Širok spektar relacija na primjeru skupova praćen je velikim brojem koncepata, počevši od njihovih definicija pa do analitičke analize paradoksa. Raznolikost koncepata o kojima se raspravlja u članku o setu je beskonačna. Iako, kada se govori o dualnim tipovima, to znači binarne odnose između nekoliko vrijednosti. I između objekata ili iskaza.
U pravilu, binarne relacije se označavaju simbolom R, odnosno, ako je xRx za bilo koju vrijednost x iz polja R, takvo svojstvo se naziva refleksivno, u kojem su x i x prihvaćeni objekti mišljenja, a R služi kao znak da li postoji ili drugi oblik odnosa između pojedinaca. U isto vrijeme, ako izrazite xRy® ili yRx, onda to ukazuje na stanje simetrije, gdje je ® implikacijski znak sličan uniji "ako … onda … ". I, konačno, dekodiranje natpis (xRy Ùy Rz) ®xRz govori o tranzitivnom odnosu, a znak Ù je veznik.
Binarna relacija koja je i refleksivna, simetrična i tranzitivna naziva se odnosom ekvivalencije. Relacija f je funkcija, a jednakost y=z proizlazi iz Î f i Î f. Jednostavna binarna funkcija može se lako primijenitina dva jednostavna argumenta u određenom redoslijedu, i samo u ovom slučaju mu daje značenje usmjereno na ova dva izraza uzeta u određenom slučaju.
Trebalo bi reći da f preslikava x na y,
ako je f funkcija sa opsegom x i opsegom y. Međutim, kada f ekstrapolira x na y, a y Í z, to uzrokuje da f prikazuje x u z. Jednostavan primjer: ako je f(x)=2x istina za bilo koji cijeli broj x, onda se kaže da f preslikava potpisani skup svih poznatih cijelih brojeva u skup istih cijelih brojeva, ali ovaj put parnih brojeva. Kao što je gore spomenuto, binarni odnosi koji su i refleksivni, simetrični i tranzitivni su odnosi ekvivalencije.
Na osnovu gore navedenog, odnosi ekvivalencije binarnih relacija su određeni svojstvima:
- refleksivnost - odnos (M ~ N);
- simetrije - ako je jednakost M ~ N, tada će biti N ~ M;
- tranzitivnost - ako su dvije jednakosti M ~ N i N ~ P, onda kao rezultat M ~ P.
Razmotrimo deklarisana svojstva binarnih relacija detaljnije. Refleksivnost je jedna od karakteristika određenih veza, gdje je svaki element skupa koji se proučava u datoj jednakosti sam sa sobom. Na primjer, između brojeva a=c i a³ c postoje refleksivne veze, jer uvijek a=a, c=c, a³ a, c³ c. Istovremeno, relacija nejednakosti a>c je antirefleksivna zbog nemogućnosti postojanja nejednakosti a>a. Aksiom ovog svojstva je kodiran znakovima: aRc®aRa Ù cRc, ovdje simbol ® znači riječ "uključuje" (ili "implicira"), a znak Ù - je spoj "i" (ili veznik). Iz ove izjave slijedi da ako je sud aRc tačan, izrazi aRa i cRc su također tačni.
Simetrija podrazumijeva prisustvo odnosa čak i ako se mentalni objekti razmjenjuju, odnosno, kod simetričnog odnosa, preuređenje objekata ne dovodi do transformacije tipa "binarni odnosi". Na primjer, odnos jednakosti a=c je simetričan zbog ekvivalencije odnosa c=a; prijedlog a¹c je također isti, jer odgovara vezi sa¹a.
Tranzitivni skup je svojstvo koje zadovoljava sljedeće zahtjeve: y n x, z n y ® z n x, gdje je ® znak koji zamjenjuje riječi: "ako…, onda…". Formula se verbalno čita na sljedeći način: "Ako y zavisi od x, z pripada y, onda z zavisi i od x".
