske osi2 + bx + c izračunava se po formuli: D=b2m- 4ac.
U slučaju kada diskriminanta nije negativna,korijeni su izraženi kroz njega i polinomski koeficijenti:
x1 =1/2(-b + √D); x2 =1/2(-b - √D)
Ako je diskriminanta nula, x1 i x2 su isti.
Za rješavanje nekih trinoma zgodno je koristiti Vietinu teoremu:
x1 + x2 =-b: a; x1 × x2=c: a
Potrebna je određena količina matematičke intuicije za primjenu teoreme. Suština je da, znajući zbir i proizvod dvije nepoznate, pokupite ove brojeve. Ako postoje, oni su jedinstveno pronađeni (do permutacije).
Možete provjeriti valjanost teoreme tako što ćete izračunati zbir i proizvod korijena u općim terminima. Formule za x1 i x2 se također provjeravaju direktnom zamjenom.
Pravilo faktoringa
Problem se može riješiti u realnim brojevima ako polinom ima korijen. Dekompozicija je određena formulom:
ax2 + bx + c=a(x - x1)(x - x2)
Primjeri
Problem: pronađite faktorizaciju kvadratnih trinoma.
a) x2 - 6x + 5
Rješenje: napišite koeficijente trinoma:
a=1; b=-6; c=5.
Korišćenje Vieta teoreme:
x1 + x2 =6;
x1 × x2=5.
Može se vidjeti da je x1 =1, x2 =5.
Ako, prema napisanim jednakostima teoreme,moguće je brzo pronaći korijene, treba odmah preći na izračunavanje diskriminanta.
Nakon što se pronađu korijeni, morate ih zamijeniti u formulu za proširenje:
x2 - 6x + 5=(x - 1)(x - 5)
Rezultat zabilježen u ovom obrascu može se smatrati konačnim.
b) 2x2 + x - 1
Rješenje:
a=2, b=1, c=-1.
Ako se vodeći koeficijent razlikuje od 1, primjena Vietine teoreme obično traje više vremena nego rješavanje kroz diskriminantu, pa idemo dalje na njegovo izračunavanje.
D=1 - 4 × 2 × (-1)=9.
x1=1/2; x2=-1.
Formula je:
2x2 + x - 1=2(x - 1/2)(x + 1).
c)x2 - 8x + 16
Rješenje:
a=1; b=-8; c=16.
D=0.
Pošto je diskriminanta nula, imamo slučaj podudarnosti korijena:
x1 =x2 =4.
Ova situacija se, međutim, suštinski ne razlikuje od onih koje smo ranije razmatrali.
x2 - 8x + 16=1(x - 4)(x - 4)
Rezultat se često piše kao: (x - 4)2.
d)x2 - 7x + 1
Rješenje:
a=1; b=-7; c=1.
D=45.
Ovaj primjer se razlikuje od prethodnih po tome što se racionalni korijen ne može izvući iz diskriminante. To znači da su korijeni polinoma iracionalni.
x1 =-1/2(7 + √45); x2 =-1/2(7 - √45).
Ili ekvivalentno, x1=-3, 5 - 1/2√45; x2 =-3, 5 + 1/2√45.
Posljednja opcija je pogodnija za korištenje za proširenje pisanja. Izostavljajući viši koeficijent, koji je ovdje jednak 1, dobijamo:
x2- 7x + 1=(x + 3,5 + 1/2√45)(x + 3,5 - 1/2√45)
Za slučaj kada je diskriminant negativan, u okviru školskog programa dovoljan je sljedeći odgovor: trinom nema korijena i stoga se ne može faktorizirati. Takvi trinomi se također nazivaju nesvodljivim. Važno je shvatiti da govorimo samo o prisustvu ili odsustvu stvarnih korijena.
Ako se uzme u obzir polje kompleksnih brojeva, faktorizacija kvadratnog trinoma je moguća sa bilo kojim diskriminantom.
Tipične greške
1) Na samom početku proučavanja polinoma, mnogi ljudi pogrešno ispisuju koeficijente, na primjer, obraćaju pažnju na redosljed monoma u notaciji.
Dakle, vodeći faktor a u jednačini 101 je 79x + 38x2je 38, a ne 101 kao što mislite.
Još jedna greška povezana sa koeficijentima jednačine je takozvani "gubitak predznaka". U istom primjeru, koeficijent b=-79, a ne 79.
2) Naviknuvši se na korištenje Vietine teoreme za slučaj kada je a=1, školarci ponekad zaborave na njegovu punu formulaciju. U polinomu iz prvog pasusa, pogrešno je pretpostaviti da je zbir korijena 79, jer je prvi koeficijent različit od 1.
3) Računske greške su najčešći problem za studente. U mnogim slučajevima provjera pomaže da se izbjegnu.zamjena.
Polinomi trećeg stepena i više
Polinomi višeg stepena se rijetko razmatraju u školi, jer je problem pronalaženja korijena za polinome trećeg i višeg stepena naporan. Postoje algoritmi visoke računske složenosti za proširenje polinoma trećeg i četvrtog stepena. Za peti stepen i više, dokazana je teorema o nerješivosti jednadžbe u radikalima u opštem obliku.
Posebni slučajevi ovih polinoma, koji se mogu razmatrati u srednjoj školi, odlikuju se prisustvom racionalnih lako odabranih korijena. Broj potonjih ne može preći stepen polinoma. Kada radite sa kompleksnom ravninom, njihov broj je potpuno isti kao i najviši stepen.
Polinomi neparnog stepena uvijek imaju barem jedan pravi korijen. Ovo je lako prikazati grafički - kontinuirana funkcija data takvim polinomom ima i pozitivne i negativne vrijednosti, što znači da prolazi kroz 0.
Svi korijeni dva polinoma se poklapaju ako i samo ako su njihovi koeficijenti proporcionalni.
Uopšteno govoreći, problem pronalaženja korijena i problem konstruiranja dekompozicije mogu se smatrati ekvivalentnim.