Za mnoge ljude, matematička analiza je samo skup nerazumljivih brojeva, ikona i definicija koje su daleko od stvarnog života. Međutim, svijet u kojem postojimo izgrađen je na numeričkim obrascima, čija identifikacija pomaže ne samo u učenju o svijetu oko nas i rješavanju njegovih složenih problema, već i u pojednostavljivanju svakodnevnih praktičnih zadataka. Šta matematičar misli kada kaže da se brojevni niz konvergira? O tome bi trebalo detaljnije razgovarati.
Šta je beskonačno mala?
Zamislimo matrjoške koje se uklapaju jedna u drugu. Njihove veličine, napisane u obliku brojeva, počevši od najvećeg i završavajući s najmanjim od njih, čine niz. Ako zamislite beskonačan broj takvih svijetlih figura, onda će rezultirajući red biti fantastično dug. Ovo je konvergentni niz brojeva. I teži nuli, budući da se veličina svake sljedeće lutke za gniježđenje, koja se katastrofalno smanjuje, postupno pretvara u ništa. Tako da je lakomože se objasniti: šta je beskonačno malo.
Sličan primjer bi bio put koji vodi u daljinu. A vizuelne dimenzije automobila koji se udaljava od posmatrača duž njega, postepeno se smanjujući, pretvaraju se u bezobličnu tačku nalik tački. Tako mašina, poput objekta, koji se udaljava u nepoznatom pravcu, postaje beskonačno mala. Parametri navedenog tijela nikada neće biti nula u doslovnom smislu riječi, ali uvijek teže ovoj vrijednosti u konačnoj granici. Stoga, ovaj niz ponovo konvergira na nulu.
Izračunajte sve kap po kap
Zamislimo sada svjetsku situaciju. Lekar je pacijentu prepisao da uzima lek, počevši od deset kapi dnevno i dodajući po dve svakog sledećeg dana. I tako je doktor predložio da se nastavi sve dok sadržaj bočice lijeka, čija je zapremina iznosi 190 kapi, ne ponestane. Iz navedenog proizilazi da će broj takvih, raspoređenih po danu, biti sljedeći brojčani niz: 10, 12, 14 i tako dalje.
Kako saznati vrijeme za završetak cijelog kursa i broj članova niza? Ovdje se, naravno, mogu na primitivan način brojati kapi. Ali mnogo je lakše, s obzirom na obrazac, koristiti formulu za zbir aritmetičke progresije sa korakom d=2. I pomoću ove metode saznati da je broj članova niza brojeva 10. U ovom slučaju, a10=28. Broj penisa označava broj dana uzimanja lijeka, a 28 odgovara broju kapi koje pacijent trebakoristite poslednjeg dana. Konvergira li se ovaj niz? Ne, jer uprkos činjenici da je ograničen na 10 odozdo i 28 odozgo, takav niz brojeva nema ograničenja, za razliku od prethodnih primjera.
U čemu je razlika?
Pokušajmo sada da razjasnimo: kada se ispostavi da je niz brojeva konvergentan niz. Definicija ove vrste, kao što se može zaključiti iz navedenog, direktno je povezana sa konceptom konačne granice, čije prisustvo otkriva suštinu problema. Dakle, koja je suštinska razlika između prethodno navedenih primjera? I zašto se u posljednjem od njih broj 28 ne može smatrati granicom niza brojeva X =10 + 2(n-1)?
Da razjasnimo ovo pitanje, razmotrimo još jedan niz dat formulom ispod, gdje n pripada skupu prirodnih brojeva.
Ova zajednica članova je skup običnih razlomaka, čiji je brojilac 1, a imenilac se stalno povećava: 1, ½ …
Štaviše, svaki uzastopni predstavnik ovog niza se sve više približava 0 u smislu lokacije na brojevnoj pravoj. A to znači da se takvo susjedstvo pojavljuje gdje se tačke grupišu oko nule, što je granica. I što su mu bliže, njihova koncentracija na brojevnoj pravoj postaje gušća. A udaljenost između njih se katastrofalno smanjuje, pretvarajući se u beskonačno malu. Ovo je znak da se niz konvergira.
SličnoTako su raznobojni pravokutnici prikazani na slici, kada se udaljavaju u prostoru, vizuelno gušći, u hipotetičkoj granici se pretvaraju u zanemarljive.
Beskonačno velike sekvence
Kada smo analizirali definiciju konvergentnog niza, pređimo na kontraprimjere. Mnogi od njih poznati su čovjeku od davnina. Najjednostavnije varijante divergentnih nizova su nizovi prirodnih i parnih brojeva. Nazivaju se beskonačno velikima na drugačiji način, jer se njihovi članovi, koji se stalno povećavaju, sve više približavaju pozitivnoj beskonačnosti.
Primjer takvog također može biti bilo koja od aritmetičkih i geometrijskih progresija sa korakom i nazivnikom veći od nule. Osim toga, numerički nizovi se smatraju divergentnim nizovima, koji uopće nemaju ograničenja. Na primjer, X =(-2) -1.
Fibonačijev niz
Praktične prednosti prethodno spomenute serije brojeva za čovječanstvo su neosporne. Ali postoji bezbroj drugih sjajnih primjera. Jedan od njih je Fibonačijev niz. Svaki njegov član, koji počinje jednim, zbir je prethodnih. Njegova prva dva predstavnika su 1 i 1. Treći 1+1=2, četvrti 1+2=3, peti 2+3=5. Dalje, po istoj logici, slijede brojevi 8, 13, 21 i tako dalje.
Ova serija brojeva se neograničeno povećava i nemakonačna granica. Ali ima još jedno predivno svojstvo. Omjer svakog prethodnog broja prema sljedećem sve je bliži i bliži svojoj vrijednosti 0,618. Ovdje možete razumjeti razliku između konvergentnog i divergentnog niza, jer ako napravite niz primljenih parcijalnih podjela, naznačeni numerički sistem će imaju konačnu granicu jednaku 0,618.
Slijed Fibonačijevih omjera
Serija brojeva navedena iznad se široko koristi u praktične svrhe za tehničku analizu tržišta. Ali to nije ograničeno na njegove mogućnosti, koje su Egipćani i Grci znali i mogli primijeniti u praksi u antičko doba. To dokazuju piramide koje su izgradili i Partenon. Uostalom, broj 0,618 je konstantan koeficijent zlatnog preseka, dobro poznat u stara vremena. Prema ovom pravilu, bilo koji proizvoljni segment se može podijeliti tako da se omjer između njegovih dijelova poklapa sa omjerom između najvećeg segmenta i ukupne dužine.
Konstruirajmo niz naznačenih relacija i pokušajmo analizirati ovaj niz. Brojčani niz će biti sljedeći: 1; 0,5; 0,67; 0,6; 0,625; 0,615; 0, 619 i tako dalje. Nastavljajući na ovaj način, možemo se uveriti da će granica konvergentnog niza zaista biti 0,618, ali je potrebno napomenuti i druga svojstva ove pravilnosti. Ovdje se čini da brojevi idu nasumično, a ne u rastućem ili opadajućem redoslijedu. To znači da ovaj konvergentni niz nije monoton. Zašto je to tako će se dalje raspravljati.
Monotonost i ograničenost
Članovi serije brojeva mogu se jasno smanjiti sa povećanjem broja (ako je x1>x2>x3>…>x >…) ili povećanje (ako je x1<x2632263223<…<x <…). U ovom slučaju se kaže da je niz striktno monoton. Mogu se uočiti i drugi obrasci, gdje će numerički niz biti neopadajući i nerastući (x1≧x2≧x 3≧ …≧x ≧… ili x1≦x2≦x 3 ≦…≦x ≦…), onda je sukcesivno konvergentna takođe monotona, samo ne u strogom smislu. Dobar primjer prve od ovih opcija je niz brojeva dat sljedećom formulom.
Naslikavajući brojeve ove serije, možete vidjeti da bilo koji njen član, koji se neograničeno približava 1, nikada neće premašiti ovu vrijednost. U ovom slučaju se kaže da je konvergentni niz ograničen. Ovo se događa kad god postoji takav pozitivan broj M, koji je uvijek veći od bilo kojeg člana reda po modulu. Ako niz brojeva ima znakove monotonosti i ima granicu, pa stoga konvergira, onda je nužno obdaren takvim svojstvom. A suprotno ne mora biti istina. Ovo je dokazano teoremom o ograničenosti za konvergentni niz.
Primjena ovakvih zapažanja u praksi je vrlo korisna. Dajemo konkretan primjer ispitivanjem svojstava niza X =n/n+1, i dokazati njegovu konvergenciju. Lako je pokazati da je monoton, pošto je (x +1 – x) pozitivan broj za bilo koje n vrijednosti. Granica niza je jednaka broju 1, što znači da su svi uslovi gornje teoreme, koja se naziva i Weierstrassova teorema, zadovoljeni. Teorema o ograničenosti konvergentnog niza kaže da ako ima ograničenje, onda se u svakom slučaju ispostavlja da je ograničen. Međutim, uzmimo sljedeći primjer. Brojčani niz X =(-1) ograničen je odozdo za -1, a odozgo za 1. Ali ovaj niz nije monoton, nema limit, te stoga ne konvergira. To jest, postojanje ograničenja i konvergencije ne proizilaze uvijek iz ograničenja. Da bi ovo funkcioniralo, donja i gornja granica se moraju poklapati, kao u slučaju Fibonačijevih omjera.
Brojevi i zakoni Univerzuma
Najjednostavnije varijante konvergentnog i divergentnog niza su možda numerički nizovi X =n i X =1/n. Prvi od njih je prirodan niz brojeva. Ona je, kao što je već pomenuto, beskonačno velika. Drugi konvergentni niz je ograničen, a njegovi članovi su po veličini blizu beskonačno male. Svaka od ovih formula personificira jednu od strana višeznačnog Univerzuma, pomažući osobi da zamisli i izračuna nešto nepoznato, nedostupno ograničenoj percepciji jezikom brojeva i znakova.
Zakoni univerzuma, u rasponu od zanemarljivih do neverovatno velikih, takođe izražavaju zlatni omjer od 0,618. Naučnicioni vjeruju da je on osnova suštine stvari i da ga priroda koristi za formiranje njegovih dijelova. Relacije između narednih i prethodnih članova Fibonačijevog niza, koje smo već spomenuli, ne upotpunjuju demonstraciju nevjerovatnih svojstava ovog jedinstvenog niza. Ako uzmemo u obzir količnik dijeljenja prethodnog člana sljedećim kroz jedan, onda ćemo dobiti niz od 0,5; 0,33; 0,4; 0,375; 0,384; 0,380; 0, 382 i tako dalje. Zanimljivo je da ovaj ograničeni niz konvergira, nije monoton, ali je omjer susjednih brojeva ekstrema od određenog člana uvijek približno jednak 0,382, što se može koristiti iu arhitekturi, tehničkoj analizi i drugim industrijama.
Postoje i drugi zanimljivi koeficijenti iz Fibonačijevog niza, svi oni igraju posebnu ulogu u prirodi, a koristi ih i čovjek u praktične svrhe. Matematičari su sigurni da se Univerzum razvija prema određenoj "zlatnoj spirali", formiranoj od navedenih koeficijenata. Uz njihovu pomoć moguće je izračunati mnoge pojave koje se dešavaju na Zemlji iu svemiru, od porasta broja određenih bakterija do kretanja udaljenih kometa. Kako se ispostavilo, DNK kod poštuje slične zakone.
Opadajuća geometrijska progresija
Postoji teorema koja potvrđuje jedinstvenost granice konvergentnog niza. To znači da ne može imati dvije ili više granica, što je nesumnjivo važno za pronalaženje njegovih matematičkih karakteristika.
Pogledajmo nekeslučajevima. Svaki numerički niz sastavljen od članova aritmetičke progresije je divergentan, osim u slučaju sa nultim korakom. Isto važi i za geometrijsku progresiju čiji je nazivnik veći od 1. Granice takvih numeričkih nizova su „plus” ili „minus” beskonačnosti. Ako je nazivnik manji od -1, onda uopće nema ograničenja. Moguće su i druge opcije.
Razmotrite niz brojeva dat formulom X =(1/4) -1. Na prvi pogled, lako je vidjeti da je ovaj konvergentni niz ograničen jer je strogo opadajući i ni na koji način ne može uzeti negativne vrijednosti.
Hajde da upišemo broj njegovih članova za redom.
Ispašće: 1; 0,25; 0,0625; 0,015625; 0, 00390625 i tako dalje. Dovoljne su prilično jednostavne kalkulacije da se shvati koliko brzo ova geometrijska progresija opada od nazivnika 0<q<1. Dok se nazivnik članova neograničeno povećava, oni sami postaju beskonačno mali. To znači da je granica niza brojeva 0. Ovaj primjer još jednom demonstrira ograničenu prirodu konvergentnog niza.
Fundamentalni nizovi
Augustin Louis Cauchy, francuski naučnik, otkrio je svijetu mnoga djela vezana za matematičku analizu. On je dao definicije pojmovima kao što su diferencijal, integral, granica i kontinuitet. Proučavao je i osnovna svojstva konvergentnih nizova. Da bi razumeli suštinu njegovih ideja,neke važne detalje treba sumirati.
Na samom početku članka je pokazano da postoje takvi nizovi za koje postoji susjedstvo u kojem se tačke koje predstavljaju članove određenog niza na pravoj pravoj počinju skupljati, sve više se nižući gusto. U isto vrijeme, udaljenost između njih se smanjuje kako se broj sljedećeg predstavnika povećava, pretvarajući se u beskonačno mali. Tako se ispostavlja da je u datoj okolini grupisan beskonačan broj predstavnika datog niza, dok ih izvan nje postoji konačan broj. Takvi nizovi se nazivaju fundamentalnim.
Čuveni Cauchyjev kriterijum, koji je kreirao francuski matematičar, jasno ukazuje da je prisustvo takvog svojstva dovoljno da dokaže da niz konvergira. I obrnuto.
Treba napomenuti da je ovaj zaključak francuskog matematičara uglavnom od čisto teorijskog interesa. Smatra se da je njegova primjena u praksi prilično komplikovana stvar, stoga je, da bi se razjasnila konvergencija redova, mnogo važnije dokazati postojanje konačne granice za niz. U suprotnom, smatra se divergentnim.
Prilikom rješavanja problema treba uzeti u obzir i osnovna svojstva konvergentnih nizova. Oni su prikazani ispod.
Beskonačne sume
Takvi poznati antički naučnici kao što su Arhimed, Euklid, Eudoks koristili su zbrojeve beskonačnih nizova brojeva da izračunaju dužine krivina, zapremine telai oblasti figura. Konkretno, na ovaj način je bilo moguće saznati površinu paraboličnog segmenta. Za to je korišten zbir numeričke serije geometrijske progresije sa q=1/4. Na sličan način su pronađene zapremine i površine drugih proizvoljnih figura. Ova opcija je nazvana metodom "iscrpljenja". Ideja je bila da se proučavano tijelo, složenog oblika, razbije na dijelove, koji su figure s lako mjerljivim parametrima. Iz tog razloga nije bilo teško izračunati njihove površine i zapremine, a onda su se zbrajali.
Uzgred, slični zadaci su vrlo poznati modernim školarcima i nalaze se u USE zadacima. Jedinstvena metoda, koju su pronašli daleki preci, daleko je najjednostavnije rješenje. Čak i ako postoje samo dva ili tri dijela na koje je brojčana figura podijeljena, zbrajanje njihovih površina je i dalje zbir niza brojeva.
Mnogo kasnije od starogrčkih naučnika Leibniza i Newtona, na osnovu iskustva svojih mudrih prethodnika, naučili su obrasce integralnog izračunavanja. Poznavanje svojstava nizova pomoglo im je u rješavanju diferencijalnih i algebarskih jednadžbi. Trenutno, teorija serija, stvorena naporima mnogih generacija talentiranih naučnika, daje priliku da se riješi ogroman broj matematičkih i praktičnih problema. A proučavanje numeričkih nizova je glavni problem riješen matematičkom analizom od njenog početka.
